П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Одной из первых практических задач, приведших к развитию теории фракталов, была задача об определении длины береговой линии. Проблема состоит в том, что по мере использования карт с более мелким разрешением получаемая длина береговой линии все увеличивается и процесс не сходится. Береговая линия является, таким образом, типичным Фрактальным объектом (сравните со структурой снежинки Коха, рис.
2.20). Фрактальными свойствами обладают облака, кораллы, растущие кристаллы, семейства трещин при процессах разрушения и поле диссипации энергии в Развитом турбулентном течении. К фракталам приводят многие математические задачи. Простейший пример дает задача о границах областей цритяжепия рациональных отобра- 20 ГЛАВА 2 жевий комплексной плоскости в себя. Например, рассматривается уравнение з имеющее три корня (1, — 1/2 + «т/3/2, -1/2 — «т/З/2), и используется итерационный метод Ньютона для его решения. Это значит, что для уравнения Д«) = О строится последовательность значений «„ таких, что /(«„) + («„+г — «„)/'(«„) = О. В нашем случае зто приводит к выражению «„ьг = «„— («з — 1)/(З«з).
(2.16) Итерационный процесс (2.1б) стартует с различных начальных значений «с на комплексной плоскости и приводит, в конце юнцов, к одному из трех корней уравнения. Задача состоит в том, чтобы построить границы раздела трех областей притяжения. Такие границы называются множествами Жюлиа (задача Жюлиа датируется 1918 годом) и обладают замечательным свойством: каждая точка границы разделяет все три области притяжевия. Множества Жюлиа строятся и для логиствческого уравнения «„+1 = «„+ С, 2 2.5, Фглктхлы ов -ов -ов -ов -м ыо -и -ав -ы о ы оо ов ов Рис. 2.2!. ддя которого показано (Мандельброт, 1980 г.), что структура получающегося множества зависит от значений С на комплексной плоскости. На рис.
2.21 черным цветом показана область значений С, для которых множества Жюлиа представляют собой связные структуры. Видно, что эта область имеет крайне сложную структуру. Приняв за линию уровня число итераций, необходимых для попадания в к-окрестность решения и рисуя разные уровни разными цветами, получают живописные картинки, украшающие многие книги и журнальные статьи. Мы не приводим их нз-за бедности черно-белого представления и отсылаем читателя к соответствующим изданиям (см.
список рекомендуемой литературы). Эстетическое наслаждение можно получить и от рассматривания изображений аттракторов динамических систем. Вспоминая, что именно размерность атгракгоров динамических систем с хаотическим поведением заставили нас обратиться к фракталам, вернемся к вопросу о том, как именно можно измерить размерность аттракгора. 2.5.2. Алгоритм вычисления размерности атграктора Вопрос об измерении размерности атграктора становится особенно сложным при попытках обработки экспериментальных данных, когда даже вопрос о размерности фазового пространства, то есть вопрос о необходимом числе независимых переменных, остается открытым. Подход к Решению этой задачи дает так называемая теорема Таккенса, суть которой состоит в следующем. Пусть имеется динамическая система (не слишком большой размерности А!), описываемая системой дифференциальных уравнений первого 72 Глава 2 поряшш.
Принципиально, от системы Г«г уравнений первого порядка можно перейти к дифференциальному уравнению М-го порядка, содержшцему Ф прокэвОдны, но одной переменной (например, остается переменная Х(С) и ее производные Х(г), Х(г), Х(г) и т.д.). При представлении дифференциальных уравнений в конечных разностях это соответствует одновременному знанию величин Х(г), Х1г+ т), Х(г+ 2т), Х(г+ Зт) и т д., где т — постоянная.
Теорема Таккенса утверждает, что каждая переменная системы Х(1) отражает основные свойства этой системы, а аттрактор, построенный в фазовом пространстве переменных Х(г), Х(3 + т), Х(г + 2т), Х(с + Зт), ..., сохраняет основные топологические свойства аттрактора исходной системы. Практически, алгоритм вычисг) ленин размерности атграктора строится следующим образом. Для измеряемой величины Х(г) выбирается характерное время сдвига т и строится фазовая траектория на р переменных Х(Ф), Х(г + т), ..., Х(Ф + + 1р — Цт), как показано на рис.
2 22. Эта траектория состоит из последовательности точек, каждая из которых определяется в фазовом пространстве вектором Хь В каждую из Рнс. 2.22. этих точек помещается гиперсфера радиуса т, и вычисляется число тотраектории, попавших в пределы этой сферы. Затем вводится чек фазовой функция С(т) — йш — ~~«Н(т — ~Х; — Х ~), ау=1 (2.17) С(т) — т~, строят зту функцию в двойном логарифмическом масштабе и при наличии в таком представлении прямолинейного участка определяют его наклон, равный величине и'. Отметим, что степенной закон можно ожидать только на масппабах т, заметно меньших размеров области, занимаемой аттрактором.
