П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 24
Текст из файла (страница 24)
ФРАКТАЛЫ Н ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 145 сз Р1 = Ж где (; есть среднее по кубику ! значение рассматриваемой величины. Опре- делим структурные функции ру 2 (4.73) и вспомним введенное в параграфе 2.6.3 понятие обобщенной размерности, котораа есть 1и 2,' рч Вч = !Нп (4.74) о (д — 1) !п1 Исходя из мультифрактальной структуры рассматриваемого поля, то есть считая, что в различных точках пространства исследуемая величина подчиняется масштабному закону типа р(1) 1 с различными значениями показателя О, структурные функции можно записать в вцле (4.70), а именно, 1да-Да)д Я (4.75) а При 1 — ~ 0 в интеграле (4.75) доминирующую роль играют области, обеспечивающие минимальное значение показателя степени.
Следовательно, значение величины с определяется условиями (4.7!)-(4.72). Пусть гг(о) есть значение гг„обеспечивающее условие минимума (4. 72) для заданного значения Ф Тогда 1да-Па) ч Согласно определению (4.74) !и Я ДΠ— )'(О) .Оч — — ! пп -с (с — 1) !п1 (4 — !) параметров и может описать любую экспериментально обнаруженную зависимость с(о).
Рассмотрим алгоритм вычисления мультифрактального спектра. Пусть имеется положительно-определеннал величина б (зто может быть плотность энергии, энстрофии, скорости диссипацни энергии и т.д.). Исследуемую область разобьем на кубики с ребром 1 (всего Ф кубиков) и введем величины ГЛАВА 4 !46 ч О а, а, Рис. 4.9 (4.76) Выражение (4.76) дифференцируем по Ф Учитывая, что !(47" = о' Ячо и условие (4.72), получаем а(9) = 64 [(9 — 1) Рч) . (4.77) Таким образом, алгоритм вычисления мультифрактального спектра состоит в следуклцем.
Имея измерения бз, по формуле (4.74) вычисляют размерность Р(9) для различных значений д (как положительных, так и отрицательных). Затем по формуле (4.77) определяют значения а(9), обеспечивающие минимум (4.71) для данного 9. После этого по формуле (4.76) вычисляют спектр Г'(а). Типичный вид функций Р(9) и Г" (а) показан на рис. 4.9. Функция Р(ц) пересекает ось ординат в точке, дающей размерность пространства (три, если речь идет об обычном трехмерном потоке, либо два, если исследуется двумерная картина). На графике Да) точка максимума соответствует моменту нулевого порядка(~'(а) = д = О).
Абсцисса этой точки, обозначенная на рисунке как ас, дает среднее значение показателя скейлинга а. Наиболее вероятное значение величины а дает точка а1, определяющая точку кривой, в которой д = 1' = 1. 4.6. Логпуассоиовские модели В этом разделе мы рассмотрим модели последнего поколения, возникшие а середние 90-х годов. Первой описана модель, предложенная Шс 4.6. Логпглссоновские модели 147 „Л веком в 1994 году 174].
Основанная иа трех гипотезах, из которых ве казались не очень убедительными, модель лала простую формулу для ависимости с . По счастливому стечению обстоятельств, в это же вре- ~ группой итальянских и французских исследователей экспериментально бмл обнаружен любопьггный факт, получивший название расиглрелной ав„,лмодельлости ~31), который позволил существенно повысить точность зкспеРиментального опРеДелениЯ показателей с Дла стРУктУРных фУнкцнй высоких порядков. Новые экспериментальные результаты удивительно хорошо совпали с формулой Ше-Левеке Существенное обобщение этой модели было сделано Б.
Дюбрюль [43), которая включила в модель и идею расширенной автомодельности. Расширенной автомодельности посвящен следующий параграф, а модель Дюбрюль описана в последнем параграфе этого раздела. 4.6.1. Модель Ше-Левека Модель Ше-Левека держится на трех гипотезах. Первая — зто гипотеза подобия, введенная Колмогоровым в модели К62 Яя(1) = (бф (е~~~ )(п~, (4.78) которая записывалась выше и в виде С = 9/3+т 7з, (4.79) бй (7 ) 4) (4.80) предполагающем существование степенного зыюна (ф 1' для статистических моментов поля диссипации энергии.
Модель содержит в себе и идею мультифракгальности развитой турбулентности. Напомним, что основной (качественный) вывод нз мультифрактального подхода к проблеме мелкомасштабной турбулентности состоит в том, что в потоке сосуществуют области с различными заюнами скейлинга н что для моментов (структурных функций) различного порядка определяющую роль играют области с различным скейлингом.
В рассматриваемой модели Ше-Левела считается, что диссипация энергии е~ характеризуется «иерархией флуктуируюших структур» г)"), которые определяются как отношение последующих моментов поля диссипации ГЛАВА 4 148 Последовательность относительных моментов е(о ограничена, с одной сто роны, членом е(, который соответствует среднему значению скорости диссипации (е( — — й), и членом (о) (4.81) с дру1ой стороны. Относительные моменты (4.80) удобны тем, что все ови имеют размерность скорости диссипации. Поле днссипацин крайне неоднородно и формируется структурами с различными скейлинговыми свойствами.
