П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Кроме того, переход к двумерному пространству в магнитной, как и в обычной, гидродинамике связан со сменой интегралов движения, а следовательно, можно ожидать и качественных отличий в процессах каскадных переносов по спектру. Действительно, уравнения (6.22) в двумерном случае (рассматриваются поля ч = (ою ею О), В = („„,О), и считается, что д, = О) в пределе и, и — 0 по-прежнему сохраняют общую энергию (6.23) и перекрестную спиральность (6.24), но вместо магнитной спиральности (6.25) имеют новый интеграл движения — квадрат векторного потенциала а = 1А(~йК (6.32) Величина а является положительно-определенной величиной, спектральная плотность которой связана со спектральной плотностью магнитной энергии а(к) )с зЕн((с). Это означает, что прямой каскад энергии магнитного поля (к малым масштабам) должен сопровождаться обратным каскадом квадрата векторного потенциала (к большим масштабам).
В полной аналогии с двумерной гидродинамической турбулентностью, соображения размерности дают для инерционного интервала переноса энергии закон « — 5/3», а для инерционного интервала обратного переноса квадрата векторного потенциала — закон вида (6.33) ВВ(к) как 6.3. мгд-тл ьълкнтность 189 где е, есть скорость диссипации (спектральный поток) квадрата векторного потенциала. Таким образом, в двумерном случае появление магнитного поля сюенает запрет на прямой каскад энергии и делает двумерную МГД-турбукентносп более похожей на трехмерную, чем на двумерную гидродинамическую турбуленпюсть (вместе с прямым каскадом энергии становится возможным и рост энстрофни, а вместе с иим и увеличение скорости диссипации энергии). ГЛАВА 7 Иерархические модели турбулентности и вейвлеты В этой главе мы рассмотрим модели, основанные на идее применения функционального базиса специального типа, наиболее точно соответствующего структуре турбулентных полей.
Идея такого базиса впервые была предложена В. Зиминым в конце семидесятых годов и состояла в использовании семейства самоподобных функций прогрессивно убывающего масштаба [81. Базис бьш назван иерархическим, и на его основе были построены и исследованы многочисленные модели, также названные иерархическими (см. книгу В. Зимина н П. Фрака 110)). В конце восьмидесятых годов в научной литературе появилось слово «вейвлет», а к началу девяностых вейвлет-анализ превратился в самостоятельную, хорошо развитую область математической фюики.
Идеи, лежащие в основе теории вейвлетов, совпадают с идеями иерархического представления турбулентных полей, и в терминах этой молодой науки иерархические модели — это модели, построенные с помощью вейвлет-представления описываемых полей. Поскольку цель книги состоит в юложенви подходов к моделированию турбулентности, то главу мы начнем с идей, приведших к иерархическим моделям. В то же время, нельзя не остановиться и на формулировке основных положений вейвлет-анализа, который оказывается чрезвычайно полезным при анализе временной н пространственной структуры нелинейных гвдродинамических систем. Базовые идеи вейвлет-представления даны в последнем параграфе этой главы, а систематическое юложение основ вейвлет-анализа н некоторые примеры его использования составят содержание последней, десятой главы книги.
7.1. Иерархический базис для турбулентных полей Рассматривая численные методы решения уравнений движения жидкости, мы говорили о том, что чаще всего для этих целей используются либо 7.1. Инхгхичвский влзис для тэгвэлвнтных поляй 191 сеточные, либо спектральные методы, либо их комбинация. И те, и другие можно отнести к проекционным методам решения уравнений в частных производных, когда для решения используют проекции всех полей на функпнональные базисы. В сеточных методах функции представлены значениями в точках, плотность которых связана со спектральными свойствами рассматриваемых полей (мелкомасштабные вихри не должны провалнватъся между точками сетки). Более строго эта связь выражается теоремой Котельникова, согласно которой функция Дх), спектр которой ограничен пространственной частотой 2я/)1, может быль представлена суммой функций отсчетов (синкусов), цевтры которых размещены на сетке с шагом й.
Очевидно, что сеточное представление эффективно при описании локальных структур — мелкомасштабный вихрь описывается небольшим числом точек, находящихся в соответствующей области пространства. В то же время, лля описания даже очень простого по структуре крупиомаслпабного вихря требуется использование всех базисных функций. Спектральные методы используют разложение по гармоническим функциям. В этом случае каждая базисная функция описывает, по сути, систему когерентных вихрей, занимающих все пространство. В таком представлении очень просто описать вихрь, занимающий всю область, или периодическую систему вихрей — и в том, и в другом случае достаточно одной базисной функции.
Однако если требуется описать отдельный вихрь, занимающий малую часть рассматриваемой области, то потребуется весь гармонический ряд. Выше уже обсуждались и преимущества, и недостатки обоих методов с точки зрения решения уравнений гидродинамики. Сеточные методы эффективны прн вычислении нелинейных членов, так как позволяют выразить значение в точке через небольшое число соседних точек, но приводят к большим затратам машинного времени при решении уравнения Пуассона, требующего построения итерационного процесса, в который вовлечены все точки области.
