П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Далее, для каждой зоны вводится одна (действнтельная нли комплексная) переменная У„, квадрат которой равен энергии всех пульсаций, заключенных в 212 Гльвя 8 1оя Е я!Й Рас. 8.1. соответствующей области волнового пространства (рис. 8.1). Величину У„ называют иногда коллективной переменной для всех пульсаций, лежащих в выделенном диапазоне волновых чисел.
Для переменных У„требуется написать уравнения, которые будут моделировать «базовые свойства» уравнений движения жидкости (как'правило, речь идет об уравнениях Палье-Стокса для несжимаемой жидкости). Под «базовыми» свойствами понимается, как минимум, выполнение законов сохранения и квадратичная нелинейносп* уравнений. Общий вид каскадных уравнений можно записать в вцле (8.2) Конкретные модели отличаются, в основном, видом матрицы нелинейных взаимодействий Т„1. Параметр с, определяющий ширину отдельной зоны, как правило, выбирают равным двум, что соответствует разбиению пространства волновых векторов на октавы.
Диссипативное слагаемое записывается в виде К„У„к~ У„, повторяющем вид диссипативного члена уравнения Навье — Стокса в пространстве Фурье, а переменная 1„описывает действие внешних сил в заданной октаве волновых чисел. 8.2. Модель Новикова-Дееияиского Каскадные модели являются спектральньп«и моделями турбулентности, так как описывают процессы переноса энергии по спектру. Покажем, как получить простую каскадную модель с помощью фурье-представления 2!3 8.2. Модвль Новикова-Двснянского уравнений Навье-Стокса. Для этого запишем уравнение движения для ком- понент поля скорости дзот — — — (оьдь)ьу — р гдуР+ идьзьоэ (8.3) а скорость представим в виде ряда Фурье о (т) = ~ оу(1с)е' (8.4) Подставим (8,4) в (8.3): дз ~ 9у(р)е'и' = — 'У ~ Вь(р)е'и'(зоь)оу(сДезч'— ч р-1 ~~, (зр )р(р)енж и~~~ рзо (р) (здесь р и с~ — волновые векзоры), н после умножения уравнениа на е *~" проинтегрируем его по й.
В результате получаем дфгЯй) = — з '5 ' оь(1с — п)дь су(п) — зр "1суР(й) — ийзбэ (й). ч Пользуясь уравнением неразрывности, которое в пространстве Фурье имеет вид йзс,=О, (8.5) исключим из уравнения давление. Для этого умножим уравнение на Й и после простата преобразований получим 1- Яьй~- Е 2 После подстановки получаем дА( ) = — з ) (А — йАйз) Вь(й — Ч)Чью~(Ч) — Исзсу(1с).
(8.6) ч Структура нелинейного слагаемого в (8.6) такова, что во взаимодействиях всегда участвуют трн моды Фурье й(к), 0(п) и и(й — й), — это значит, 214 ГЛАВА 8 и„= й„(из, — Ш„и„„,) — ИРи„. (8.7) Цепочка уравнений (8.7) и представляет собой каскадную модель Нови- юва — Деснянского [6] — первую каскадную модель турбулентности. Урав- нения содержат одну константу Ь, которая выбирается, исходя из заюна сохранения. Кинетическая энергия всей системы есть .Е='~ К„='~ (7з/2.
(8.8) Если потребовать, чтобы при отсутствии днсснцативного слагаемого система уравнений (8.7) сохраняла энергию, то из этого условия легко находится значение константы Ь = 2. Аналогом энсгрофии в каскадной молели является величина а=~ Ь '(7зг'2. (8.9) Требование сохранения энстрофии (8.9) приводит к значению Ь = 8. Важно отметить, что модель (8.7) может одновременно удовлетворять только одному закону сохранения. Уравнения (8.7) имеют стационарные решения, соответствующие наличию инерционного интервала. Эти решения могут реализоваться при малой вязкости (большом числе Рейнольдса) и должны иметь степенной вил К~ ('ой~~ ° (8.10) что взаимодействуют трн волны, волновые векторы которых образуют тре угольник.
Рассмотрим выборку волновых чисел таких, что Щ = 1го2", и вы берем из суммы (8.6) только слагаемые, описывающие взаимодействия соответствующих мод. Набор возможных комбивщий на таком наборе векторов ограничен, так как из них можно построить только равнобедренные треугольники, в юторых основание меньше нли равно боювым сторонам (возможен, юнечно, и равносторонний треугольник, но он соответствует взаимодействиям внутри данной октавы волновых чисел, которые в рамках данных моделей не рассматриваются), и предельный случай, когда две боковые стороны вдвое меньше основания и треугольник вырождается в прямую. Это значит, что если мы примем за каскадные переменные соответствующие гармоники Фурье (Ьг„= В(lс„)), то в матрипе Т„,га уравнения (8.2) останутся только диагональные члены Т„,„и Т,„е, (тп = и— — 1,о+1,п+2,...).
В простейшем случае можно ограничиться рассмотрением лишь локальных взаимодействий, то есть взаимодействиями ближайших соседей в цепочке. Одна вэ возможных форм модельных уравнений есть 215 8.3. модвль сот Петрудно увидеть, по для /с„= Ье2" стационарное решение вида (8.10) возникает при а = — (1обз Ь)/8. (8.11) При 6 = 2 (сохраняемой величиной является энергия) это дает решение 11, = (1о2 Яра, а при Ь = 8 (сохраняется энстрофия) решение есть У„= = Уо2 ". Первое решение соответствует колмогоровскому спектру для инерционного интервала переноса энергии Е(Й) Й збз, а второе — спектру Крейчнана Е(к) л з для инерционного интервала переноса энстрофни, реализуюшемуся в двумерной турбулентности. Отметим, что если спектр энергии подчиняется степенному закону Е(к) Ь", то энергия октавы и Е(й),~ Ьл+г (8.12) и иэ сравнения (8.12) с (8.10) следует, что а = (Л+ 1)/2.
