П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Полезно рассмотреть веяичину б(й) = Е(й') ой', о равную энергии, заключенной во всех масштабах, больших данного (й' ( й). Соответствующее уравнение получается интегрированием уравнения (4.14) от нуля до текущего значения волнового числа и имеет вид д~б(й) = П(й) — Р(й')йй' + Р(й')а. Если рассмотреть масштаб, приналлежмций инерционному интервалу, и считать течение стационарным, то П(й) = Ф = сопвк ГЛАВА 4 124 П(й) есть поток энергии через текущий масштаб lс. Этот поток равен суммарной энергии Ф, вносимой в поток за единицу времени на единицу массы, Этот поток равен и скорости диссипации энергии, то есть энергии, превращающейся в тепло за единицу времени на единицу массы.
Таким образом, мы подошли к ключевому моменту теории мелкомасштабной турбулентности, состоящему в том, что' процессы возбуждения течения, нелинейных взаимодействий вихрей и вязкой диссипации, сосуществующие в физическом пространстве, строго разнесены в пространстве масштабов. Первый шаг в понимании проблемы сделал Л. Ричардсон, который выдвинул в 1922 году идею каскада энергии, то есть процесса передачи энергии по цепочке от больших вихрей к меньшим.
Строгую формулировку проблемы, давшую количественные результаты, предложил А.Н. Колмогоров в серии работ 1941 года 113, 14, 15]. 4.3. Теория Колмогорова 1941 года (К41) 4.3.1. Анализ размерностей А.Н.Колмогоров в своей классической работе 1941 года, положившей начало систематическому изучению мелкомасштабной турбулентности, сформулировал две гипотезы, касающиеся статистических свойств однородной и изотролной турбулентности при больших числах Рейиольдса. 1-я гипотеза Колмогорова Статистические свойства в инерционном и дисснпативном интервале (т.е.
на масштабах 1 « Ь) не зависят от способа возбуждения турбулентности и универсальным образом определяются тремя параметрами: скоростью диссипации энергии В, кинематической вязкостью и и самим масштабом 1. 2-я гипотеза Колмогорова Статистические свойства турбулентности в инерционном интервале универсальны и зависят только от скорости диссипации энергии е и масштаба 1. Эти гипотезы содержат ответ на вопрос, какие величины могут влиять на динамику инерционного интервала.
Говоря о статистических свойствах, мы, в первую очередь, имеем в виду распределение энергии между движениями различного масштаба, хотя, конечно же, помним, что поле скорости— это поле случайной величины н чтобы описать его, нужно знать функцию распределения вероятности либо, что то же самое, совокупность всех статистических моментов этой величины. Рассмотрим две точки, отстоящие друг от друга на расстоянии 1 (рис.
4.3), и в качестве характеристики пульсаций скорости на масштабе 1 выберем разность проекций скорости в этих точках на направление, 4.3. ТЕОРИЯ КОЛМОГОРОВА 1941 ГОДА (К41) 125 связывающее зти точки, бщ = о1(г+ 1) — с1(г). (4.15) Введенная таким образом величина бо1 характеризует продольные пульсации Ч скорости (на связи продольных н поперечных пульсаций мы остановимся ниже).
Статистические моменты этой ве- Ряс. 4.3 Яч(1) = (бо1ч) (4.16) называют структурными функциями, и, в силу изотропви течения, они не должны зависеть от направления отрезка 1. Наряду со структурными функциями Яч рассматривают и структурные функции вида 2ч(1) = (!бо1Г). (4.17) Очевидно, что структурные функции (4.16) и (4 17) четных порядков д идентичны и отличия появляются только в функциях нечетных порядков. Вторая гипотеза Колмогорова утверждает, что в инерционном интервале структурные функции зависят только от масштаба н скорости диссипапии энергии Яч(1) = У(е,1). Далее делается самое сильное предположение, являющееся, по сути, главной гипотезой теории К41. Оно состоит в том, что скорость диссипации энергии считается универсальной константой для заданного течения, то есть в любой момент времени и в любой точке пространства диссипация энергии за едншшу времени на единицу массы равна е.
Величина е определяется энергией, вводимой в поток на единицу массы, и характеризует поток энергии, прокачиваемой вдоль всего инерционного интервала до диссипативных масштабов. Приняв сформулированные гипотезы, можно получить ряд важных результатов, пользуясь только соображениями размерности. Напомним, что, говоря об энергии, мы все время имеем в виду энергию на единицу массы, то есть энергия измеряется в мз/сз.
Тогда размерность скорости днссипавии энергии есть мз/сз, и для пульсаций скорости можно составить только одну комбинацию величин е и 1 с требуемой размерностью (м/с). бе1 (е1)ГУз (4.18) Эзу зависимость называют законом Колмогорова — Обухова. 126 ГЛАВА 4 Попытка применить соображения размерности к структурным функциям произвольного поркала очевидным образом приводит к формуле ,9 (1) (.1)4/з (4.19) Соображения размерности позволяют получить и форму энергетического спектра пульсаций скорости (4.13).
