П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 25
Текст из файла (страница 25)
На графиках выделяют прямолинейный участок и, считая, что именно он соответствует инерционному интервалу, определяют по его наклону показатель Сч. Чем выше порядок структурной функции, тем короче и менее выраженным становится прямолинейный участок на графике. На рис. 4.11 показаны результаты измерения структурной функции второго порядка, полученные для течения в аэродинамической трубе при трех значениях числа Рейнольдса (квадраты — Не = 6000, кружки — Не = 22600 и кресты — Не = 47000).
Изучая эти данные, можно видеть, что вопрос об идентификации инерционного интервала далеко не прост даже для достаточно высоких значений числа Рейнольдса. Обрабатывая результаты из- 152 ГЛАВА 4 о. ю >АО О-а. о -3. о. > -с О О 2. о 1«В, «1ЛЧ!' Рис. 4.12 !«в„р Рис. 4.11 Яд(!) = Яр"~", (4.89) то есть расширение «видимого» инерционного интервала происходит при использовании в качестве осей координат любой пары структурных функ- ций. мерений структурных функций пульсаций скорости, авторы предложили необычное представление данных. По оси абсцисс вместо масштаба 1 была отложена структурная функция третьего порядка Яз. В инерционном интервале, согласно закону «четырех пятых» (4А4), эта замена тождественна и не может изменить наклон кривой.
Неожиданный результат состоял в том, что при представлении результатов в координатах (!л Яю 1п Яз) инерционный интервал становится более выраженным — прямолинейный участок графика продляется до масштабов, лишь в несколько раз превышающих диссипативный масштаб )1. Важно, что наклон кривой остается при этом прежним. На рис. 4.12, взятом из той же работы, все данные предыдущего рисунка представлены в таких координатах.
Видно, что все данные (даже принадлежащие разным режимам течения) легли на одну прямую, определение наклона которой не вызывает труда. Таким образом, обнаруженньш эффект позволяет значительно увеличить точность определения показателей сч. Интересно, что ЕЯ8 приводит к появлению «инерционного интервала» и при относительно низких значениях числа Рейиольдса, когда в обычном представлении инерционный интервал не обнаруживается вовсе.
В более общем виде расширенная автомодельность (ЕЯБ) проявляется при любом представлении вида 153 4.6. ЛОГПУАссоновские модели 4 4.5. Манель Ше-Левека-Дюбрюль В заключение рассмотрим обобщение модели Ше-Левека, предложенное Б. Дюбрюль. В основе обобщения лежат следующие идеи. Во-первых, используя расширенную автомодельность, избавиться от абсолкпного масв1таба 1. Во-вторых, отказаться от попытки получения беспараметрической модели. Последнее означает, что уменьшается число гипотез, априорно заложенных в модель, но расплатой за это являются дополнительные параметры, требующие экспервмеитального определенна. В-третьих, вместо величины е~ рассматривается безразмерная величина ,у <~) (4.90) являющаяся безразмерной характеристнюй поля диссипацни энергии (либо потока энергии) на масштабе 1, В формулировке Дюбрюль три гипотезы Ше — Левека приобретают следующий вид: 1) модифицированная гипотеза подобия б 3 йю~ е щ (4.91) (б„з) где знак = "ш означает наличие одинаковых статистических свойств; П) иерархия моментов (4.92) П1) гипотеза о перемежаемости (о наличии степенного закона для величины (щ)) (4.93) Связь модифицированной гипотезы подобия с гипотезой подобия К62 булет обсуждена ниже.
Вторая гипотеза представляет собой точную копию соответствующей гипотезы Ше — Левека, переписанной в терминах величины гь В третьей гипотезе появился независимый параметр Ь, характеризующий скейлинговые свойства экстремальных структур (в выражении (4.90) в знаменателе стоит величина е( ) ). 154 Глав 4 Гипотезы (4.91)-(4.93) позволяют получить после несложных вьгчнс лений формулу для показателей Сю Для этого, пользуясь второй гипотезон получаем связь высших моментов величины я~ с первым.
