П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Однавп проведенные до настоящего времени численные эксперименты ие дают оснований для поддержки идеи обратного каскада. Второй сценарий предполагает «пассивное» поведение спиральностн в турбулентном потоке. Это означает, по реализуется обычный колмогоровский каскад энергии к малым масштабам с законом Е(*к) ез/з/с з/з, а спектральная плотность спиральности подчиняется в этом интервале закону г/(~) -1/З~-Б/З (5.34) (поведение пассивных примесей рассмотрено подробно в следующей главе).
Важно отметить, что диссипативный масштаб для спиральности Ан при 178 Глава 5 этом не совпадает с колмогоровским масштабом Л [4Ц. Действительно, масштаб Лп определяется равенством спектрального потока спиральности и скоростью ее диссипации (гп ибо~э/Лзп). Используя колмогоровскую оценку бо~ (е[)77з, получаем Л („зезе — з)г77 (5.35) (5.36) где величина кп есть скорость диссипации спиральностн, определяющая поток спиральности по спектру. Будучи точным результатом, соотношение (5.36) должно.выполняться в спиральной, однородной и изотропной (нзотропной в смысле вращений, но не зеркальных отображений) турбулентности не зависимо от того, какой из предложенных сценариев спиральных каскадных процессов реализуется в турбулентном потоке. Отношение двух диссипативных масппабов есть Л/Лн и~7~а и стремится при больших числах Рейнольдса (малая вязкость) к нулю.
Это означает, что разрыв между двумя диссипативными масштабами увеличивается и, следовательно, в мелкомасштабную часп спектра спиральность не доходит. Аргумент в пользу реализации последнего сценария поведения спиральной турбулентности получен с помощью каскадной модели в работе [4Ц. Следует, однако, заметить, что интерпретировать спиральность как пассивную примесь нужно осторожно по той же причине, что и энстрофию в двумерных течениях. Отметим в заюпочение точный результат, полученный О.Чхетиани для спиральной турбулентности в работе [24).
Речь идет о «спиральном аналаге» закона «4/б» Колмогорова для продольной корреляционной функпии третьего порядка (см. уравнение (4.46) в параграфе 4.3.2). Для спирального потока в рассмотрение вводится двухточечная корреляционная функция третьего порядка, связывающая продольную пульсацию скорости бш с векторным произведением поперечных компонент скорости т„в точках, отстоящих на расстоянии 1 друг от друга.
Для этой функции получен закон «2/15»: (бэч . [ч„(г) х ч„(г+ 1)]) = (2/15)ел1з, ГЛАВА 6 Турбулентность с пассивными и активными примесями 6.1. Пнееивиня примесь Турбулентный поток эффективно перемешивает любую переносимую нм величину. Если эта величина не оказывает существенного воздействия на поток, то ее называют пассивной примесью. В качестве пассивной примеси могут выступать вещество (тогда для количественного описания процесса вводят концентрацию примеси), температура (при малых числах Грассгофа), магнитные поля (при малых параметрах МГД-взавмодействия) н т.д. Для определенности будем рассматривать поле температуры, описываемое безразмерным уравнением дсТ + (чему) Т = и ~ ЬТ, (6.1) где о.
= и/Х есть число Працлтля, определяющее отношение вязкости жидкости к ее температуропроводности. Остановимся на возможном поведении пассивной примеси в турбулентном потоке с заданными свойствами. Внд спектра пульсаций пассивной примеси можно оценить, исходя из следующих соображений. В пределе малой температуропроводности уравнение (6.1) сохраняет квадрат пульсаций температуры, а величиной, регулирующей процессы переноса энергии пульсаций температуры по спектру, является величина ет — скорость диссипации энергии пульсаций температуры. Повторяя колмогоровские рассуждения, предполагаем, что неоднородность температуры вносится в поток на макромасштабе, а температуропроводность(днссипация) становится существенной только на микромасштабе, и в инерционном интервале должен существовать постоянный, не зависящий от масштаба поток энергии пульсаций температуры, равный скорости ее днссипацнн. В инерционном интервале поток энергии пульсаций температуры можно оценить как отношение энергии пульсаций бТ~з на масштабе 1 к харак- Глава 6 180 терному времени переноса ат бТ~(й.
Следовательно, ет 6Т~ (й бТ~ бш(1 = сопят. (6.2) Чтобы получить зависимость пульсаций температуры- от масштаба, нужно в (6.2) подставить соответствующую зависимость для пульсаций скорости. Так, если спектр кинетической энергии следует закову Колмогорова « — 6/3» (5.13) и Юш (а1)'~з, то получаем оценку 6Т~ ет е ~1~1~~~, (6.3) соответствующую спектру энергии пульсаций температуры вида Ет® = Стате ~ И (6.4) Рассмотрим поведение примеси в двумерной турбулентности.