Чем больше номер относительного момента д, тем более неоднородные структуры он описывает. Считается, что предел последовательности (4.81) сутцествует и определяется видом предельных диссипативных структур, в которых скорость диссипацин достигает экстремально больших значений. Исходя из экспериментальных наблюдений последних лет, авторы модели предположили, что эти предельные структуры имеют внд вихревых нитей с размерностью Р = 1. Две оставшиеся гипотезы касаются свойств относительных моментов е)(о) .
Гипотеза 2 вводит универсальную связь между соседними относительными моментами (4+1) (ЕУ' (»" " Е( = АоЕ1 Е1 (4.82) Соотношение включает неизвестный пока параметр Д и является, пожалуй, самым сильным предположением, сделанным при построении модели. Ясно, что любая гипотеза относительно связи статистических моментов различных порядков есть, по сути, гипотеза относительно функции распределения случайной величины, моменты которой рассматриваются. Забегая вперед, скажем, что гипотеза (4.82) подразумевает логпуассоновскую функцию распределения (этот факт был обнаружен позже, независимо Ч.-З, Ше и Б. Дюбрюль). Третья гипотеза касается величины е, . Предполагается, что она подчиняется степенному закону Е1 ( ) 1-з)з (4.83) Физическая мотивировка (4.83) состоит в следующем.
Как указывалось выше, величина е зависит от предельных диссипативных структур и имеет 149 4.6. логптяссоновскнв медали мерносп скорости диссипации энергии. Следовательно, из размерных соображений, е!( ) -бЕ /ес, е 3Е' есть плотность энергии, доступной диссипации в тех нитевид„ых структурах, о которых идет речь. Считается, что в этих диссипативвых структурах имеет место квазиразрыв, то есть независимо от масштаба бо! ьз боо и энергия не зависит от масштаба (.
Маспзтаб времени принизмется колмогоровским (1! а ~У~(~~~), что приводит к оценке (оо) г — 1 ( — 2/3 На основе введенных гипотез можно получить выражение для структурных функций поля диссипации, а затем и поля скорости. Из третьей гипотезы (4.83) следует, что прн д — со (ее+ ) и, следовательно, при больших 9 ' = — 29(8+ С. (4.84) Пользуясь представлениями о фрактальной структуре с размерностью .О, можно записать (по-прежнему для больших д) ( ч) (-гауз(з — о откуда следует, что константа С имеет смысл коразмерности, а поскольку сделано предположение о том, что структуры есть нити, то их коразмерность равна двум. Таким образом, С = 2.
Для произвольных значений д к выражению (4.84) следует добавить функцию, вид которой определяется с помошью второй гипотезы. Итак, тч — — Дд) — 2д/3 + С, (4.85) причем !(9) — О прн д — со. Выражение (4.82) перепишем в виде д+г ,+! (А+!) (ея) 150 ГЛАВА 4 эквивалентном уравнению те+э = (1 + Яте+1 — |Зтт — 2(1 — )3)/3.
Пользуясь формулой (4.85), получаем уравнение для функпни /(ц) /(0+2) — (1+(3У(д+ 1) +Вт = О, (4.86) решение которого есть /(д) = сна, и, следовательно, тц — — с44 — 2о/3+ С. Входящие в решение константы определяются из условий та — — т~ — — 0 ((ф = 1, (е1 ) = 8 1о). Из первого условия а= — С= — 2, нз второго— С вЂ” 2/3 2 д= С 3' Окончательно имеем тт — — — 2о/3+ 2 (1 — (2/3)~), (4.87) Рис.
4.10. 151 4.6. Логпухссоновские мОдели пользуясь первой гипотезой — гипотезой подобия К62 (4.79), получаем искомую формулу для показателей степени структурных функций поля скорости сч — — д/9+ 2(1 — (2/3)ч7з). (4.88) Модель Ше — Левека претендует на то, что она лишена параметров. Это не совсем так, поскольку лежащие в ее основе гипотезы содержат в себе количественные характеристики (например, степень две трети в гипотезе 3). Тем не менее, полученная формула замечательным образом воспроизводит экспериментальные данные для величин сч. На рис.4. 1О экспериментальные данные (точки), взятые нз различных работ, приведены вместе с кривыми, соответствующими всем рассмотренным нами моделям. 4.6.2. Расширенная автемодельность Расширенная автомодельность (в оригинале — Ехгепоео Зе!Г бйшйапгу, давшая уже устоявшуюся аббревиатуру ЕЯЯ, которой мы также будем пользоваться) — это экспериментально установленный факт, не нашедший еще достаточного теоретического осмысления.
Первые результаты были получены при измерениях свойств мелкомасштабной турбулентности в аэродинамической трубе и опубликованы в работе [ЗЦ. Цель работы состояла в изучении свойств структурных функций Зч(1) н ТчЯ = (~бы ~я) (4.17). Во-первых, в этой работе было показано, что функции Тч статистически более устойчивы (для их определения требуется меньшее число реализаций) и подчиняются тем же степенным законам, что и функции Яч (речь идет о функциях нечетных порядков, поскольку для четных функции просто совпадают). Во-вторых, была обнаружена интересная связь между структурными функциями различных порядков. Напомним, что для определения степенных показателей сч обычно используют двойные логарифмические координаты, откладывая логарифм соответствующей структурной функции в зависимости от логарифма масштаба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