характеризующая среднее число пар точек, попадающих в сферу заданного радиуса. Здесь Х вЂ” функция Хевисайда, равная, по определению, единице при положительных и нулю при остальных значениях аргумента. Ожидая, что 2.5. ФРАКГАлы 73 Процедура вычисления величины и ~а с(й повторяется для все возрасгаюших зна- о чений размерности используемого фазового пространства р.
При этом вычисленные значения Н равны р до тех пор, пока размерность используемого пространства остается меньшей размерности аттрактора. Если вычисленная раз- -3 мерность Ы перестает зависеть от р, то это означает, что она равна размерности 1я г самого атграктора. Наименьшее целое число, большее полученной (фрактальной) размерности аттрактора, называется размерностью вложения и определяет реальное число степеней свободы рассматриваемой системы. Пример поведения функции С(г) по мере роста р, построенная по результатам реальных измерений в конвекцин РелеяБенара в работе [62), приведена на рис. 2.23.
В этом примере наклон прямых линий перестает возрастать с р = 4, хотя предельный наклон прямых есть 2.8 (то есть размерность вложения равна трем). Ркс. 2.23 2.5З. Обобшенная размерность Пусть система эволюционирует в некотором фазовом пространстве. Разобьем это пространство на ячейки (и-мерные кубики) с ребром 1 (всего У ячеек) и вычислим вероятность попадания системы в каждую 1-ю ячейку: р,= 1ип — 1, и« Ф' М !и 2 Р,". ь=ь 27ч = 1пп— од — ! !п1 (2.18) Таким образом, вводится последовательность величин Т)ч, связанных с со- ответствующими моментами распределения вероятности.
Посмотрим, ка- кой смысл имеет эта величина при конкретных значениях 4. где пг — число точек, попавших в данную ячейку, а Ж вЂ” общее число Рассмотренных точек. Обобшенная размерность (размерность Рени) определяется как Глава 2 1)9=О 1п И(1) о 1п(1/1) где Ф(1) есть число ячеек, содержащих точки, и (2.19) образом, с определением размерности Хаусдорфа (2.15). 2) д = 1. В этом случае возникает проблема деления ривается предел о — 1, н с помощью правила Лопиталя 1 ЕР,' Еруй Рг Рг = Иш — 1пп ', = йто — 1цп ' о)п1я г (9 ц' ~ о)п(я г м ЕР~ (2.19) совпадает, таким иа ноль. Рассмат- м Е Рз)пРг с=а 1п1 (2.20) Числитель под знаком предела есть энтропия Шенона, а размерность Р1 называют информационной размерностью.
3) 9 = 2. Теперь в числителе под знаком суммы стоит квадрат вероятности попадания точки в ячейку, то есть совместная вероятность одновременного попадания пары точек. Таким образом, м Рг = 1пп = 11ш )п С(1) (2.21) г о 1п1 г о где С(1) есть функция (2.17), а размерность (2.21) называется корреляционной размерностью. Справедливо общее правило: Р, > Р, если 1 < у. Это означает, что статистические моменты более высокого порядка сосредоточены на подмножествах все меньшей размерности, а наибольшее значение всегда имеет Хаусдорфова размерность Ро.
2.6. Субгармонический каскад В этом параграфе речь пойдет о переходе к хаотическому движению по сценарию, называемому субгармоннческим каскадом и представляющему м .о Ро = Бш о — 1п1 ' сумма в числителе равна числу ачеек, в которых оказалась хотя бы одна точка. Следовательно, 75 2.6. Сувгавмоничвскнй кАскАд собой последовательность бифуркаций Аз удвоения периода. Мы уже упоминали бнфуркацию этого типа, разбирая возможные типы потери устойчивости траекзории при анапизе матрицы Флокс.
Качественно перестройку фазовой траектории,соответствующую бифуркации удвоения периода, инпострирует рис. 2.24. Предельный цикл после бифуркации замыкается только на втором витке, улваи- Рис. 2.24. вая тем самым период движения системы в фазовом пространстве. При этом в сечении Пуанкаре число точек удваивается, а в спектре Фурье появляется новая частота, вдвое меньшая той, что была до бифуркации.
Прекрасной иллюстрацией свойств субгармонического каскада является работа Фейгеибаума «Универсальное поведение квадратичных отображений» (45), содержание которой мы в основном и постараемся пересказать. Рассмотрим отображение первого возвращения , //з) хь+з = /(хь) = 4дхь(1 — хь), (2.22) где х С (О, Ц и 0 < д < 1. Отображение ставит в соответствие каждой точке из интервала [0,1) другую точку из этого же интервала. д — управляющий параметр. При д < 0.25 существует только ~ ° одна точка, в которой хььз = хь.
Это точка х = О, и она устойчива. Действительно, /'(х) = 4д(1 — 2х) Рис. 2.25 /'(О) = 4п. Это означает, что при и < 1/4 производная в точке пересечения функции /(х) с биссектрисой хь»з = хь остается меньше единицы, что обеспечивает устойчивость решения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
