П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 33
Текст из файла (страница 33)
При этом хотелось бы иметь полный ортонормированный базис функций. Увы, удовлетворить всем приведенным требованиям не удается. Задача имеет решение в такой постановке только в одномерном случае. Одномерный базис, конечно, не имеет интереса с точки зрения описания турбулентности, но его построение представляет методический интерес, и мы его проведем. 7.1. Иврархичвский канис для тчрьълвнтиых полнй 195 Рис. 7.3 Очевидно, что у'( у) = 2 ~р~( у). Полученные функции Яд обладают замечательным свойством — они допускают периодическое продолжение на всю ось у с периодом 27л (рис.
7.3): ( Кч(7 — 2 (т + 1) 7~ч), если 2тур~ < у < (2т + 1) уи, К,(7) =~ ~, Яч(7 — 2 (т — 1) уи), если (2т — 1) уи < у < 2тцрр. Это позволяет разложить функции г)ч( у) в ряд Фурье Рд(7) = урлрр~~ трр„е а"'ь'""'", а где ь,ч = 1/(27р~). Функции лруе з"заь" т образуют полный базис в классе функций Грр, а те же функции, определенные внутри зоны (7.9), — полный базис в классе функций Ь. Чтобы получить вид базисной функции в физическом пространстве, нужно взять обратное преобразование Фурье.
Получается функция вида Лч„(х) = Ь зузашс1 к (х — п)зи)1 соа( 3т (х — пури)~, (7.11) ~26ру где а1пс (х) = аш(х)/х. Вцл функции (7.11) длл Ж = п = 0 показан на рис. 7.4. Этн функции известны в математике как функции Литлвуда-Пелли. Функции медленно убывают в физическом пространстве (Дч„(х) х т), что является результатом обрыва функций в пространстве Фурье. Все базисные функции взаимно ортогональны, то есть ~ч;(х)~м (х)~(х = бимб что следует из ортогонавьности функций в фурье-пространстве и инвариантности скалярного произведения двух функций относительно пре- 196 Рлявя 7 1ьй а Рис.
7А. образования Фурье. Коэффициенты в разложении 17.10) определяются формулой Ам„= Дх) Ь„(х)йх. (7.12) Базисные функции имеют двойную индексацию. Большой индекс отвечает за масштаб, малый — за положение функции в пространстве. Увеличение индекса Юна единицу сжимает функцию вдвое, увеличение индекса и на единицу сдвигает функцию вдоль оси х на величину йл. 7.1.2. Двумерный базис Простейший способ получения двумерного базиса состоит в определении двумерной функции как произведения одномерных Б~~мт(х, р) = Б (х)1м 4р), однако такие функции не являются взотропными н не удовлетворяют требованию подобия. Последнее обстоятельство не оставляет надежд на получение простой динамической системы для коэффициентов разложения.
Исходя нз локальной взотропни мелкомасштабной турбулентности и стремления получить базис, образованный разномасштабными„но однотипными функциями, построим относительно простой, но «не совсем ортогональный» базис. Итак, раскладываем поле завихренности в ряд 7л. Ив ягхичвский вьзис для тл втлентных полай 197 ( ) — ~' ые '"'""' 7~ ~ "~ 7~~м (7 14) (О, вне зоны. Экспоненцвнльный множитель задает сдвиг центра вихря в физическом пространстве (см. теорему о сдвиге и другие свойства преобразования Фу- рье в главе 10). Коэффициент а может быль выбран вз условия нормиров- ки )' йД„Й у = 1, которое дает а=(Зи) ~7з2~ ~.
(7.15) Наряду с базисными функциями двя завихренности можно записать и функ- ции для скорости и функции тока. В пространстве Фурье все три функции связаны простыми соотношениями: ф~д„(7) = — (4яз7 ) ~ьлг„Я, чи„~Я = 2ху(е х 7)фм„(7), где е — единичный вектор, нормальный рассматриваемой плоскости. Чтобы получить вид функции в физическом пространстве, нужно взять обратное преобразование Фурье от (7.14). Соответствующие вычисления дают фьг„(г — гу„) = 2 ~(Зкз) ~~~~я ~Яд(я)сйя, я вн„(г — гм„) = 2 ~(а х е)(Зя) ~7~ (ус(2а) — 7с(я))/зз, юп„(г — гм„) = 2 ~(я/З)~7~ (2Х~(2з) — Хз(з)) /з, (7.16) (7.17) (7.18) где з = я2н/г — гп„/, а .7с(з), Х~(з) — функции Бесселя. Базисные функции для скорости и завихрениости показаны на рис.
7.5. Мы оставили без внимания вопрос о количестве базисных функций и об их распределении в пространстве. Плотность функций в физическом где Аьъ — зависящая от времени амплитуда, юм„— осесимметричная базисная функция, у которой большой индекс отвечает за масштаб, а малый— за положение в пространстве, и гм„— радиус-вектор центра функции. Используем введенное выше разбиение спектральной плоскости на расширяющиеся кольцевые зоны (7.4) и определим базисную функцию таким образом, что ее фурье-образ равен константе в пределах соответствующего кольца: 198 ГЛАВА 7 Ряс. 7.5. пространстве можно оценить исходя из принципа неопределенности.
