П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Значения турбулентной вязкости часто превьппают при этом молекулярную вязкость на многие порядки. Так, например, для задач описания круономасл1табных течений в атмосфере принимают значения турбулентной вязкости в диапазоне 10з-104 мз/с, в то время как молекулярная кинематическая вязкость воздуха равна 2 . 10 ь мз/с (т.
е, различие составляет 7-9 порядков!). 3.5. Длина пути смешения Многие простые схемы замыкания опираются на идею Прандтля о длине лулш смешения, характеристике потока, под которой понимают расстояние, проходимое жилкой частицей лолерек потока, прежде чем происходит ее смешение с окружающей жидкостью. Понятие пути смешения исходит ю аналогии между турбулентным перемешиванием и молекулярным переносом в газах, когда характеристики молекул остаются постоянными в промежутках между соударениьми.
Модель Пранлтля применяется обычно к простым потокам, в которых средняя скорость имеет толью одну компоненту (пограннчные слои, каналы, трубы). Ддя определенности будем считать, что П = (У„О,О), а существенным является только градиент средней скорости вдоль оси ж Тогда, следуя Праидтлю (1925 г.), можно написать, что (3.30) (и,и,) = — 1 (д,У,) Формула (3.26) получается и из качественных соображений, использующих идею турбулентной вязкости.
Действительно, если считать, что величина пульсаций сюрости в турбулентном потоке пропорциональна градиенту средней скорости, то из размерных соображений появляется юэффицнент с размерностью длины: и; ж цд,У,~. Логично также предположить, что турбулентная вязкость тем больше, чем выше уровень турбулентных пульсаций. Соображения размерности снова требуют наличия множителя с размерностью длины: и, )и. Тогда и~ -1 ~д,У~), что в принципе эквивалентно формуле (3.26).
Глава 3 108 Перечислим некоторые задачи, в козорых широко используется гипотеза Прандтля о пути смешения. Свободный слой со сдвигом шириной г(. В этом случае длина пути смешения считается постоянной: 1= Сг1, где С вЂ” эмпирическая константа, величина которой имеет порядок С ~ О, 1. Турбулентный пограничный слой. Предположение о том, что размер доминирующих вихрей пропорпионален расстоянию от стенки», приводит к выражению 1= С». В этом случае эмпирическая константа С вЂ” О, 4.
Течение в открьпом канале. Для канала глубиной И используется оцеи- 1 = С»~/1 — »/й. Эта формула применима и для закрьпого канала. В этом случае глубина г( заменяется на полуширииу Ы/2. Формула работает и в случае круглой трубы (вместо глубины в ней появляется радиус канала).
Значение эмпирической константы в кажлом случае свое. Важно отметить, что определение длины пути смешения (длины перемешиваиия), предложенное Пранатлем (3.26), не является единственно возможным. Широко используются и некоторые другие модели, опирающиеся на это понятие. Например, Тейлор ввел модель, в которой теизор напряжений Рейнольдса для одномерного турбулентного потока задается выражением (и и,) = — Ш,д,У,. (3.31) З.б. Модели переноса турбулентной вязкости В общем случае турбулентная вязкость меняется от точки к точке и может изменяться со временем, то есть и, = и~(1, г).
К моделям переноса турбулентной вязкости относятся модели, в которых для турбулентной вязкости записывается зволюпионное уравнение. Формально, для любой переносимой течением скалярной величины а, для которой выполняется закон сохранения, можно записать уравнение вида дга + (тгт7) а = дуд~- + С + .О, (3.32) 3.7. Двтхпклкьштгичлскив модвли !09 где и — поток величины а за счет диффузии, С вЂ” слагаемое, характеризуюшее генерацию величины а, Р— слагаемое, характеризующее диссипшлпо этой величины. Если предположить, что полная вязкость (сумма молекулярной и турбулентной вязкостей) есть переносимая потоком скалярная величина, то для нее можно записать уравнение вида (3.32).
