П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Различные способы замыкания уравнений Рейнольдса составляют суть полуэмпирических моделей. Подход Рейнольдса направлен на описание средных полей скорости, возникающих в конкретных потоках. Каждая полуэмпирическая модель адаптируется для заданного (как правило, достаточно узкого) класса течений и вюпочает ряд параметров, экспериментально определяемых именно для данного класса течений и справедливых в определенном диапазоне значений числа Рейнольдса. Таким образом делается попьпка ограничиться описанием крулиомасштабнъи полей, а влияние мелкаиасштабных полей охарактеризовать с помощью небольшого числа параметров.
Зададимся теперь вопросом о том, есть ли у турбулентности некие универсальные свойства, не зависящие от конкретных условий ее возбуждения? Очевидно, что рассчитывать на обнаружение таких универсальных свойств можно только вдали от границ и на масштабах, существенно меньших размеров области, занятых турбулентным течением. Таким образом, мы начинаем изучение мелкамасштабной турбулентности, в смысле, что основной интерес представляют для нас масштабы 1 «Ь (Ь вЂ” внешний, или интегральный, масштаб турбулентности). В то же время, говоря о развитой турбулентности, мы подразумеваем, что числа Рейнольдса столь велики, что остается широкий диапазон возбужденных масштабов, удовлетворяющих этому условию.
Иначе говоря, Л «1 «Ь, где Л вЂ” микромасштаб турбулентности, характеризующий масштабы пульсаций скорости, на которых становится существенной вязкая диссипация. Д~ ьь Рис. 4.1 На рис. 4 1 схематически показаны три различных турбулентных потока (турбулентный след, течение в трубе и конвективный факел) и области в них, изображенные в виде кубов, в которых можно надеяться на выявление таких универсальных свойств. При наличии осредненного течения (поток в трубе, след) выделенный куб движется со средней скоростью этого потока.
4.1. Одногоднля н изоттопнля тэгвэлвнтность 119 Выделенные области не случайно имеют кубическую форму. Дело в ом, что, желая избежать влияния границ, мы в то же время хотим рассматривать ограниченную область потока, причем свойства течения в этой области не должны зависеть от ее точного положения (Лругимн словами, используется гипотеза об однородности турбулентности на масштабах, много меньших масштаба ее возбухщения Ь).
Наиболее простой путь удовлетворения этих противоречивых требований состоит в рассмотрении кубической области с ребром Ю, на гранях которого выполняются периодические граничные условия. Это условие состоит в том, что для всякой функции и любых целых п, из, 9 Г (х + и0, у + тХ>, з + АУ) = Ях, у, л). (4.3) где й = ~ (ие, + глез+де,) есть волновой вектоР, а коэффициенты ФУРье В определяются формулой ппп Я1) = — у(1,г)е ' "Ыг. ооо (4.5) В свете поставленной задачи фурье-представление удобно тем, что каждая гармоника соответствует движению определенного пространственного масштаба.
Для того чтобы получить среднюю энерппо всех пульсаций заданного масштаба ( = 2я/л, нукав просуммировать все гармоники, волновые векторы которых равны по модулю, и провести осреднение: Такая постановка задачи очень удобна для прямых численных решений уравнений (4.1К4.2). Именно для куба с периодическими граничными условиями (для квадрата в случае двумерных течений) выполнены практически все численные эксперименты по исследованию свойств однородной турбулентности. Заметим, что условие однородности немедленно приводят к тому, что уравнение Рейнольдса допускает только тривиальное решение Щ$, г) = О.
Кубическая геометрия и условие периодичности создают идеальные условия для применения спектральных (и спектрально-сеточных) методов, так как любая функция г"(8, г) может быль представлена в виде 12О ГЛАВА 4 Если турбулентность изотролна, то свсамиссвичесхие характеристики фу- рье-гармоннк связанных с ией случайных ~олей инвариантны относительно поворотов волнового вектора. 4.2. Баланс энергии по масштабам. Каскад дг, С) = — яс, г) ес~'сйс, вяз,/ (4.7) где ,г(1с,с) = г(г,с)е ' 'с(г, (4.8) г = (х, р, з) — радиус-вектор, 1с = (1с„йю (с,) — волновой вектор, Все величины в уравнении (4.1) выразим через фурье-образы (4.7) дс ч(1с', с)еел "с((с'+(2я) з ч(а", С)еса 'сйс"А1у ф(к'", С)есв 'сйс'"= = -г 'с ~ Ага*'"'"а ъ ь ~ чкгб""' а '+ )' аи, 1ь'""ж Для получения уравнения, описывающего баланс энергии в одном отдельно взятом масштабе, нужно записать уравнения Навье-Стокса (4.1К4.2) в пространстве Фурье.