Если области локализации в г и к пространствах имеют, соответственно, разме- ры /зг и /.'Й, то, требуя /зг/з'я = 2я, (7.19) получаем, по плотность функций заданного масштаба рА/ связана с площадью области локализации функции в пространстве фурье ЬЯ, как рА/ = /) Яь/4яз = (Зя/4)2~~. (7.20) ать = ~~~ ~~~,чм (гг/ ° — гм ), (7.2 1) в котором суммирование ведется по всем масштабам, большим данного. Введенный таким образом базис ортогонален по индексу //, так как в фурье-пространстве функции различного масштаба занимают неперекрывающиеся области. Неортогональность функций по малому индексу, отвечающему за положение вихрей в пространстве, можно оценить путем вычисления интеграла ) ьчг„мм„,йг для двух вихрей одного маспггаба, располо- -1/2 женных друг от друга на расстоянии ри, равном среднему расстоянию При вычислении (7.20) учли, что ЬЯь есть площадь кольцевой области (7.1).
Формула (7.20) отражает тот факт, по число вихрей при переходе от маслпаба к масштабу растет в четыре раза (естественно, что в трехмерном случае зто отношение будет равно восьми). Вопрос о распределении функций в пространстве более сложен. Формулируя требования к базису, мы хотели воспроизвести структуру турбулентного потока, в котором мелкие вихри переносятся крупными. Это означает, что радиус-вектор центра функции должен подчиняться уравнению 7л.
ив1игхичвскзя модвль двгьшгной тзтвтлантности 199 между вихрями данного масппаба. Такая оценка дает для функций (7.18) значение порядка 0,1. 7.1.3. Трехмерный базис Построение иерархического базиса для трехмерного скалярного поля приннипиально не отличается от двумерного случая. В пространстве Фурье функции локализуются в сферических слоях и, после перехода в физическое пространство, получиотся функции со сферической симметрией, имеющие внл ~1чп(з) =е2 1~(аш2з — 2зсоа28 — 81пз+зсозз)/зз, (7,22) где а — нормировочный коэффициент, а з имеет тот же смысл, по и в двумерных функциях.
Для векторных полей ситуация отличается, так как появляется третий индекс, связанный с ориентацией вихря в пространстве. Так, например, функцию для поля скорости можно записать в виде Ъ 1тпп = П (Еп Х 8) Г1гп(З)' (7.23) Здесь е„— единичный вектор, направленный вдоль одной из осей координат, а ~лп(з) — скалярная функция с шаровой симметрией.
7.2. Иерархическая модель двумерной турбулентности Используем введенный выше функциональный базис для построения модели двумерной турбулентности. Речь идет именно о модели, а не о прямом численном расчете с помощью этого функционального базиса, так как базис не является строго ортогональным и ие решает проблемы граничных условий. Рассмотрим уравнение для завнхренности (7.24) дзз+ (чту)з = ~'~~ н спроектируем его на базис (7.13)-(7.18). Получаем уравнение вида г1пАМп~РрГпм7п = ~ ~ЯггпмгпыАМ~пАы+ и'~ Амп~К1чпм~п Е Мп1 м и Мп~ (7.25) ГЛАВА 7 где РФимна = / ">яп~~мпА~~ Клг ~и~~ = мл~Ь1мпАг, Кгг м ш = ~ьля (тм тУ)сьпй.
(7.26) (7.27) (7.28) Элементы матриц Рным Кьг„м,„и Янам„ы зависят от времени, так как они зависят от взаимного расположения взаимодействующих вихрей, а положения вихрей меняются в соответствии с уравнением (7.21). Энстрофия и энергия системы определяются выражениями й = ~ ~~~ Рн„м,„Ан„Ам~, и. м» Е = ~~~ ~~~ Р,'г„м,„Ан„Ам,„, (7.29) (7.30) где Р м — чм чм г)г. (7.31) На этом этапе делается первое сильное предположение, состоящее в том, что мы пренебрегаем недиагональностью матриц Р, Р' и К по малому индексу (по большому индексу матрицы диагональны в силу способа разбиения пространства волновых векторов).
Тогда Е=Е~~ 2 зжАВ„, (7.32) а уравнение (7.25) принимает вид ЙсАггп = ~~, ~~' Яипм,,шАм Аы — иКВ2~~Ал . (7.33) м и Следует подчеркнуть, что диагональность матрицы Р не влечет за собой диагональности матрицы К (этим замечательным свойством обладает представление функций в ряд Фурье) и последнее является самостоятельным предположением. Ясно, что степень простоты (или сложности) получаемой модели зависит от структуры матрицы нелинейных взаимодействий Егг„ы ы. Перед 72. ивгагхичвскля модяль двгмв ной тзтвулвнтности 201 тем как приступить к следующим конкретным шагам по упрощению мод~льных уравнений, проанализируем общую структуру этой матрицы. Для этого запишем вид ее элементов в пространстве Фурье: Кмпм,.и = юп (тгм, ~)сычуг= = 2я1 Ц йн (7) Ь7 чм ('7 — 7 )]Йы(7')47 й.у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
