П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Для прамого численного моделирования требуется сетка с обшим числом узлов )т' = 10~. Предположим, *по компьютер обеспечивает расчет на сетке 100з, то есть пространственное разрешение есть л = 10 зз,, а число узлов сетки Мд — — 10е. Недостающий диапазон масппабов Л < 4 < Н описывается с помощью каскадных уравнений. Если каждая каскалиая переменная описывает пульсации в пределах октавы волновых чисел, то в нашем примере достаточна цепочка длиной )т', ~ 20. Пристраивая по цепочке к каждому узлу сетки, мы получим общее число переменных М~ гы -- ФдФ, де 2 10т, причем с ростом числа Рейнольдса количество переменных растет только как 1обз В.. На практике можно избежать построения каскадной цепочки для каждого узла сетки, сократив тем самым обьем счета. Простейший вариант метода получается в предположении об однородности подсеточной турбулентности.
Именно такая модель, вюпочающая единственную каскадную цепочку, была реализована в работе 149), где рассматривалась задача о коивекцни во вращаюшемся сферическом слое жидкости (в приложении к гидродинамике жидкого ядра Земли). Самым сложным является вопрос о сопряжении сеточной и каскадной частей расчетного впоритма.
Сеточные данные определяют состояние старших ярусов каскадной модели (наиболее крупных масштабов, входяших в каскадную схему). Каскадная модель должна дать значение скорости дисснпации энергии (спектрального потока энергии), и соответствуюшая энергия должна быть корректным образом изьата из крупномасштабного поля скорости. Наибольшие масштабы, описываемые каскадными уравнениями У„,.„ и У„„4-и определяются по характерным пульсациям крупномасштабного поля скорости на масштабах порядка шага сетки.
Поскольку энергии яруса в каскадной модели Ь„= у~в соответствует энергии целой октавы волновых чисел в пространстве Фурье, а используемая в сферическом слое сетка дает НЕРаВНОМЕРНЫЙ ШаГ, тО ЗНаЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ Уеьм И У„„,„4.4 ДЛЯ КажДОГО момента времеви определялись как среднеквадратичные значения разности компонент скорости для всех пар точек, расстояния между которыми попадали в соответствуюшую октаву масштабов. Обратное влияние подсеточных масштабов на крупномасштабное поле скорости учитывалось через эффективную турбулентную вязкость и,. Согласно оценке Колмогорова диссипативный масштаб Л определяется скоростью диссипации энергии и молекулярной вязкостью Л ш (изе ')1/4.
248 Глава 9 Требуется задать эффективную турбулентную вязкость такую, чтобы она обеспечила ту же скорость диссипации энергии на масппабе сетке, то есть 241 = 0.1(04е)222. Численный коэффициент в формуле получен из оценки Сма2оринского [76), а скорость диссепации вычисляется как потеря полной энергии в каскадной модели за единицу времени е = 2 (Й„У„)2, и=и 1„+2 В численных расчетах использовались сеп4а порядка 208 и каскадная модель для переменных У„с пиа41 = 4 и и, „„= 20.
Минимальное значение и определяется шагом сетки, а максимальное — рассматриваемым числом Рейнольдса. Выбранные значения обеспечивали расчет для К = 100, что соответствует имеющимся опенкам числа Рейнольдса для жидкого ядра Земли. Нужно замеппь, что шаг интегрирования сеточных уравнений по времени те существенно отличается от шага интегрирования для каскадных уравнений т,. Очевидно, что т, « те (в рассматриваемом примере т = 1000т,). На практике каскадные уравнения дают осциллирующие решения и скорость диссипации определяется по ее среднему значению на отрезке времени, равном те. Рис.