(8.13) Простейшее обобщение модели (8.7) состоит в добавлении еше одной пары членов ~Уп = Ья [(Т 1 — 2(1,Ри.~-з + С(Ул — гУн — 2СЯ+т)~ — РЬ Юп (8.14) В уравнениях появляется еше один параметр С, который, однако, не позволяет поставить второе условие сохранения, так как две пары нелинейных слагаемых подобны. 8.3. Модель язОУ К моделям вида (8.2) можно прийти различными путями, Более формализованный путь основан на введенном А.М. Обуховым понятии системы гвдрошпшмнческого типа (СГТ) [3).
Системой гидродинамического типа называется динамическая система, удовлетворяющая четырем условиям: 1) в бездиссипативном пределе система сохраняет фазовый обьем; 2) система имеет не менее одного квадратичного интеграла движения; 3) уравнения содержат квадратичную нелинейность; 4) при рассмотрении даннных цепочек уравнений последние ограничиваются локальными взаимодействиями, то есть взаимодействуют только ближайшие соседи. 2!6 Глава 8 Простейшая СТТ представляет собой трнплет. Собирая цепочку из от дельных трнплетов, можно прийти к системам вида (82).
Удается построить системы гндродинамического типа, обладающие несколькими интегралами движения. СГГ с двумя интегралами движении была построена в работе (2], а на ее основе позже была построена каскадная модель двумерной турбулентности вида (4) ~, = Ь (оП„-зП„-г+Ьс'„-гП„+ +сП„+ П„+ ) — н)с„П„. В модели типа (8.15) в каждом взаимодействии участвуют три соседних члена цепочки переменных П„. Это означает, что матрица Т„! не содержит диагональных элементов, — это не случайно, так как диагональные члены не могут одновременно обеспечить сохранение двух квадратичных величин. Условие сохранения энергии дает уравнение б,~ Л„=~и„и„=...+ + И„-з(аП -зУ -з(7 -з + КГ -г(7 -з(уо + сП„г(7оП„+г)+ + ка(аП»-г(7 -Л + ЬП~-гП»(7 +г + сП г' +г(у +з)+ + М.~г(аП„~П„П„.р~ + Ьи„и„+ и +г + сК,+Л +г1Г чз)+ + ...
=О, (8.16) которое выполняется, если равна нулю сумма коэффициентов при одвнако- вых комбинациях переменных (в уравнении соответствующая тройка чле- нов выделена подчеркиванием). Тогда условие сохранения энергии есть Ь„ге+ Й„Ь+ Ь„.ьга = О, (8.!7) а условие сохранения энстрофин аналогичным образом дает яз с+кзЬ+к+ о=О (8.18) Один из коэффициентов остается неопределенным. Полагая, например, с = = 1, получаем, а = 1/16, Ь = -8/8. (8.!9 ) Уравнение (8.15) имеет два стационарных решения вида (8.10). Подставляя (8.!0) в (8.15) и обозначая 2з'* = х, получаем квадратное уравнение, корни которого (хд = 1/2, хз = 1/8) дают аг = — 1/3, аз = -1. Эти решения соответствуют двум спектральным законам, предсказываемым для двумерной турбулентности соображениями размерности.
8.3. Модвль 6Оу 217 Упомянем и третий путь получения каскадных моделей, который основан на редукции иерархической модели. Идея этого подхода состоит во введении одной амплитудной характеристики для всех функций выделенного яруса (масштаба) и вычисления элементов матрицы нелинейных взаимодействий на основе оценки среднего результата взаимодействия трех вихрей соответствующих масппабов при их различном взаимном положении.
Преимущество таюго подхода состоит и том, что не требуется искусственно ограничиваться рассмотрением только локальных взаимодействий. 1Гаскадная модель такого типа была впервые построена в работе (19) дла двумерной турбулентности (двумерная турбулентность привлекательна наличием второго положительно-определенного интеграла движения, который позволяет избежать неопределенности при выводе уравнений). Уравнения модели имеют вид ()„= "~ (т„,„у, „,и„у,и„, + тп,п, „+,и„уП„„+ 3=1 + 2п,п~-эзп+г-ь1(Гп.~-у0а.~-1.~-1) — М„К, (8.20) 2 л при 7 = 1 совпадают с уравнениями (8.15). Наличие двух законов сохра- нения позволяет переписать (8.20) в вцле / 2зУ вЂ” 1 и йп ~ ~~ 3 з +3 - и — 3 — 1~ и — 1 + (7п — 3~7п'п1+ ~, з+з 3=1 + з (уп+Г~п.~-1+1 — 1Чсп(уп (8 21) 4 — 2 зэ содержащем только величины й) = То,-дг.
Первые же попытки численных решений каскадных уравнений показали, что стационарные решения неустойчивы. В качестве примера на рис. 8.2 показаны результаты численного решения системы уравнений (8.21) с заданными начальными условиями и нулевой вязкостью. На графике показаны значения переменных (7п для различных моментов времени. В начальный момент распределение энергии имеет максимум на промежуточных масштабах. Вторая кривая соответствует моменту времени, когда в мелкомасшгабной части спектра заканчивается установление распределения Пп 2 ", отвечающего спектру Я(й) я з. Третья кривая фиксирует начало развития неустойчивости, начинающейся на малых масштабах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
