П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 16
Текст из файла (страница 16)
РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Вели в турбулентном потоке измерения проводатся вдоль одной прямой, то по этим измерениям можно построить одномерное фурье-преоб,азование. Ограничиваясь однородной и изотропной турбулентностью, в „оторой все прямые равноправны, рассмотрим прямую у = з = 0 и запишем +ао Яйе) = г(х,у,з)е '* *дх.
1гвадрат модуля этой величины есть одномерный энергетический спектр (3.10) Чтобы получить связь между одномерным и трехмерным спектрами, выразим исходную величину на прямой у = х = 0 через обратное преобра- зование Фурье. С одной стороны, у(х,0,0) = — / 11(й )езэа <й„ а с другой стороны, г( 0 0) ~ 4(й й й ) ияь +оь +оь.1дй Таким образом, 11(й ) = 1 ~(1с)ййкдй, В следующих главах, рассматривая структуру мелкомасштабной турбулентности, мы постоянно будем обршцаться к спектрам, описываемым степенными законами. Покажем, как связаны между собой введенные спектры турбулентности при степенной зависимости энергии от масштаба (волнового числа).
Пусть имеется однородное изотропное поле скалярной величины, энергетический спектр которой следует степенному закону е(й) й . 102 Рльвл З Тогда трехмерный спектр .Р(Й) Йа-3 (1„,2 + Йз + Йз)1а-з)/2 а одномерный (проведена замена переменных г1 = Й„/Й„' 4 = Й,/Й ). Такам образом, в однородной нзотропной турбулентности энергетический спектр Е(Й) и одномерный спектр Рз (Й) следуют одному степенному закону, а степень убывания трехмерного спектра меньше на двойку (трехмерный спектр значительно круче).
3.2. Уравненне Рейнольдеа С именем Рейнольдса связана первая попытка систематического подхода к описанию турбулентных течений. Идея подхода Рейнольдса состоит в выделении из случайных полей, характернзуюшнх турбулентный поток, средних величин и написании для ннх уравнений движения. Понятно„что, приступая к изучению случайных процессов, описываемых сложными нелинейными уравнениями, логично начать с попытки получить некие результаты хотя бы для низших моментов, то есть для математического ожидания характеристик потока. Подход оправдан и с пршаической точки зрения— во многих прикладных задачах приходится иметь дело с турбулентными потоками н требуется знать средние характеристики потока: средний расход нефти в трубопроводе, среднюю подъемную силу крыла самолета, среднюю силу сопротивления при движении корабля и т.д.
Именно прикладные исследования стимулировали интенсивные поиски эффективных схем замыкания уравнения Рейнольдса, которые продолжаются с неослабеваюшим упорством до настоящего времени. В основе подхода Рейнольдса лежит разделение всех входящих в уравнения движения величин на средние поля и поля пульсаций. Например, скорость н давление записываются в виде гч(г, 1) = У (г,1) + и,(г 1), р(г, 1) = Р(г,8) + р~(г, 1). (3 11) 3.2. УРАВнение Рвйнолкдса 1ОЗ урн этом предполагаются следующие правила осреднения (угловые скобки прежнему обозначают осредненне по ансамблю реализаций): (гн) = Уи (У;) =Ц, (и') =О; (р) = Р, (Р) = Р, (р') = О; (3.12) (3.13) дата+ яудугн = — р 'д;р+ ид-.е;+ 2з, дьщ, = О (3.14) (3.15) н подставим в них разложения (3.11) дскб+ дзи;+ Цдэ0в+ Цдуи;+иуд,К+и,д,и, = = — р ~(дзР + д р') + и(дзу Ц + дз и;) + Р; + Д, д,(7„+д,, =О.
