П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Интересные результаты были получены при моделировании трехмерной МГД-турбулентности, поддерживаемой стационарными силами. В уравнениях (9.8)-(9.9) были включены силы /„и д„, которые действовали только на масштабах и = 0 и п = 1. В работе [50] изучалось влияние этих сил на каскадные процессы в инерционном интервале.
Силы бьши выбраны таким образом, чтобы они обеспечивали контролируемый подвод в систему всех сохраняемых ею величин (энергии, перекрестной спиральностн и магнитной спнральности). Перекрестная спнральность служит мерой коррелнрованности магнитного поля и поля скорости. Было показано, что если внешние снлы возбуждиот некоррелированные поля (то есть НО = О), то в системе устанавливаются колмогоровские спектры «-5/3», не зависимо от уровня магнитной спнральности. Нл рис. 9.9 показаны соответствующее распределение энергии пульсаций по спектру и спектральный поток энергии (сплошная ливия на нюкнем графике). В случае когда внешние силы порождают коррелированные поля (Нс Ен Еу), то колмогоровский каскад не устанавливается.
При этом процессы переноса сильно зависят от уровня магнитной спнральности. Если магнитная спиральность велика ((Нл~ = Ел), то каскадный процесс становится просто не возможен. Спектральный поток энергии резко падает, а спектр становится круче (наклон больше, чем « — 2»). Если же перекрестная спвральность существенна, а магнитная близка к нулю, то в 238 Глава 9 -ю .!О -ОО О О О ОО И» и» ОО ООО -О ОО О О $ Ю !О ОО» ОО О Рис. 9.9. инерционном интервале появляется спектр типа Крейчнана-Ирошникова с наклоном « — 3/2». Отметим еще один результат„касающийся поведения структурных функций различного порядка в МГД-турбулентности.
В таблице 9З показаны значения скейлиитовых показателей Г, вычисленных для структурных функций различного порядка 9 в режиме, соответствующем рис. 9.9. В этой жс таблице приведены для сравнения значения показателей для чисто гилродинамического случая (даны результаты экспериментальных измерений и результаты счета с помощью каскадной модели) и значения оценок согласно размериостным оценкам (К41).
Подчеркнем, по расчет гидродинамической каскадной модели хорошо воспроизводит экспериментальные данные. Важный вывод, следующий из таблицы, состоит в том, что несмотря на «чисто колмогоровский» спектр (О,'з в пределах погрешности дает значение 2/3), МГД-турбулентность ведет себя качественно иначе, чем чисто гидродинамическая. Прежде всего, это следует из того факта, что нарушается основной (точный! ) результат теории Колмогорова для гидродинамической турбулентности — структурная функция третьего порядка не следует закону «4/5», 9.3.
Дннямнчяскяя модвль многомлсштлвного дннлмо 239 Таблица 9.3 то есть (з ~ 1. Кроме того, уровень перемежаемости в МГД-турбулентности сушественно выше (больше отклонение от оценок К41), причем для мапппиого поля эти отклонения больше, чем для поля скорости. 9З.
Динамическая модель многомасштабного динамо Описание процессов генерации магнитных полей в реальных космических объектах ведется обычно в рамках теории динамо средних полей. Конкретные модели отличаются при этом способом описания влияния мелкомасштабной турбулентности на уравнения средних полей. Однако роль мелкомасштабной турбулентности не всегда ограничивается вкладом в эффекпшные коэффициенты переноса и эффектами генерации средних полей за счет механизмов типа альфа-эффекта (см. раздел 3.8).
Выше было показано, что мелкомасштабные динамо-процессы, с одной стороны, зависят от крупномасштабных полей (так как именно они обеспечивают приток энергии и спираяьносгей в мелкие масштабы), а с другой стороны, мешпот статистические характеристики мелкомасштабной турбуленпюсти, которые ответственны за крупномасппвбные динамо-процессы. В работе (23) была предложена идея совместить описание крупномасштабных переменных на языке уравнений среднего поля с описанием мелкомасштабных переменных на языхе каскадных моделей. Очевидно, что центральным моментом такого подхода является отработка сопряжения уравнений, ответственных за крупномасппабные и мелкомасштабные переменные. Эта процедура слабо поддается формализации и должна отрабатываться в каждом случае специально.
