П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Последнее окно неограниченно и занимает всю область т > 214.364. В своей знаменитой работе Лоренц численно исследовал поведение системы при г = 28. На рис. 2.33 показан фрагмент поведения во времени Хс Рис. 2.33. 2.7. Нвкотогыв пгнмагы Рнс. 2.34. переменной Х($) при этом значении г, а на рис. 2.34 — харщсгерный вид фазовой траектории системы на странном аттракторе.
На рис. 2.35 — проекции фазовой траектории на плоскости (Х, Я). Наблюдение за эволюцией фазовой траектории показывает, что траектория описывает витки вокруг точек, соответствующих ставшим неустойчивыми решениям (2.30), переходя случайным образом от вращения вокруг одного фокуса к вращению вокруг другого. Наблюдая за эволюцией фазовой траектории в плоскости (Х, Я), Е Лоренц сделал важный вывод. Траектория раскручивается вокруг одного фокуса, увеличивая на каждом випсе Радиус орбиты.
Этот процесс происходит до тех пор, пока на очередном витке в точке максимума траехтория не выйдет за значение Я = 38.5. Как толью траектория превысит это зна- .з -з -а а з з чение, она уходит в область притяжения другого фокуса и все повторяет- Рнс. 2.35. ся вновь. Прн этом число витков, которое совершит траектория, зависит от величины превышения траектории над критическим значением перед леребросом. Лоренц использовал метод точечных отображений, позволяющий пеРейтн от системы с непрерывным временем к системе с дискретным вре- 86 Глава 2 зы и эы «> ал о иа и Рвс.
2.37. Рвс. 2.36. 2Ми> Ме ( 1/2> 2(1 — М»)> Мч > 1/2. (2.31) Если рассматривается последовательность, начинающаяся со значения Мо, то она будет развиваться по следующей цепочке: 8Мо, 2 — 8Мо, 4 — 8Мо, б — 8Ма 8 — 8Мо, — 2+ 8Мо — 4+ 8Мо — 6+ 8Мс, 4Мс> 2 — 4Ме 4 — 4Ма, — 2+ 4Мо, )' 2Ме, ) 2 — 2Мс, Мз Мп = тле ~ 2"Ме.
Здесь гл„— четное число такое, что оно сдвигает величину 2"Мо в ин- менем, — вариант сечения Пуанкаре, называемый отображением первого возвращения. В качестве отображения использовалось значение величины Я в текущем локальном максимуме, как функция от значениа в предыдущем макснмуме (рис. 2.36). Левая, восходящая часть функции соответствует процессу раскручивания, а переход за пик — перебросу к другому фокусу.
Лоренц предложил простейшую модель наблюдаемого процесса— отображение отрезка (О,Ц на себя вида (рис. 2.37) 2.7. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ рвал (О,Ц. Все возможные последовательности можно разделить на три типа: 1) Последовательности, заканчивающиеся в нуле. Таких последовательностей счетное множество, и они начинаются с элемента вида Мо = — и/2р, где и — нечетное целое число.
Тогда Мр г = 1/2 и Мр —— О. 2) Периодические последовательности. Они возникают, если Мо —— = и/2ри, где и, р — простые числа. Тогда Мрьтьь = т ж 2Р+з+ьп/(2ри) = — Рп ~ 2 2ьи/ш Простейшие примеры получающихся периодических последовательностей есть (2/3,)... (2/5,4/5,) (2/7, 4/7, 6/7, ) (2/9, 4/9, 8/9, ) ., 3) Апериодические последовательности. Эта модель иллюстрирует еще Одно важное свойство системы— неустойчивость к малым возмущениям (ЧЗНУ).
Действительно, если рассмотреть последовательность с малым возмущением начального элемента Мо — — Мо + е, то после п итераций М„' = тпв ~ 2" (МО ~ е) М„+ 2"е, что свидетельствует об экспоненциальном росте возмущений. Отметим, что модельное отображение (2.31) прн всей своей простоте сохраняет важнейшее свойство, приводящее к ЧЗНУ в диссипативных системах, — это растяжение в сочетании со складыванием.
Растяжение на каждом шаге приводит к экспоненциальному росту начального смещения (расхождению траекторий), а складывание обеспечивает возвращение в ограниченную область (в данном случае интервал). 2 7.2. Модель динамо Рикитаке Другой пример динамической системы со стохастическим поведением лает так называемая модель двухдискового динамо Рнкитаке, предложенная в связи с задачей об инверсиях геомагнитного поля. Магнитное поле Земли в первом приближении представляет собой диполь, который по палеомагнитным данным многократно и нерегулярно менял свою полярность. На сегодняшний день шкала полярности геомагнитного поля восстановлена более чем за 1700 миллионов лет, что составляет порядка половины 88 Галях 2 возраста Земли.
За это время зарегистрировано 593 переброса магнитного поля, причем время между двумя перебросами колебаегся в интервале от 1О тысяч до сотен миллионов лет, демонстрируя хаотическое поведение, лишенное каких-либо периодичностей. Магнитное поле Земли возбуждается в результате конвективного движения в жидком электропроводящем ядре. Процесс возбуждения магнитного поля в движущейся проводящей среде называют явлением МГД-динамо. Земное динамо представляет собой сложный нелинейный магнитогидродинамический процесс, исследование которого далеко от своего завершения, Большой интерес представляют поэтому любые улрошенные модели процесса генерации магнитного поля, способные приводить к случайным сменам полярности генерируемого магнитного поля.