(3.1б) (3.17) Полученные уравнения подвергаем операции осреднения дскб + дз(ен) + Цд Ц + (ууд (и ) + (иу)дую + (иудуи;) = = — р 1(д Р+ д (р ))+ и(д~ (7 + ду(и1))+ (Р;) + (Д) дь(уь+ да (иь) = О и, учитывая правила осреднения (3.12)-(3.13), приходим к уравнению Рей- лольдса д~Ц + Цдэ0~ = — р д1Р + ид" (Уз — ду(иуи;) + Рз (3 18) и уравнению неразрывности для среднего поля скорости (3.19) Банно отметить, что разложение (3.11) не подразумевает малости пульсаций и в сравнении со средними скоростями (7. Более того, именно в пудьсациях скорости часто сосредоточена основная кинетическая энергия двюкущейся жидюсти.
Не делается предположений и относительно масяпабов, на которых сосредоточены средние величины и пульсации. Хотя и покется очевидным, что пульсациям отвечает мелкомасштабная часть спектра, а средним полям — интегральные (максимальные) масппабы, вопрос о спектральном составе полей (7 и и совсем не тривиален и при применении конкретных схем замыкания уравнений для средних величин требует внимательного рассмотрения.
Запишем уравнения Навье-Стокса в тензорных обозначениях Глава 3 В уравнении Рейнольдса для средних нолей появился одноточечный юрреляционный тензор пульсаций сюростн, называемый тензором напряжений Рейнольдса тн = (игиу). (3.20) Появление корреляционных характеристик в уравнениях для средних характеристик турбулентных полей является неизбежным следствием нелинейности исходньгх уравнений движениа. Тензор напряжений Рейнольдса нельзя выразить через осредненные характеристики турбулентных полей.
Следовательно, число неизвестных превышает число имеющихся уравнений и система (3.18К3.19) является незамкнутой. 3.3. Цепочка уравнений Фридмана — Келлера и проблема замыкания В уравнении Рейнольдса появилась новая неизвестная величина — тензор напряжений Рейнольдса (3.20). Чтобы замкнуть полученную систему, требуется написать дополнительное уравнение для этой величины. Наиболее последовательный путь состоит в попытке написать для нее эволюционное уравнение. Так как д,то = дг(и,и~) = (еадгиэ) + (иу дгиг), то сначала требуется получить уравнение для пульсаций скорости, для чего из уравнения (3.16) необходимо вычесть уравнение (3.18). Получим (немые индексы у заменены на Й) дгиь+(гьдьпг+иьдь(у,+иьдьп, = — р гд,р' — дь(пиь)+идьзьи;+Д. (3.21) Аналогичное уравнение получается н для компоненты и: д~и + (гьдьпу + пьдьУу+ иадьиз —— — р гдур' — дь(и иь) + идьзьи.
+ ~!. (3.22) Уравнение (3.21) умножается на иу и складывается с уравнением (3.22), умноженным на и;: и,д~и +и д,и, = = — Иьдь(и,и ) — и пьдь0, — и,вадьку — и дь(и;иь) — и,дь(иуиь)— — очдь(пуиь) — иуда(а иь) — р '(идур'+ и,дур')— — и(и,дьзьпу + иудььи;) + и,~' + из~'. 3 3 Цвпочкл гглвивний фгндмлнл-Квлллщ и пгоклвмл замыкания 10э По ле осреднення приходим к уравнению д(изму) + Сядь(пгпу) = — ((пгиь)дьЦ+ (иунь)дь0) — дь(иги иь)— -г((абдур') +(пуд р')) — и((игдьзьи,) + (и;дь~ьпг)) + (и;я+ (иуя. (3.23) В уравнении для корреляционного тензора пульсаций скорости второго порядка (323) появились корреляционный тензор (момент) третьего порядка (игиуиь) и новые моменты второго порядка, описывающие корреляции пульсаций компонент скорости с давлением и скорости со вторыми производными скорости.