Приведем в качестве примера такой модели переноса турбулентной вязкости уравнение, предложенное Ни и Коважным для плоского пограничного слоя (66), д,и, + сГ дует = д.((и+ кз)дгкт) + Аг~к~д,(/х~ — Ва~и(а + ~с). (3,33) Выражение для потока полной вязкости записано в предположении, что коэффициент диффузии равен этой же полной вязкости (условие самодиффузии). Уравнение включает две эмпирические константы. Параметр А характеризует интенсивность генерации турбулентной вязкости за счет сдвига (авторы модели принимали его значение близким к 0,1), и параметр В характеризует «самосжигалие» турбулентной вязкости. 3.7.
Двухиараметричеекие модели Большую группу моделей составлжог модели, основанные на рассмотрении кинетической энергии пульсаций скорости (г = (и~)/2. В моделях этого типа обычно появляется и вторая важная характеристика — скорость диссипации энергии ы Турбулентная вязкость выражается через эти две величины. Соображения размерности приводят к соотношению ик =СЙ /е.
Уравнение для энергии пульсаций скорости можно получить из уравнения (3,23), положив в нем у' = з (не путаем в уравнении кинетическую энергию пульсаций и индекс й): д~й+ (/кдк/г = — (игпк)дкЦ вЂ” дк [(пк (и~/2 — р'/р)) — идкл~ + (и</,), (3.34) однако это уравнение по-прежнему включает неизвестные моменты и не снимает проблему замыкания. Замыкание уравнения (3.34) приводит к шиРокой группе моделей переноса кинетической энергии. Не претендуя даже на беглый обзор полуэмпирическнх моделей этого типа, мы только приведем пример Й вЂ” е модели для описания течения в плоском пограничном слое на стенке: д~й+ У. дай+ У,д~й = д (и~дЯ+ и~(д~Уе) — а, (3.35) Все+ У,д а+ У„д,к = д,(таад,а)+Сгей-ги~(д,У,)з Сзезк г (3 36) Замкнутую систему образуют при этом уравнения (3.18), (3.19), (3.24), (3.35) и (3.36).
'Д~ 24 а !Б О О т 4 б В и и и н и а/Э Рис. 3.2 Для иллюстрации возможностей полуэмпирических моделей на рисунке 3.2, взятом ю работы 134), показаны результаты вычислений осесимметричного следа за шаром в несжимаемой жидкости с помощью различных моделей. Точками на рисунке обозначены экспериментальные данные, пунктирной линией — результаты расчета с помощью однопараметрической модели, штрихпунктирной — результаты расчета с помощью Й вЂ” В модели, сплошной — результаты расчета с помощью другой двухпараметрической модели, специально разработанной для свободных течений. Очевидно, что уравнения для статистических моментов, характерюующих более сложное течение, например турбулентную конвекцию, должны включать соответствующие моменты для температурных пульсаций и смешанные моменты, характеризующие корреляции поля скорости и поля температуры. В заключение еше раз отметим, что полуэмпирические модели представляют наиболее разработанное направление в изучении турбулентных течений и подробно описаны в литературе.
Дла начального систематического знакомства с ними можно порекомендовать удачно подобранные сборники статей под редакцией'Фроста и Моулдена и под редакцией Кольмана. 3 8, КРупнОмАсштАБное мьгнитнОе пОле В туРБулентнОЙ сРеде ! 11 з Й. Крупномасштабное магнитное поле в турбулентной среде Краткое описание подхода Рейнолъдса к рассмотрению средних полей турбулентном потоке завершим задачей, являющейся одним из примеров наиболее успешного его применения.
