П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Различия хорошо видны в мелкомасштабной части спектра, где формируется инерционный интервал переноса энстрофни. Известно, что каскадные модели испытывают проблемы с описанием каскада энстрофни, выражающиеся в том, по поток энстрофии в них слаб в сравнении с пульсациями энстрофии в отдельном масштабе и падает с ростом п, а спектры энергии не следуют единому степенному закону. Увеличение .У усиливает поток энстрофии и приводит к появлению протяженного интервала, в котором спектр кинетической энергии следует степенному закону с наклоном ЕЯ )с 1о)з. Интересно отметить, что именно такой наклон спектра был получен при исследовании двумерной турбулентности с помощью иерархической модели, в которой число переменных растет как 2з" по мере роста волнового числа й„= 2", что позволяет, в отличие от каскадных моделей, учитывать н пространственную неоднородность турбулентного течения.
Большие числа Праццгли (о » 1) способствуют формированию вязкоконвективного интервала, в котором соответствующие масштабы поля скорости подавлены вязкосп ю, но остается спектральный поток пульсаций 232 ГЛАВА 9 ю я -ю Ю -ю о ю гг 6 В г Рис. 9.3.
температуры, поддерживаемый лишь крупномасштабным полем скорости. Поскольку диффузия тепла происходит на существенно меньших масштабах, то поток энергии пульсаций температуры по спектру остается постоянным, но характерное время переноса определяется крупномасштабными пульсациями скорости и может считаться для этого интервала постоянным. Зти рассуждения приводят к спектру Бэтчелора Ет(к) й ' (6.8).
Между коввектнвиым (обуховским) и вязкоконвективным интервалами можно ожидать появления интервала (6.21), в котором вязкий член становится весомее нелинейного, но остается существенной сила плавучести, Тогда баланс архимедовых и вязких сил вместе с (6.8) приводит к спектру Е~ (к) )с ь. Результаты вычислений для случая и = 10е, В. = 10 представлены на рис. 9.3 и показывают, что интервал, в котором устанавливаются законы (6.8)-(6.21), может быть достаточно протяженным. Можно видеть, что увеличение,У приводит к растяжению интервала (6.8), но практически не влияет на распределение энергии пульсаций скорости. 9.2. Модель турбулентного МГД-динамо Рассмотрим развитую турбулентность в несжимаемой проводящей жидкости, описываемую уравнениями (6.22). Специфика движений жидкости с электрической проводимостью состоит в том, что жидкость не только подвержена действию дополнительного силового поля (в магнитном поле возникает сила Лоренца), но и сама оказывает воздействие на магнитное по- 9.2.
Мснляь ттгвтлвнтиого МГД-динамо 233 (4 — ВА ) (гв = з)ь М+Лм — Х*-ьг В,*,+з)— е — 1 --'(и„',и„„-В„*,В„„)+ — '(и„* зи„*,— В„*,В„*,) +У„, (9.8) (4 Вш ~ч) Вп ((1 ~) (Кв+1Ви+2 Вта+1Ко+2) + (9.9) При В„ю 0 система (9.8)-(9.9) совпадает с моделью ООУ (8.22). Отметим, что энергия и перекрестная спираяьность, вырюкаемые в модели в виде е=~::(~и ~э+~В ~з) н =2 (и„в„'+и„*в„), и сохраняются системой прн любом значении параметра е. Требование сохра- нения величины и, = ~ '(-1)"а„-'~в„~', (9.12) я (9.11) ле.
При этом важно, что воздействие не сводится к запутыванию силовых явиий и размельчеиию структуры пола (как это происходит при перемешивании пассивной примеси или тепла), а может, в определенных условиях, и генерировать магнитные поля, В контексте изложения свойств и возможностей каскадных моделей МГД-турбулентность интересна как пример сложного турбулентного течения, характеризуемого особым набором интегралов движения, Как можно было видеть выше (глава 6), уравнения магнитной гидро- динамики (6.22) в бездиссипатнвном пределе сохраняют три квадратичные величины.
В случае трехмерного движения это общая энергия Е (6.23), перекрестная спиральность Нп (6.24) и магнитная спиральность Нн (6.25), а в двумерном течении последний интеграл заменяется квадратом векторного потенциала а (6.32). Наличие у каскадных моделей типа ООУ знакоперемевных интегралов позволяет построить модель, удовлетворяющую всем известным в М1Д законам сохранения (501. Уравнения модели можно записать в виде 234 Глава 9 служащей аналогом магнитной спиральности (6.25), приводит к значению е = 1/2, которое совпадает при этом со значением, получаемым в модели трехмерной турбулентности из требования сохранения гидродинамической спиральностн. Это означает, что в приближении слабых магнитных по лей система (9.8К9.9) вновь сохраняет глдродинлмическую спиральность Для моделирования двумерной МГД-турбулентности нужно потребовать сохранения величины а = ~й з)В„(з и (9.13) (квадрата векторного потенциала), что приводит к уже знакомому для двумерной турбулентности значению е = 5/4.
Приведем некоторые результаты работы (50), касающиеся моделирования поведения свободно вырождающейся МГД-турбулентности. Свободное вырожление подразумевает равенство нулю сил /„и д„в уравнениях (9.8)-(9.9) и решение задачи с заданными начальными условиями. В качестве начальных условий рассматривается распределение энергии по спектру, соответствующее спектральным законам вида Е~ Еп й з (для всех и ) О), но уровень магнитной энергии существенно ниже соответствующего уровня кинетической энергии (Еу ю 1, Ев — 0.0001). Число Рейнольдса Н = 10т, магнитное число Прандтля Рг,„= и/и = 10 з. 'На рис. 9.4 показан характер эволюции кинетической (пунктирная линия) и магнитной (тонкая сплошная линия) энергии в трехмерной МГД-турбулентности (уравнения решаются для случая е = 1/2). Видно, что за короткое время (безразмерное время, определенное по характерному времени оборота макроскопического вихря Ь/У, порядка единицы) магнитная энергия достигает уровня порядка 1ПО от уровня кинетической энергии.