Для вновь появившихся статистических моментов также можно написать эволюционные уравнения типа (3.23), но проблемы это не решит, так как в уравнение для момента третьего порядка войдут момент четвертого порядка и новые моменты третьего порядка н так далее. Система уравнений для моментов все возрастающих порядков называется цепочкой уравнений фридмана — Келлера и является незамкнутой в принципе. Проблема обрыва этой цепочки и получения замкнутой системы называется проблемой замыкания и является центральной проблемой на пути построения моделей турбулентности, предназначенных для описания осредненных полей скорости (а также полей температуры, концентрации примеси и т, д.).
Все процедуры замыкания основаны на том или ином способе обрыва цепочки уравнений Фридмана-Келлера и приводят к так называемым лолуэмпирическим моделям турбулентности. Любая полуэмпнрическая модель тем или шгым способом выражает моменты порядка и через моменты низших пордлков с помощью неких гипотез и содержит параметры, определяемые из экспериментальных данных. Моделями замыкания первого порядка называют модели, выражающие моменты второго порядка через моменты первого порядка. Модели замыкания второго порядка оставляют моменты второго порядка„выражая через них моменты третьего порядка и т д. Название лслузмлирические модели отражает тот факт, что все модели непременно содержат константы, требуюпгие их определения из опыта.
Проблему замыкания можно проиллюстрировать и на примере уравнения для давления. Как известно, уравнение для определения давления получается из уравнения Навье-Стокса (3.14) путем применения к последнему операции ~7. В результате получается уравнение (3.24) Лр = -р(а, 1Вуе, - аг (г). В уравнение (3.24) подставляем разложения (3.11): ЬР+Ьр'= — рд~(ЦЦ+Уо +Цщ+ии,) — р(дГ,+дД), (325) Глава 3 и после осреднения получаем ЬР = — рф(У;У + (оглу)) — рд Рз. (3.26) Таким образом, в уравнении для средних величин снова появился тензор напряжений Рейнольдса.
Для того чтобы выразить статистические моменты, включающие пульсации давления (см. уравнение (3.23)), потребуегся написать уравнение для величины р', что можно сделать, вычтя (3.26) из (3.25): ЬР' = — Р~д~ (Узоу+ Уугч + оглу — (огпу)) — д;Х,'.]. (3.27) Это уравнение вюпочает и тензор напряжений Рейнольдса, и произведение пульсаций, что неминуемо приведет при попытках написания уравнений для моментов, включающих пульсации давления, к появлению новых моментов старших порядков.
3.4. Турбулентная вязкость Самыми простыми являются модели первого порядка, которые тем или иным образом выражают тензор напрюкений Рейнольдса через характеристики среднего поля скорости. При этом практически все модели первого порядка оперируют понятием «турбулентная вязкость».
В наиболее общем виде турбулентная вязкость вьпекает из формулы Буссинеска, предложенной для теизора напряжений Рейнольдса по аналогии с выражением для вязких напряжений, принятом для несжимаемой жидкости (1.10), т; = (и~)бб/3 — гч(дуУз+дзУ1). (3.28) Важно подчеркнуть, что, в отличие от молекулярной вязкости, турбулентная вязкость и, не является свойством жидкости, а зависит от самого течения и даже для заданного течения может меняться от точки к точке. Другими словами, концепция турбулентной вязкости основана на рассмотрении некой «турбулентной жишшсти», отличной по своим свойствам от вязкой жидкости в турбулентном течении.
Самый простой подход к рассмотрению турбулентных течений состоит в том, чтобы предположить, что турбулентная вязкость и энергия турбулентных пульсаций к = (и~) /2 для данного течения есть величины постоянные, не изменяющиеся от точки к точке. В этом случае уравнение Рейнольдса (3.18) принимает простейший вил: д~У, + УудгУг =- — р 1д,Р+ (и+ и„)дз У, + Р,. (3.29) Зть длинь пути смешания 107 Несмотря на чрезвычайную грубость такого предположения, оно позволяет в некоторых случаях правдоподобно описывать крупномаслпабную струк,уру урбуле ого ения Полу е оерешеше ред етв мс учае кламннарный анююг» реального течения, так как получаемые профили скорости соответствуют ламинарным, а не турбулентным режимам течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