Речь идет о задаче об эволюции магнитного поля в турбулентной проводящей среде, возникшей в связи с проблемой объяснения происхождения магнитных полей планет, звезд, галактик. Наблюдения показывают, по большинство жидких. вращающихся кос мических тел Обладает собственным магнитным полем. Среди планет Солнечной системы наибольшее магнитное поле имеет Юпитер (около 10 з тесла, что соответствует 10 гаусс в системе СГСЕ). Поле Земли примерно в 10 раз слабее, а мапппное поле медленно вращающейся Венеры в тысячи раз слабее, чем поле Земли. Магнитное поле на поверхности Солнца характеризуется величинами порядка 1Гс, но известны примеры быстро вращающихся звезд, имеющих поля, достигающие тысяч гаусс.
Идею о том, что магнитное поле в космических телах может генерироваться движущейся проводящей средой, впервые высказал Лармор в 1919 г. при обсуждении происхождения магнитного поля Солнца. Явление возбуждения магнитного поля движущейся проводящей средой получило название магнитогидродинамического динамо (сокращенно, МГД-динамо), и именно оно считается на сегодня ответственным за формирование космических магнитных нолей. Однако с работы Лармора до построения первых реалистических моделей этого процесса прошло мною времени, так как многие попытки предложить простые схемы течений, способных возбуждать магнитные поля, окончились неудачей, Более того, эти попьпки привели к доказательству так называемых «анпдинамо»-теорем.
Первая такая теорема принадлежит Каулингу (1934 г) 140], доказавшему, что никакое осесимметричное течение не может поддерживать стационарное осесимметричное поле. Эта теорема фактически вынесла приговор ламинарным моделям динамо космических тел, где осевая симметрия навязывается самой задачей. Ключевая идея, позволяющая избежать запрет, налагаемый теоремой Каулинга, состоит в том, что симметрия может быть нарушена малько на мелких масштабах. Эта идея наиболее последовательно была ~формулирована в работе Штейнбека, Краузе и Редлера (1966 г.) (77), совиестнвшнх подход Рейнольдса к описанию средних турбулентных 'полей с анализом топологическнх свойств мелкомасштабного поля скорости.
Движения проводящей жидкости описываются уравнениями магнитной пщродинамики (см. раздел 1.5), которые включают уравнение движе- 1!2 аллах 3 ния несжимаемой жидкости дч+(чч)ч = — р ~'7Р+ иЬч+(рпро) (госВ х В), (3.37) уравнение магнитной индукции д!В = гоь (ч х В) + ю,„л!В, (3.38) а также условия несжвмаемости среды и соленоидальности магнитного поля 01чч =О, сйчВ = О.
Следуя подходу Рейнольдса, скорость и магнитное поле представляются в виде сумм средних (крупномасштабных) и пульсациоииых частей ч(г, Г) = Т1о(г, $) + п(г, $), В(г,!) = Во(г,Ф) + Ъ(г,Ф), (3.39) (3.40) д!Вс = гос(Т3о х Ве) +готе+ и„,ЬВо, (3.41) где величина е = (и х Ь) (3.42) где для пульсаций справедливы условия (и) = О, (Ъ) = О. Строго говоря, в теории динамо средних полей к разложению (3.39)-(3.40) предъявляют более жесткое требование, чем то, что использовал Рейнольдс. По сугн„используют так называемое даухмасштабнае приближение„состоящее в том, что со средними полями По и Ве связывают характерный масштаб Т (и характерное время изменения Т), а случайные пульсации считают сосредоточенными на масштабах 1 (и соответственных временных масштабах 1) таких, что 1 « Е и Ф « Т.
Такое разделение масштабов позволяет провести корректное осреднение макросколических полей на промежуточных временах (масштабах). Попытка применения подхода Рейнольдса к системе уравнений (3.37К3.38) очевидным образом приведет к уравнениям, значительно превосходяшим по сложности обсуждавшееся вьппе уравнение Рейнольдса. В теории динамо ставится более скромная задача. Считается, что поле скорости известно, то есть известны структура крупномасштабного поля скорости Оси статистические характеристики мелкомасштабного поля скорости и, н требуется решить толъко уравнение индукции (3.38).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