Затем наступает относительно долгий промежуточный этап (порядка двадцати безразмерных единиц времени), в течение которого магнитная энергия остается на том же уровне. После этого происходит новый рост магнитно~о поля и его энергия становится сравнимой с кинетической энергией, оставаясь все же меньше ее. Одновременно происходит медленное снижение общего уровня энергии, обусловленное вязкими и омическими потерями. На том же рис.
9.4 толстой сплошной линией показана эволюция магнитной энергии в так называемом кинематическом приближении. Кинематическое приближение предполагает рассмотрение уравнения индукции магнитного ноля для заданного распределения поля скорости, то есть пренебрежение обратным действием магнитного поля на поле скорости. В нашем случае это приближение соответствует отбрасыванию членов с переменными В„из уравнения (9.8).
Соответствующая кривая эволюции магнитной 9.2. Модель тггьълиитного МГД-динамо 235 ««,«« «««а «а ««««««««««««««««и« ««««««««««««««« Ряс. 9.5 Рлс. 9.4 энергии дает неограниченный рост (система уравнений не удовлетворяет более законам сохранения), хотя нарастание энергии и не происходит монотонным образом, а включает и отдельные внтервалы, в течение которых энергия поля падает. Такое поведение соответствует качественным представлениям о поведении магнитного поля в турбулентной проводящей среде. В то же время, известные попытки прямого численного моделирования М1Д-турбулентности, вопреки ожиданиям, дают рост магнитного поля только,до уровня, в несколько раз меньшего уровня кинепгческой энергии потока.
Приведенный результат решения каскадных уравнений дает возможную интерпретацию этого факта. Дело в том, что самые продолжительные численные решения полных уравнений не выходят за временной интервал (г — 10). В свете полученных результатов зто означает, что система не успевает выйти за рамки промежуточного этапа эволюции. На рис. 9.5 показаны результаты моделирования поведения вырождающейся двумерной турбулентности.
Пунктир по-прежнему показывает уровень кинетической энергии, которая в двумерном потоке убывает крайне медленно. Тонкая сплошная линия описывает поведение магнитной энергии в полной нелинейной системе, а толстая лилия — в кинематической постановке. Замечательно, что в этом случае и решения полной нелинейной системы, и решения в кинематической постановке дают затухание энергии магнитного поля со временем (выполняется теорема запрета Зельдовича, исключающая возможность устойчивого динамо в двумерном потоке).
Характерное время затухания в обоих случаях одинаково, хотя эволюция в нелинейном случае имеет значительно более гладкий характер. В то же время, характер свободной эволюции двумерной МГД-турбулентности существенно отличается и от характера эвапопии двумерной гидродинамической турбулентности. Напомним, что в двумерной турбулентно- 236 Глава 9 оаоа 0.002 оаоа о о 2 а 0 Рис.
9.б. о ',",'. Р,РОО ; ° а Ро' ОО о О Ю . Р 02 .0 О О !О И З Ряс. 9.8 Ряс. 9.7 сти энстрофня, а вместе с ней и скорость диссипации энергии со временем могут только убывать. Присутствие магнитного поля нарушает закон сохранения энстрофии. В процессе свободного вырождения энстрофия возрастает, а это приводит к росту скорости диссипации энергии. Принципиальное отличие в Поведении скорости днсснпацни энергии в вырождающейся двумерной гидродинамической и магннтогидродинамической турбулентности иллюстрирует рис. 9.б (сравните с рис. 5.2, где показана эволюция скорости диссипации энергии в двумерной турбулентности).
Помимо эволюции интегральных характеристик, каскадные модели позволяют проследить и за изменением спектральных распределений энергии. На рис. 9.7 показаны распределения кинетической (светлые точки) и магнитной (темные точки) энергии двумерной МГД-турбулентности по спектру (точнее, по октавам), полученные осреднением по различным интервалам времени, Следует отметить, что, несмотря на значительное превышение общего уровня кинетической энергии над мапппной, существует 9.2. Моддль тУРБУлентнОГО МГД-Динамо 237 диапазон масштабов, в котором мапппиая энергия имеет тот же порядок, что и кинетическая. Это относительно мелкие масштабы, непосредственно прилегающие к дисснпативному интервалу (5 < и ( 8). Эволюция спектров энергии в трехмерной МГД-турбулентности показана на рис. 9.8.
В этом случае существует протяженный интервал масштабов, в котором мапппная и кинетическая энергии близки по величине. Магнитная энергия затухает на более крупных масппабах, чем кинетическая— это естественный результат, так как магнитное число Прандтля мало (10 з). Спектр кинетической энергии с хорошей точностью следует закону « вЂ” 5/3» (иа рисунке этому закону соответствует прямая линия). Спектр магнитной энергии более круг (блнже к « — 2»). Заметим, чю принципиальные отличия в поведении двумерных и трехмерных МГД-потоков принято объяснять топологическими аргументами и тот факт, что простые каскадные модели, которые теряют всякую информацию о пространственной структуре течений, воспроизводят эти различия, свидетельствует, с одной стороны, о чрезвычайно важной роли законов сохранения (только через них и сохраняется в модели память о размерности пространства) и, с другой стороны, о том, по возможносги динамических систем в моделировании сложных нелинейных систем далеко не исчерпаны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