Спектральные методы, наоборот, делают решение уравнения Пуассона тривиальным, но приводят к очень сложной структуре нелинейных членов. Проблемы двух функциональных базисов связаны с их локализованностью в физическом и в фурье-пространствах. Сепси строго локализованы в физическом пространстве, но спектр точки (дельта-функции) есть белый шум. Это означает, что функции делокализованы в пространстве Фурье. Обратная ситуация возникает при разложении Фурье. Каждая гармоника лрелставляет строго одну частоту, но соответствующая ей функция занимает все физическое пространство.
Глава 7 В турбулентном потоке сосуществуют вихри самого различного мас штаба, ио наиболее эффективные взаимодействия происходят между вихрями (структурами), близкими и в физическом, и в фурье-пространстве Первое очевидно — чтобы вихри взаимодействовали, они должны перекры ваться в пространстве. Второе утверждение составляет основу концепции каскадных процессов — взаимодействуют вихри сравнимых размеров (еаза размеры не сопоставимы, то маленькие вихри просто переносятся большими без обмена энергией).
Зто заставляет обратиться к поиску специальных функций, более точно соответствуклцих структуре турбулентного потока. В теории турбулентности важную роль играет идея масштабного подобна. Зто значит, что искомый базис должен быть составлен из подобных фун«цвй. Еще один недостаток использования рядов Фурье состоит в низкой информативности высоких частот. Хорошо понятен смысл рассмотрения вихрей с характерным размером Ь, 5/2, Е/3, ..., но отдельное описание масштабов Ь/957, Ь/958, Ь/959, ...
и т.д. мало оправдано. Зто соображение наводит на мысль о необходимости использования функций, масштаб которых изменяется прогрессивно, — такое соотношение получается при равномерном разбиении пространства масштабов в логарифмическом представлении. Суммируя сказанное, можно сформулировать требования, которым должен удовлетворять функциональный базис, предназначенный для описания турбулентных потоков: — функции базиса должны быть локализованы и в физическом, и в фурье-пространствах; — функции должны быль подобны и описывать иерархию вихрей прогрессивно убывающих масштабов; — мелкомасштабные вихри должны переноситься в поле вихрей большего масштаба; — прн подстановке в уравнения Навье — Стокса функциональный базис должен приводить к слабосвязанной динамической системе.
Попробуем построить базис, удовлетворяющий этим требованиям. Построение будем проводить для двумерного случая, так как это упрощает иллюстрацию результатов н запись функций, Итак, имеем двумерное пространство г = (х, у) и соответствующее ему пространство волновых векторов 1с = (/с„)ск). Фурье-плоскость разобьем на кольцевые зоны (рис. 7.1) таким образом, что для зоны с номером Ф Йлг ( )Ц ()слг+ы йм = я2, )У = 0,~1,~2, ... (7.1) Каждая кольцевая зона включает, таким образом, одну октаву волновых 7 1 ич ънлгичвгчви чачи~ ппч тччвчлкнтиых полай Рис. 7.1.
чисел (напомним, что октавой называется интервал, в пределах которого частота изменяется в два раза). рассмотрим, например, поле завихренности и(8, к, у) и представим его в виде ы(1, х, д) = ~ ид (й, х, д), где каждая функция ин есть результат фильтрации в фурье-плоскости по соответствующему кольцу (7.1): (7.2) ~ 1 в кольце Ф, ;(й) = ~ (0 вне кольца Ф. В силу определения операции фильтрации (7.3Н7.4) ыаксмИг бнм, (7.4) и, следовательно, энстрофия распадается на сумму й = — 1~зг(~ = ~ ~й~, й~ = — 1~з ог.
(7.5) Такую же операцию фильтрации можно применить и к полю скорости„ Разбив тем самым и энергию на сумму энергий, принадлежащих различным ыгг(1, я, д) = ы(т, я', у')ди(х — х', д — д')сайд'. (7З) Здесь дн(г) есть функция, фурье-образ которой дн(1с) локализован в кольце: 194 ГЛАВА 7 октавам волновых чисел: Е = ~~! Ен = ~ ~— ~ чн~!1г. 1гг 2 / (7.6) !т А! Таким образом, мы провели первую часть построения — разбили исходное поле по масштабам.
На втором этапе нужно провести разбиение полученных полей ыл! на сумму функций, каждая из которых характеризует поле завихренности данного маслпаба только в определенной области пространства: 7.1.1. Одномерный иерархический базис Рассмотрим функцию Дх), для которой существует преобразование Фурье Д( ~). Ось волновых чисел 7 (напомним, что к = 2т7) разбиваем на октавы 7А! = 2А' (рис. 7.2) и вводим функции ( ),Ь), 7А < Ы (7!т+г, !7~ < 7!ч, !7~ > ~А! (7.9) -~а+! Рис. 7.2 ь!А! = ~~' о)!9„(1)~!9(г — г!т ), (7.7) где,6!(г) есть базисные функции масппаба !т", г!ч„— радиус-веки!р центра вихря (функции). Функции .Ь(г) должны быть подобны и обеспечивать разряженную матрицу нелинейных взаимодействий ХА!„м ы в уравнении !(!«~мп = ~~~, Хмпмтыс!м и!сы+ (7.8) Мты получающемся при проектировании уравнений Навье-Стокса на функциональный базис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
