П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Кудером [39), который изучал свободное вырождение турбулентного движения жидкости, возбуждаемого в мыльных пленках с помощью движений гребенки с заданным шагом между зубьями. В этих опьпах удалось показать наличие обратного каскада энергии (точнее говоря, был зафиксирован рост среднего размера вихря со временем). Рис. 5.4, 5.2. ЛАБОРАтОРные экспегименты 163 Первое количественное подтверждение существования обратного каска быяо получено в работе Соммериа [75), в которой исследовался обрату Блокад энергии в плоском течении в тонком слое ртути, возбуждае-.
мом эле«тромагнитными силами на малых масштабах. Схема экспервмена показана на рис. 5.4. На плоскую горизонтальную кювету размерами 120х120х22мм, заполненную ртутью, накладывалось вертикальное магнитное поле, достигавшее величины 1 Тл. Такое сильное магнитное поле практически подавляет вертикальные движения и приводит к формированию горизонтального течения с вертикальным профилем, описываемым известным решением Гартмана, которое характеризуется наличием ядра с однородным распределением скорости и узким пограничным слоем, толщина которого тем меньше, чем сильнее наложенное магнитное поле. Для описания плоских течений в тонких слоях жидкости существует простой, но эффективный способ приведения уравнений движения к двумерной форме, состожций в том, что поле скорости ч = (е„ею О) представляется в виде ч(х,у,х) = ч(х,р)у(х), (5.17) где функция Дх) описывает структуру профиля поперек слоя (в данном случае это решение Гарпяана (1,34)).
Выражение (5.17) подставляется в трехмерные уравнения движения, которые интегрируются затем поперек л А ь А А А ~(~. ~ ч~ ~РА-- ~(,м .ь, /(а /Гэ.. о с о с о Оператор Лапласа представлен в виде гз = Лх + д„, где ЬА = д,е + двэ. Получается двумерное уравнение д~ч + а(ч1(7)ч = — р ~тур+ ийхч — пч, (5.18) в котором коэффициенты а и д зависят от конкретного профиля течения в слое.
Уравнение (5.18) называют часто уравнением с линейньии трениеч. Линейное трение, в отличие от обычной вязкости, одинаково эффективно на всех масштабах (физически это трение в вязком погранслое) и осуществляет отвод энергии из течения на энергосодержащих масштабах Ае Это приводит к тому, что этот масштаб перестает зависеть от времени.
Учитывая, что коэффициент линейного трения д имеет размерность обратной секунды, легко получить оценку й, = йл(е, д) -,I р'7с. (5.19) Возбуждение течения в опытах производилось с помощью электромагнитных сил. В дно кюветы были встроены 36 точечных электродов, ГЛАВА 5 к которым подводилось постоянное напряжение (полярность чередовалась в шахматном порядке). Растекающиеся в слое электрические токи взаимодействовали с вертикальным магнитным полем и приводили к формированию 36 планарных вихрей, закрученных также в шахматном порядке.
Варьируя значения приложенного мапппного поля и силы тока, можно было менять интенсивность движения и величину линейного трения. В опытах исследовались турбулентные режимы, в которых удалось наблюдать формирование обратного к3 каскада энергии со спектром « — 5/3» и показать справедливость оценки (5.19). На рис. 5.5 приведен экс- О пернментальный спектр пульсаций скорости, полученный в этой работе, о и отмечен ожидаемый наклон спек» тра.
Очевидно, что диапазон масштабов, в котором можно ожидать формирования инерционного интервала, достаточно мал и результат носит. скорее качественный характер, Рис. 5.5. но именно эта работа убедительно доказала возможность существования (и наблюдения) обратного каскада энергии в квазидвумерных турбулентных потоках. Идея эксперимента Ж.Соммериа получила развитие в серии работ П. Табелинга с соавторами 154, 68), посвященных исследованиям течений в тонком слое электролита (150х150хЗмм), по которому пропускался электрический ток.
Под дном кюветы размещалось несколько десятюв постоянных магнитов размерами 5х8х4 мм каждый. Над отдельным магнитом формировался вихрь с характерным размером порядка 15 мм. Изменяя положения магнитов можно было меюпь поле сил, определяющее подкачку энергии в систему. Применение современных методов измерений скоростей по трассерам (так называемый метод РТУ вЂ” ратас!е ппайе те1осппену) позволило авторам не только измерить спектры пульсаций скорости, но и восстановить функцию плотности распределения вероятности. 5.3.
Численные исследования Мы уже упоминали о том, что основным обьекгом численных исследований однородной турбулентности являются двумерные течения. Спра- 5.3. Численник исследования 165 ведливо и обратное утверждение: основные результаты по двумерной турбулентности получены численными методами. Мы кратко остановимся на методах решения уравнений и перечислим основные результаты. В следующем параграфе мы отдельно обсудим результаты применения к двумерной турбуленпюсти модели, описанной в параграфе 4.6.2.