Размерность энергии имеет величина Е(л)г(й. Следовательно, размерность величины Е(к) есть мз/сз. Поскольку спектр энергии может зависеть только от величин е и й, то единственно возможная комбинация есть Е(й) = Сез1зй-з1з. (4.20) Формулу (4.20) называют законом Колмогорова, а входящую в нее константу С вЂ” константой Колмогорова. Чтобы увидеть степенной закон, соответствующую зависимость нужно представить в логарифмических координатах (рис. 4.4). В таком представлении инерционному интервалу соответствует прямолинейный участок спектра, наклон которого должен быль равен показателю степени в законе (4.20).
Можно ли оценить диссипативный масштаб Л? Исходя из первой гипотезы Колмогорова, этот масппаб Ряс. 4.4. может зависеть только от скорости диссипации энергии и величины молекулярной вязкости (размерность игнематической вязкости ~и] = мз/с). Тогда подбор нужной размерности приводит к формуле Л (и~/я) (4.21) Интересно выразить диссипативньгй (внутренний) масштаб через макропараметры турбулентности.
Пусть течение на макромасштабе Ь характеризуется скоростью У. Характеристикой течения является число Рейнольдса 14 = (/Е/и, Скорость диссипации энергии, равная скорости подвода энергии в турбулентность, может быть выражена и через макропараметрыг УВЬ 1. Тогда з г?4 з ~/4 з 4 414 Л з з з 1'11 ~~~' (4'22) 4.3. ТеОРиЯ КОЯМОГОРОВА 1941 ГОДА (К41) 127 ,рормула (4.22) дает возможность оценить число степеней свободы, возбудевных в турбулентном течении при заданном числе Рейнольдса.
Считая, что /Л/ (Ь/Л)з, немедленно получаем )1/ Ь Дв/4 (4.23) Выражение (4.23) может служить оценкой размеров сетки, необходимой для прямого численного моделирования турбулентного течения с заданным числом Рейнольдса. Приведем еШе одну оценку, касающуюся закона вырохсзения энергии в свободно вырождаюшейся однородной турбулентности. Пусть имеется турбулентный поток, характеризуемый спектром (4.20) н максимальным масштабом Ь (в данной оценке важно отсутствие возрастающего участка спектра в длинноволновой области). Внешние силы отсутствуют, и обшая энергия потока убывает по мере ее диссипации.
Считая, что основная кинетическая энергия содержится в максимальном масштабе (Š— (/~, е = = (/з/Ь), можно записать Зто равенство можно переписать в виде Е-з/з,(Е и проинтегрировать. В результате получается соотношение Е (4.24) определяющее закон свободного вырождеюи однородного турбулентного потока. 4.3.2. Уравнении Кармана — Ховарта и закон «4/5» Методом анализа размерностей удалось получнп оценки (4.18)-(4.19), качественно описываюшие корреляции скорости в двух точках однородного и изотропного турбулентного течения, отстояших друг от друга на расстоянии 1.
Продолжая следовать работам Колмогорова 1941 года, покажем, что существует и точный результат, касаюшнйся структурной функции третьего порядка. 128 Глава 4 Рассмотрим двухточечный корреляционный тензор второго ранга Вы = ((сз, — оы)(езь — езь)), (4.25) где чз н чз — скорости в двух точках, отстоящих на расстоянии 1 (см. рис. 4.3). Считаем, по-прежнему, что турбулевтносп однородна и изотропна, а средняя скорость равна нулю.
Введенный тензор, в силу изотропии и однородности потока, может зависеть только от модуля вектора 1, соедвияклцего две точки. Введем единичный вектор е, направленный нлоль вектора 1, и запишем общий вид симметричного тензора второго ранга, зависящего от расстояния 1, (4.26) В;ь = А(1)бы+ В(1)е;еь. Чтобы придать физический смысл функциям А(1) и В(1), направим вектор 1 вдоль одной нз осей координат (это возможно, опять же, благодаря изотропии). Компоненту скорости вдоль этой оси обозначим как ен а перпендикулярную компоненту — как е„. В таком представлении компонента Вл равна среднему квадрату относительной скорости частиц в двух точках в направлении друг к другу.
Компонента В„„равна среднему квадрату относительной скорости часпщ в перпендикулярном направлении и характеризует, таким образом, вращательное движение частиц относительно друг друга. При выбранном направлении отрезка единичный вектор е = (1, О, 0) и, согласно (4.26), Вп(1) = А(1) + В(1) В (1) = А(1) Вь (1) = 0 (427) Используя (4.27), перепишем (4.26) в виде В;ь = В„„(1)бы + (Вл(1) — В„„(1)) е;еы (4.28) Раскроем произведение в определении (4.25) Вы = (оз.озь) — (смога) — (сзьнг ) + (онсзь) н учтем, что в силу однородности потока одноточечные корреляции не за- висят от положения точки (смоль) = (енсы) = бзь(с~)/3, а в силу изотропии (снсзй) — (шьем) 129 4.3. ТвОРил КолмОГОРОВА 1941 ГОДА (К41) (при перестановке точек местами результат не меняется).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