9.12 иллюстрирует спектральные свойства течения во всем дианазоне масштабов (сеточных и подссточных). Показаны значения структурной функции второго порядка, вычисленной по значениям поля скорости 1Е+012 1Е4010 1Е4008 1Е+006 1Е4004 т Г 1 16 20 8 12 0 Рис. 9.12. 9.4. каскадно-саточный метод 249 на сетке (кружки) и по значениям каскадных переменных (квадраты). Прямая ливия соответствует колмогоровскому интервалу, в котором Яз й Можно видеть область сопряженна двух моделей. Последняя точка сеточной части дает заниженное значение — она соответствует масштабам, которые вычисвпотся толью в приполярных областях (из-за неравномерности сетки) и не могут характерюовать поле скорости в целом. Поэтому эта точка ие использовалась дяя передачи значений каскадным переменным.
Важно подчеркнуть, что такой комбинированный метод обеспечивает глалюе сопряжение спектральной плотности энергии. ГЛАВА 10 Фурье- и вейвлет-анализ случайных полей 10.1. Непрерывное и дискретное преобразование Фурье Напомним, что Фурье предложил разложение функций в рал по гармоническим функциям как метод решения уравнения теплопроводности, которое в одномерном случае имеет вид а,т — 00.',т. (10.1) Если задача решается на отрезке (О, Е) и имеет, например, нулевые гранич- ные условия, то температура представляется рядом Т(х,1) = ~ ~Ь„(1) аш (2япк/Е). и (10.2) Подстановка (10.2) в (10.1) дает уравнение ~ Ь„(1) а|о(2япя/Ц = -ц ~ Ь„(1) (2лп/Е) з1п(2хпх/Е), (!03) п и В ходе знакомства с методами описания и моделирования турбулентных течений можно было видеть, как часто логика рассухгдений заставляет обращаться к спектральным представлениям рассматриваемых полей. В главе 7 было показано, что возникшее в последнее десятилетие двадцатого века обобщение анализа Фурье — всйвлет-анализ — идейно близко качественным представлениям о струкгурс турбулентных полей.
Всйвлеты стали мощньв| инструментом анализа поведения нелинейных систем, имеющих многомасштабную временную н/или пространственную структуру. Кажется целесообразным дать представление о возможностях вейвлст-анализа, предварив его описание кратким изложением основных свойств непрерывного и дискретного преобразования Фурье. 10.1. НЕПРЕРЫВНОЕ И ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 251 Ь (г) = — (2кт('г,) НЬ„,(З). (10.4) Решение поставленной задачи становится в результате тривиальным: после разложения в ряд для каждой гармоники имеется решение (10.4), имея которые можно восстановить по (102) распределение температуры в любой момент времени. В общем случае лериодическую функцию г(г) с периодом т, для кото-Рт(г рой существует интеграл ) 1(($) И11, можно разложить в ряд -т(2 ( (г) = — + С(а„соа(гииоз) + Ь„зш(тасоз)) = ( с„е' ", (10.5) где шд = 2к(Т, а коэффициенты Фурье определяются выражениями т(г .( (г) соа(ныоз) ог 2 т(г Ь„= — / ((З) вт(гасаг)Й, 2 ( Т / -т(г т(2 ДЬ)е-юо Щ (10.6) -т(2 (10.7) -т(2 где звездочкой обозначено комплексное сопряжение.
Действительную функцию ((г) можно представить интегралом Фурье, если для нее существует интеграл ) 1('(1) 1с(1. Тогда ((1) = г'(и)е '* 'ди, ,((и) = / ((г)е 2™й. (10.8) (10.9) которое распадается на отдельные уравнения для каящой гармоники (для этого достаточно умножить уравнение на аш(2г из(Х,) и проинтегрировать по рассматриваемому отрезку): Глава !О 252 Здесь у(и) есть фурье-образ функции Т'(1), и — частота (будем также поль зоваться круговой частотой ы = 2гги).
Отметим, что когда речь идет о про образовании Фурье от функции координат Дх), то в преобразовании вместо частот появляются волновые числа й и у (/с = 2гг у, в полной аналогии с частотами). 10.1.1. Основные свойства преобразования Фурье па=~1 с ')'и ~ 'м й >=~па.-"'г сом> или, с учетом связи ы = 2гги, у(Г) /у( ) 2 гиГС у( ) /у(1) — злпГ)Г Используя для преобразования Фурье обозначение У( ) = РУ(г)], сформулируем его основные свойства. 1.