При численных решениях уравнения движения рассматриваются, как правило, в переменных функция тока — завихренность (5.20) (5.21) где Ч' — функция тока, ы — завихренность. Уравнения дополнены двумя членами: à — это функция, описывающая силы, возбуждающие течение, 1) — функция, описывающая дополнительную диссипацию энергии. Введение внешних сил необходимо для получения стационарной турбулентности. Дополнительная днссипатнвная функция также неизбежна для получения стационарной картины, так как в двумерной турбулентности происходит накопление энергии на крупных масштабах, и требуется обеспечить ее отвод именно нз болыпих масштабов. Решение проводится практически всегда для квадратной области с периодическими граничными условиями. В качестве методов решения в ранних работах использовали либо сеточные, либо спектральные методы, но после появления алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) практически во всех вычислениях используют спектрально-сеточный метод Орсжга.
Суть метода состоит в следующем: 1) на каждом шаге по времени сначала решается уравнение (5.20) методом сеток и получают поле завихренности, 2) используя БПФ, получают фурье-разложение поля завихренности, 3) в пространстве Фурье решают уравнение (5.21), 4) вновь используют БПФ для получения поля функции тока в физическом пространстве. Метод использует лучшие свойства и сеточных, и спектральных методов и дает значительный выигрыш в скорости вычислений. Все численные эксперименты можно разделить на две группы. Первая ~Руина — это эксперименты по свободному вырождению турбулентности, вторая — по стационарно возбуждаемой турбулентности. Свободное выРождение подразумевает отсутствие внешних сил.
В этом случае в (5.19) г = 2) = 0 и решение зависит только от начальных условий. С точки зрения динамики инерционных интервалов (5. 13) и (5. 14) более интересны эксперименты по моделированию стационарной турбулентности. Для получения стационарных режимов необходимо обеспечить подвод энергии.
В двумерной турбулентности интересны динамические процессы 1бб ГЛАВА 5 по обе стороны от масштабов возбуждения, поэтому сила Г записывается в пространстве Фурье таким образом, чзо она поддерживает на заданном уровне энергию гармоник с заданным модулем волнового числа ~1с~ = йь Особого разговора заслуживает диссипативный член Р. Во-первых, ои должен обеспечить отвод энергии из течения на больших масштабах (малых волновых числах).
Во-вторых, для получения более выраженного инерционного интервала переноса энстрофии часто модифицируют и характер трения в малых масштабах (больших волновых числах). При написании обычного диссипативного слагаемого в фурье-представлении получаем член вида Р(lс) — ийзш(я). В численных экспериментах искусственным образом повышают степень волнового числа и записывают диссипацию в виде Р(к) = — (фс "-~- ий»')2Я) (5.22) с типичным значением показателей степени и = пз = 8. Диссипативный член вида (5.22) приводит к тому, что действие диссипации концентрируется в узких интервалах вблизи граничных значений рассматриваемых волновых чисел. Численные решения уравнений (5.20)-(5.21) для больших чисел Рейиольдса принесли много неожиданных результатов. Большой неожиданностью стал очень крутой спектр в инерционном интервале переноса энстрофии.
Вместо закона (5.14) с наклоном « — 3» численные эксперименты дали значения от — З.б до — 5. Напомним, что в трехмерной турбулентности перемежаемость дает поправки к колмогоровскому закону « вЂ” б/3» порзщка нескольких сотых, а в двумерной расхождение составило единицы! Рассмотрим три численных эксперимента, которые будем называть А, В и С, взятые из работы (27).
Эксперимент А моделирует прямой каскад энстрофии. Используется сетка 1024х1024, случайная сила действует на волновых числах Мг = 10, диссипативный член используется в форме (5. 22). Эксперимент В моделирует обратный каскад энергии.
Сетка также 1024х1024, но сила действует на малых масштабах (йг = 266). В третьем численном эксперименте (С) делается попытка одновременно получить оба инерционных интервала. Использована сетка 1728х1728, н возбуждение на промежуточных масштабах (Йг = 40). На рис. 5.6-5.8 показаны спектры энергии для всех трех случаев. На рис. 5.9 показан график зависимости потока энстрофии по спектрУ полученный в эксперименте А. Видно, что в крупных масштабах (малых й) поток энстрофии практически отсутствует, а в малых масштабах выделяется интервал с постоянным значением величины, переносимой по спектрУ энстрофии. На следующем рисунке (рис. 5.10) показан спектральный поток 55Н ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 1Ь7 яао и' и* Рис. 5.8 н' н* Рнс.
5.7 Рнс. 5.6 Рнс. 5.9. Рвс. 5.10. энергии, соответствующий численному эксперименту В. В этом случае виден участок с постоянным отрицательным потоком, являющимся признаком инерционного интервала переноса энергии к крупным масштабам (обратный каскад). Именно наличие интервалов с постоянным потоком н является опрелеляющим признаком наличия инерционного интервала (соответствующая квадратичная величина переносится от масштаба к масштабу без диссипацни). На рис. 5.11 показан пример поля завихренности, полученный при моделировании инерционного интервала переноса энстрофии (этот и два последующих рисунка взяты из работы (23)). На рисунке показаны линии Равной завихренности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