В качестве крупномасштабной компоненты задачи была рассмотрена простейшая задача теории динамо, тэх называемая задача а~-динамо. В такой постановке тороидаяьная ком- 240 Глава 9 а~Бр = (йьпВг — 1)В», 4Вг = ИьпВр — 13Вг, (9.14) (9.15) где а описывает способность мелкомасштабной отражательно-неинвариантной турбулентности генерировать среднее крупномасппабное магнитное поле, а )3 — эффективный коэффициент диффузии турбулентной среды (см, главу 3), йь — волновое число, определяющее макромасштаб Х,, Другими словами, полоидачьное магнитное поле создается из торондального спиральностью, как и торондальное магнитное поле из полондального, и понента крупномасштабного магнитного поля связана с полоидальной компонентной, как обычно, с помощью средней спиральностн, но и обратная связь достигается с помощью той же спиральности, а не дифференциального вращения, которое обычно делает это более эффективно.
Такой выбор связан с тем, что в рамках рассматриваемой задачи динамо-структура возбуждаемого магнитного поля очень проста, и для описания этой структуры достаточно сохранить лишь две пространственные моды (полоидальную и тороцдальную) Другими словами, и описание поведения крупномасштабной компоненты тоже можно свести к паре обыкновенных дифференциальных уравнений аз-динамо не очень типично для астрофизики, хотя может встречаться в тесных двойных системах, в которых дифференциальное вращение подавлено приливными взаимодействиями. Одншю позитивный опыт сопряжения систем для микро- и макропеременных может быть полезен и в более реалистичных (и сложных) ситуациях.
Для описания процессов генерации и переноса мелкомасштабного магнитного поля турбулентностью используется описанная выше каскадная модель МГД-турбулентности. С точки зрения рассматриваемой задачи особенно важно, что каскадные модели, наряду с положительно-определенными интегралами движения, могут сохранять и величины, знак которых заранее неизвестен.
В гидродинамике такие интегралы движения обычно называют спнральностями. В каскадной модели знак спиральности определяется преоблкданием вклада четных либо нечетных ярусов в соответствующую величину. В реальную космическую турбулентность спнральность вносится внешней силой, например силой Кориолиса, либо как начальное условие при формировании турбулентности.
В рассматриваемой задаче спираль- ность задавали в начальный момент эволюции и далее не поддерживали ее специально. Пусть эволюция крупномасштабного магнитного поля определяется поведением его полоидальной Вр и тороидальной Вг составляющих, для которых справедливы уравнения 9ть Диилмичвскля модвль многомьсштавного динлмо 241 оба эти поля подвержены действию турбулентной диффузии. Именно этот процесс и называется аз-динамо. Идея комбинированной модели состоит в том, чтобы обьедннить уравнения (9.14)-(9. 15) с каскадными уравнениями (9.8К9.9).
При этом коэффициенты а и Д вычисляются из решений каскадных уравнений и учитывается обмен энергий между турбулентным потоком и генерируемым крупномасштабным магнитным полем. Принято считать, что коэффициент а связан со спиральностью турбулентного потока а а т(ч гоьч) ~8, с точностью до множителя т, имеющего размерность времени. Полагая, что т связано со временем оборота вихрей соответствующего масштаба, свяжем величину а с характеристиками мелкомасштабной турбулентности как а = — ~ ~т„( — 1)"1с„)У„(~ = — ~ ~( — 1)")У„!. (9.1б) и и Диффузия крупномасштабного магнитного поля определяется коэффициен- том )3, для которого принимается оценка 13 ~ т(о~)/3, которой в терминах переменных каскадных уравнений соответствует формула б = -' й-'~и„.
(9.17) з~~'-- " л Важным является вопрос об учете оттока кинетической энергии турбулентного потока при генерации крупномасштабного магнитного поля (сами по себе каскадные уравнения в точности следуют законам сохранения и корректно описывают перераспределение кинетической энергии и энергии мелкомасштабного магнитного поля). Очевидно, что энергия, полученная крупномасштабным магнитным полем, должна быть изъята из кинетической энергии турбулентности путем соответствующей коррекции переменных У„.
Были опробованы различные способы такой корректировки. В конечном итоге в модели был принят следующий способ: считая, что генерацию магнитного поля при реализации а-эффекта обеспечивают только структуры, определяющие доминирующий знак спиральности, именно у переменных У„, дающих в спиралъиость вклад со знаком, совпадающим с текущим знаком коэффициента а, и вычитается энергия, полученная крупномасштабным магнитным полем. Для каскадной модели это означает, что 242 ГЛАВА 9 пересчитываются У„либо с четными, либо с нечетными п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