Единственность: преобразование (10.! 0) однозначно. 2. Линейность; гт [гтг уг (1) + ггзЬ(1)[ = оз,уг (ы) + ггзУг(ги). (10.1 1) 3. Теорема о масштабах: ю(.)[= ЛУ(й) (10. 12) 4. Теорема о сдвиге: Р [7 (г + а)[ =- с™у" ( ) . (1О! 3) Приведем формулировки основных теорем, касаюшихся свойств ненрврывггово преобразования Фурье, помня при этом, что все они имеют прямой аналог а терминах дискретного преобразования. Итак, пусть Дг) — действительная функция, для которой существуст интеграл ) ДГ)[й. Тогда 10.2.
Нвпрврывнов ввйнйит-првоврязоианнв 253 5. Теорема о свертке'. Р[Л *Я = Ь(ю) Уг(ы), Р[Л Ь] =Л(ог) еУг(ог) ° (10.14) б. Теорема о дифференцировании: р" (~1"1 (1)) = (кл) дог) . (10.15) 7. Теорема Парсеваля (скаларное произведение двух функций инвариантно относительно преобразования Фурье): Л(г)ЛИ)й=(2нГ' Л( )Л( )(.
(101б) Важным следствием теоремы Парсеваля является сохранение энергии: йг)['йг = (2 Г' [П )['~ 8. Теорема о комплексном сопряжении: ГУ*) = 1*( — ). (10.17) Если у — вещественна, то Р (у') = Г (у) = ~* ( — м), т.е. 7(ог) = У* ( — ю). 10.2. Непрерывное вейвлет-преобразование Непрерывное вейвлет-преобразование одномерной функции 2 (1) есть пг(а, (г) = о" Дь)ф' — гьь, (10.18) 'Напомним, нго свертков назмваегся ингеграяьная операння гг(х) * яя(х) = 1 гг (х — х') гя (х') йх'. где ф(т) — вещественная нли комплексызя фунация, называемая анализирующим вейвлетом. Вейвлет представляет собой осцнллирующую функцию, среднее значение которой равно нулю, локализованную как в физическом 254 ГЛАВА 10 пространстве, так и в пространстве Фурье.
Если ф(ы) = ) ЧЭ(6)е ' 'г!г есть фурье-образ анализирующего вейвлета и выполнено условие Се= — 1 Йс<сс, Т 'Рд( )1' 2к) Ц то для преобразования (10.18) существует формула обращения / )( "6~ а ( в(а 6) з+ (Г020) 0 -оо 2"(ы) = — 1 1 т5(осэ)ю(а,Ь)е ' ь ~, (10.21) а— ш(а, Ь) = о— уэ (ам) г(м)е'~гас. (10.22) Пользуясь соотношениями (10.21) — (10.22) и теоремой Парсеваля (10.16), нс сложно получить аналог этой теоремы для вейвлет-преобразования э!(")эз($)г(" 1 (щ6)шз(( 6) /'-А ОЗ О вЂ” оо (!0.23) из которого, в частности, следует / 1((1)~~г(Г = — / ~ГГ(~о)Рйа = — / / Ьл(а.,Ь)~ж с, (10.24) Условие (10.19) эквивалентно условию (7.44), так как интеграл (10.19) расходится при наличии в спектре вейвлета нулевых частот, что равносильно отличному от нуля среднему значению.
В определении (10.18) присутствует параметр к — показатель степени масштабного множителя. Конкретный выбор этого параметра зависит от целей анализа. Широиэ используется нормировка к = — 1, при которой равные значения вейвлет-коэффициентов ш(а, 6) соответствуют равным амплитудам пульсаций сигнала, независимо от масштаба пульсаций. Вейвлет-образ ю(а,6) функции г"(6) можно выразить и через ее фурье-образ 2т(ш).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