Действительно (4.92) можно записать в виде (4.94) и построить цепочку выражений ( 2) ( )з+д ( з) ( з)н-л( )-л ( )з+л+л' д-з где Я = ~ 13~. Вычислив сумму ряда ь=о д-1 со оа ч-,'Дь ~Д» ч-, Дь 1 д' — Р ь=о ь=о ь=я получаем лч (я~)=(яд~ л. Используя третью гипотезу (4.93), приходим к выражению (4.95) дЧ (. е (г„,) з-и (4.96) змз (хоч) (х„з)ч/з ~ (без) з 5 †(~,)ч7з Тогда формула для показателей степени есть (4.97) Чтобы полу ппъ выражение для структурных функций пульсаций поля ско- рости, нужно воспользоваться первой гипотезой (4.91) РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА К ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ 155 8 результирующую формулу вхолят два параметра, которые должны быть определены опытным путем: )3 и А. В последующих главах мы увидим, го зги параметры в различных случаях могут принимать различные значат, делая модель работоспособной в самых разнообразных турбулентных „,доках.
Очевидно, что выбор )3 = А = 2/3 делает формулу (4.97) эквивалентной формуле Ше-Левека (4.88). Еще один важный результат работы Дюбрюль состоял в том, что был показан смысл гипотезы об «иерархической связи моментов». Точнее говоря, ей удалось доказать, что гипотеза (4.92) при Ая Ре 1 соответствует логпуассоновскому распределению величины щ.
Распределению Пуассона соответствует функция распределения вероятности вида ряе "Р Г(9+1)' (4.98) 1пщ р = —. Некоторые аргументы в пользу логпуассоновского распределения вероятности в турбулентных течениях будут даны ниже. Справедливости ради следует отметить, что в последние годы были сделаны попытки описать случайные турбулентные поля и с помощью других функций распределения (например, логлеви), н окончательный ответ на вопрос о законах распределения вероятности в турбулентных потоках далеко не ясен. Рекомендуемая литература к четвертой главе [1) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродииамнка.
Мз Наука„1988. 736 с. [2) Монин А.С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. М.; Наука, 1965. Ч. 1. 639 с. [3) Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1967. Ч. 2. 720 с. [4] РТ1зсЫ). ТшЬц1епсе. СашЬпббе: СашЬТЫ8е (1шуегейу Ргекк 1995. 296 р. (Имеется перевод: Фриш У. Турбуленпюсть. Наследие Колмогорова. М.: ФАЗИС, 1998. 343 с.) где д = (р), а Г есть гамма-функция. Логпуассоновское распределение, удовлетворяющее гипотезе (4.92), получается при ГЛАВА 5 Законы сохранения и инерционные интервалы. Двумерная турбулентность Распространенным способом упрощения физической задачи при ее теоретическом и численном решении является снижение размерности пространства.
Именно для двумерной постановки получены почти все точные решения уравнений Навье-Стокса. Как правило, и численные решения задач о ламинарном течении жидкости проводят для двумерной геометрии, При переходе к турбулентным течениям, когда число точек, необходимых для моделирования потока, растет, согласно оценке (4.23), как число Рейнольдса в степени «9/4» и быстро достигает пределов компьютерных возможностей, также кажется естественным начать численное моделирование с рассмотрения плоских течений. Однако турбулентность — явление существенно трехмерное, и в случае турбулентных потоков переход к плоской геометрии приводит к качественным изменениям свойств течений. Факт, что двумерная турбулентносп не является упрощенной моделью трехмерной, был установлен независимо Крейчнаном 159) и Бзтчелором 130) в середине шестидесятых годов.
Практически сразу стало ясно и то, что шансов иа реализацию чисто двумерной турбулентности в природных и даже в лабораторных условиях фактически нет. Несмотря на это, двумерная турбулентность привлекла к себе значительное внимание исследователей, которое не ослабевает и по сей день. Объясняется зто несколькими причинами. Во-первых, качественное своеобразие двумерной турбулентности дает прекрасные возможности для опробования различных моделей турбулентности (модель, претендующая на адекватное описание турбулентности„ должна быть чувствительной к изменению размерности пространства н правильно отражать ее свойства в случае трех и двух измерений).
Во-вторых, двумерная турбулентность стала доступной для прямьгх численных экспериментов уже в 70-х годах (в 80-х с появлением ЭВМ типа «Сгау» удалось выйти на сетки размером 1024х1024, достаточные для удовлетворительного воспроизведения инерционных интервалов, а такое же разрешение для трехмерных потоков стало возможным только в последние годы). Третья причина состоит в том, что, хотя 5.1. ьлконы сОхРАнениЯ и инеРЦиОнные интеРЕАлы 157 рого двумерных турбулентных течений и не существует, некоторые черты умерной турбулентности проявляют многие крупномасштабные геофиические и астрофизические течения (в этих случаях обычно говорят о квазидвумерной турбулентности).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