Для инерционного интервала переноса энергии, где справедлив спектральный закон « — 5/3», остаются в силе все сделанные нами оценки и спектр пульсаций температуры также имеет вид (6.4). Причем н для трехмерной турбулентности, и для интервала обратного переноса энергии в двумерной турбулентности направление каскада энергии пульсаций примеси прямое, то есть энергия пульсаций переносится в малые масштабы независимо от направления каскада кинетической энергии. В инерционном интервале переноса энстрофии, где спектр кинетической энергии следует закону «-3» (5.14), а пульсации скорости оцениваются как Зс~ е 1, (6.2) приводит к соотношению зуз 6Т, - г/з, зув и спектру Ег(й) =Сгега '~з1с '.
(6.5) Проведенные оценки справедливы, вообще говоря, для случая, когда число Прандтля и — 1, то есть вязкость и температуропроводность имеют один порядок величины. Посмотрим теперь, как ведет себя пассивная примесь при экстремальных значениях числа Прандтля. Пусть о «1, что соответствует рассмотрению жидкости с очень хорошей температуропроводиостью (для определенности можно представить 181 6.1. ПАссиВнАЯ пгимвсь себе, что мы рассматриваем турбулентность в ртути или другом жидком металле). В такой среде диффузия тепла эффективней каскадных процессов. Если турбулентность существует и есть каскад кинетической энергии, то поле скорости непрерывно создает и пульсации температуры, но последние рассасываются на тех же масштабах, что и создаются, не успевая встушпъ в нелинейный каскадный процесс.
Источником пульсаций температуры служит крупномасштабное поле 6То, а оценку для величины пульсаций температуры на масштабе 1 получаем, сравнивая величину конвективного и диссипативного слагаемых в уравнении (6.1) 6и1бТо/й бТ1(1'. Используя колмогоровскую оценку для пульсаций скорости, получаем 5Т1 (т~з, что соответствует спектру Е (,) й-пгз (6.6) Интервал масштабов с такими свойствами назывюот инерционно-диффузионным интервалом. В двумерной турбулентности в инерционном интервале энстрофии при спектре скорости « — 3» аналогичные оценки дают еще более быстрое спадание спектральной плотности энергии пульсаций Ет(1с) Й (6.7) В другом предельном случае рассматриваются большие числа Прандтля и » 1, что соответствует турбулентному потоку вязкой жидкости с плохой температуропроводностью (такими свойствами обладают многие масла).
В этом случае каскад пульсаций скорости быстро затухает под действием вязких сил, но пульсации температуры уносятся в значительно более мелкие масвпабы, чем масштаб вязкой диссипации. Возникает так называемый внэкоконвектнивный интервал. Его динамика определяется крупномасштабным полем скорости, так как на этих масштабах пульсации скорости подавлены вязкостью.
Тогда ет 6Т1 (Ьь = сопзФ и 6Т1 1о. В результате получается спектр, на который впервые указал Бэтчелор, Ет(к) к (6.8) Сводная картина возможных спектральных законов лля пульсаций пассивной примеси приведена на рис. 6.1. 182 Галях 6 1пЙ Рис. 6.1 6.2. Конвектнвния турбулентность Рассмотрим пример турбулентности, развиваюшейся под действием силового поля, связанного с самим течением.
Таким примером может служить конвективное течение при больших числах Грассгофа. Мы рассмотрим специфюсу конвекпшной турбулентности как в случае трехмерного, так и в случае двумерного движения. Выпишем уравнения термогравнтационной конвекцни в приближении Буссинеска д~ч + '1 чЧ) ч = — Ч Р + Ьч + СгТе„ д Т + г, гу) Т = и 1ит, Йчч = О. (6.9) (6.10) (6.11) Уравнения записаны в безразмерной форме и вюпочают два безразмерных параметра: число Грассгофа Сг = д)1Тох,з1'из и число Працлтля и = и/Х. Обратимся теперь собственно к кслвективлой турбулентности, то есть турбуленпюсти, в которой основной движущей силой является неоднородность температуры.
Число Грассхофа Сг » 1, а число Працлтля для простоты будем считать порядка единицы. Пусть движение вызывается неоднородным нагревом на максимальном масштабе Ь и возникающее движение столь интенсивно, что движение является турбулентным. В этом случае возможно представить себе два сценария развития турбулентности. Первый 6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