При этом можно воспользоваться рддамн Фурье вида (4.4), имея в виду кубическую геометрию с периодическими условиями, либо интегралами Фурье, опираясь на рассмотрение турбулентного течения, сосредоточенного в ограниченной части бесконечного пространства. Чтобы не создать впечатление, что получающиеся уравнения связаны с искусственно выбранной формой области, воспользуемся в данном параграфе интегралами Фурье (вывод уравнений для рядов оставим для самостоятельных упражнений). Итак, пусть течение занимает ограниченную область, затухая на бесконечности, н все входящие в уравнения Навье-Стокса величины допускают представление в виде 121 4.2. БАЛАНС ЭНВГГИИ ПО МАСШТАБАМ. КАСКАД н воспользуемся теоремой о дифференпнровании ь )чу* "а~ н(.г' 1' )во ) "1чгь'"'""'а "а"'= =-Р,,' — - 3 й'р(й')ей" й~'- в й' «(й')оса 'йй'+ р(й/)сев '~д" Для упрощения записи во всех функциях здесь и далее опускается аргумент й Уравнение умножается на е " и интегрируется по Нг.
Учитывая, что 2я ейа ~1'Нг = б(1с' — 1с), Яс')б(к' — к)о)с' = у(к), и переобознвчив йв = Ч, получаем дЯй)+ ~ 1 [«(Ч)(1с — Ч)]«(й — Ч)йЧ = — 1Р 'йр(й) — «Й~«(1с)+Р(й). 8яз у (4.9) Уравнение неразрывности (4.2) в пространстве Фурье имеет простой вид 1с ° «(1с) = 0 (4.10) н может быть использовано для исключения из уравнения (4.9) члена с давлением. Умножение (4.9) на 1с с учетом (4.10) приводит к выражешпо Р Р(к) з з [«(Ч)()с Ч)]«(й — Ч)пЧ вЂ” — зг(1с). (4.11) Подставляя (4.11) в (4.9) и используя формулу и х (Ъ х с) = Ь(ас) — с(аЬ) длл обьединения нелинейных членов, приходим к уравнению 0 «(й) + [ (ЧН1 Ч)]йЧ [к х («(1с — Ч) х Й)] = —.йз«(й)+ Г'(й), (4 12) где Р'(1с) = й з[1с х (г' х 1с)]. 122 Глянь 4 Целью проводимых преобразований является уравнение для энерпщ, заключенной в данных масштабах (волновых числах), которая получается путем интегрирования квадрата модуля фурье-компонент поля скорости по всем векторам с заданным значением модуля ~к~ = й: Е(й) = ~ф(й) ~зг()с.
(4.13) зс= йй Соответствующее уравнение получается из (4.12) путем его домножения на ч*(1с) н шпегрирования в пространстве Фурье по поверхности сферы заданного радиуса й и имеет следующую структуру: д~Е(й) = ТЯ вЂ” ВЯ + Е(й). (4.14) Здесь ТЯ вЂ” член, получающийся из нелинейного слагаемого уравнения (4.12) и описывающий перенос энергии в заданный масштаб в результате взаимодействия пульсаций скорости различного масштаба, Ю(й) = = — ойзЕ(й) и описывает скорость дисснпацин энергии за счет действия молекулярной вязкости, а г'(й) характеризует приток энергии за счет сил, поддерживающих турбулентное течение (работа внешних сил).
Точный вид для ТЯ и Е(й) легко получается из (4.12). Мы не выписываем соответствующих выражений, так как интересующие нас выводы можно сделать нсхоля нз общих соображений об их структуре. Рассмотрим случай стационарного турбулентного потока. Стационарность означает, что энергия, вводимая в поток за единицу времени, в точности равна энергии, превращающейся в тепло за счет действия вязкости, а д, Е(й) = О для любого значения волнового числа (для любого масштаба). Следовательно, ТЯ вЂ” )2(й) + Е(й) = О, причем приток энергии в течение и ее диссипация происходят в различных масштабах.
Ситуацию поясняет рис. 4.2, где схематически изображены функции В(й) и Е(й). Приток энергии происходит вблизи волнового числа йь, соответствующего макромасштабу турбулентности Ь. Диссипация становится эффективной только на малых масппабах (больших волновых числах), так как 22(й) йэ и функция РЯ локализована вблизи волнового числа йг (Л вЂ” мнкромасштаб турбулентности, называемый часто масштабом Колмогорова). Отметим, что плошади, заключенные под обеими кривыми, должны быть в точности равны друг другу.
Между лвумя кривыми остается значительный (тем больший, чем больше число Рейнольдса) интервал 4.2. БАЛАНС ЭНЕРГИИ ПО МАСШТАБАМ. КАСКАД 12З Рвс. 4.2. масштабов йс «й ь. йх, в которых .0(й) = Р(й) = О, а следовательно, и Т(й) = О. Этот интервал масппабов назывиот инерционным илшервалом, и его присутствие является признаком развитой турбулентности. Поскольку энергия вносится в поток на одном краю инерционного интервала, а выносится — на другом, то она очевидным образом должна быть перенесена адель всего интервала. Условие Т(й) = О означает, что приток в данный масштаб вз больших масштабов в точности равен оттоку энергии нз данного масппаба в меньшие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