Рис. 2.38. Самые простые модели оперируют не потоками проводящей жидкости, а движущимися проводниками. Первая попытка построить такого рода модель принадлежит Булларду ~36~, который предложил однодисковое динамо, но такая модель не дает смены полярности генерируемого поля. Рикитаке рассмотрел систему двух дисковых динамо, связанных таким образом, что ток от одного диска питает катушку возбуждения другого и наоборот ~7Ц. Эта ситуация изображена иа рис.
2.38. Оба диска вращаются без трения и находятся под действием одинаковых моментов сил С, компенсирующих 2.7, НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ В9 омические потери в дисках и обмотках. Уравнения, описывающие зволю- цшо токов 1м 1з и угловых скоростей Йы Йш можно записать в виде 1,1, + Ш, = МЙ,1„ 11г + В1з = Мйг1ы Сйт = С вЂ” М171зр Сйз = С вЂ” М171ш (2.32) где 1, — коэффициент самоиндукции,  — сопротивление каждой цепи, М— коэффициент взаимонндукции, С вЂ” момент инерции диска.
Два последних уравнения (2. 32) показывают, что разность угловых скоростей есть величина постоянная: В, — м, = р 'сумм, где А — константа. Это позволяет перейти к системе трех уравнений. Система записывается в безразмерном вице. При етом за единилу тока м ррмрм,р, и р — Гсс7мм, щ, м времени — величину,/т,т . Единица времени выражена через два характерных масштаба времени, присущих системе. Это время т, за которое диск под действием приложенного момента сил разгоняется до характерной скорости В/М, т = СВ/СМ, и время электромагнитной диффузии т, = Ь/В, характеризующее время вырождения магнитного поля прн остановке диска.
Их отношение является безразмерным параметром системы 7р = т,„/т, = СРсз/С1,М. Хг + 7рХз = (У вЂ” А)ХМ У = 1 — Х7Хз. (2. 33) Обозначая безразмерные токи как Х„а безразмерные угловые скорости как У, (в уравнениях остается одна переменная У, так как Уз — Уз = А), пРиходим к системе Хз+дХ, = УХз, ГЛАВА 2 90 Рве. 2.39. Система (2.33) имеет стационарные решения Хз=~к-1, У=У1=РК2, Уз=дк 2 Х1 = ~К, где А = д(Кз — К з).
Мы не будем подробно описывать свойства системы Рнкнтаке, оставляя ее изучение для самостоятельных работ. На рис. 239 показана только фазовая траектория системы для случая д = 1.5; К = 2. Можно видеть, что ее топология близка атграхтору Лоренца. 2.7З. Реальная коннекция Наибольшее число экспериментальных работ по исследованию перехода от упорядоченных течений к хаотическим выполнено, пожалуй, в исследованиях конвекпшных течений. Мы приведем некоторые результаты исследований перехода от ламинарного движения к турбулентности цри конвекции в кубической полости, взятые из работы Зимина и Кетова [9). Измерения проводились в подогреваемой снизу кубической полости с ребром 40 мм, образованной медными стенками.
Горизонтальные стенки термостатировались, обеспечивая заданную разность температуры, а вертикальные обеспечивали равновесный однородный градиент температуры. 91 2.7. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ Ряс. 2АО. Надкрнтнческие течения, возникающие в кубической полости и имеющие наиболее низкие уровни устойчивости, схематически показаны на рис. 2.40, где стрелками показано направление движения жидкости в верхней части полости, а знаками «плюс» и «минус» обозначены области, в которых температура оказывается вьппе или виже средней. Критические числа Релея для движений типа А н Б равны 8224, для  — 9184 и для à — 14032. В полости были установлены дифференциальные термопары, расположенные таким образом, что их показания позволяли выделять движения всех четырех типов.
Не останавливаясь на деталях развития неустойчивости и переходов от одного режима движения к другому, приведем лишь некоторые данные, иллюстрирующие поведение системы в одночастотном, двухчастотном и стохастическом режимах. Для каждого из трех режимов на рисунках представлены изменения во времени показаний термопар, соответствующих каящому нз вьщеляемых течений, проекции фазовых траекторий на шюскости, образованные всеми парами термопар, и спектры мопщости пульсаций температуры, регистрируемой каждой из четырех термопар.
Рисунки 2.41-2 43 относятся к одночастотному режиму, регистрируемому прн числе Релея Ва = 2 10з. Первый рисунок показывает характер колебаний показаний всех четырех термопар, второй — соответствующие этим колебаниям проекции фазовых траекторий, ясно указывающие на существование предельного цикла. Об этом же свидетельствуют и спектры Фурье (рис. 2.43), состоящие из одного главного пика на частоте 0.54 Гц и пика на удвоенной частоте, обусловленные негармонической формой колебаний.
Следующая группа рисунков представляет результаты для числа Релея Йа = 2.24 10з . На рисунке 2.44 показаны пульсации показаний термопар, на рис. 2.45 — соответствующие фазовые траектории (за время, со- Рвкомвндтвмхя лиги атум к втовой глава я'с Рлс. 2.47 Рлс. 2.48 ответствующее периоду низкочастотных колебаний), а на рисунке 2.46— спектры, свидетельствующие о существовании двухчастотного режима (частоты 0.0451 Гц и 0.304 Гц). Движение становится стохастическим при На = 2.50 ° 10а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
