П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Зависимость асимметрии и эксцесса всех величин от масштаба (номера яруса) приведена на рис. 8.4 для случая е = О.б. Точки, принадлежащие различным величинам, хорошо совпадают. Следует отметить, что модель демонстрирует существенный рост неравномерности распределения вероятности с ростом волнового числа — коэффициент эксцесса возрастает в 1000 раз.
1 а аа и и аа а Рис. 8.4 а а а и аа и аа Глава 8 к1 ю р аз 'Д.О а1 ом аз Рис. 8.5. Рис. 8.5 показывает результаты проверки второй гипотезы. В двойном логарифмическом масштабе показана зависимость величин (к„"+')/(л.„") от соответствующих значений (кт)/(Ф„' '). Верхний график соответствует случаю е = 0.42 (параметр незначительно превосходит значение, при котором наступает стохастизация решений) и показывает, что в этом случае 8А. Сквйлинг и пвоямкжолмосгь в каскадных модвлях 225 гипотеза не выполняется — группы точек, относящиеся к моментам Различного порядка, образуют отрезки с разными углами наклона. Такая ситуация сохраняется для г ( 0.45. При больших значениях параметра (показаны случаи: Ь) е = 0,7; с) е = 1,25; Й) е = $,0) соотношение (8.32) хорошо выполняется — все точки ложатся на общую прямую, наклон юторой позволяет однозначно оцределвть соответствующее значение параметра )у.
ол (Ф > о.о1 ожп о.аеп 1ьдо 1>ю 1>1о сД> Рис. 8.6. Рис. 8.6 касается проверки третьей пшотезы. Он дает зависимость безразмерного потока энергии от структурной функции третьего порядка для трех различных значений параметра з. Во всех случаях можно выделить прямой участок, соответствуюп~ий степенному закону (8.34), и определить значение коэффициента сз. Верхняя группа точек соответствует случаю е = = 5/4 (при этом моделируется инерционный интервал переноса энстрофии в лвумерной турбулентности), Точки лежат почти горизонтально (Ь = = 0.013), что говорит об очень визюм уровне перемежаемости. Этот результат хорошо согласуется с результатами, полученными при обработке данных прямого численного моделирования интервала переноса знстрофии в двумерной турбулентности (глава 5).
Результаты определения параметров Ь и )5 суммирует рис. 8.7„на ютором приведена зависимость этих величин от параметра модели е (напомним, что он связан с законами сохранения). На рисунке разделены результаты для е ( 1 и е > 1, так как свойства системы в этих двух областях отличаются принципиально, о чем свидетельствует и рис. 8.7. Рис. 8.8 показывает результаты непосредственного вычисления функции распределения вероятности для потока энергии Р(л„) при двух значениях гс а) е = 0.42, б) е = 3.0. На обоих графиках пунктиром проведена линия„соответствующая логпуассоновскому распределению. В первом 226 Глянь 8 ог ов оог 06 О,Ь 64 оооо а аои о г -го -го -го .н -и .6 ьоп- 4 поп 9 ог а 04 0.6 О,Ь 04 оан О.опг 4 06 г .Оо -гг -го -гв .и .и .н -н .в .а 4 ОП- < ЬОП 0 а О ав 04 06 Рис.
8.7 Рас. 8.8 Рекомендуемая литература к восьмой главе [1] Гледзер Е. Б,, Должанский Ф., Обухов А.М. Системы гидродннамического типа и их применение. М.: Наука, 1981. 366 с. [2] Зимин В.Д., Фрик П.Г. Турбулентная конвекция. М.: Наука, 1988, 178 с. [3] ВоЬг Т., уельеп М., Ра!агйп О., Уи[р!ап1 А. Рупаю!са! Яуагетв АрргоасЬ го ТогЬо!елее. СашЬгЫ8е: Сампо)8е !)и!тегз!ту Ргем„1998. случае полученная функция распределения далека от этой кривой [что согласуется с рис. 8.5а), в то ерема как на втором — совпадение достаточно хорошее. Видно, что функция распределения несимметрична [напомним, что логнормальное распределение в таком представлении должно было бы дать симметричную параболу). В заключение отметим, что полученные значения параметров !9 и А при подстановке в формулу [8.34) дали значения св, совпадаюшие с точностью не ниже 10% со значениями, полученными непосредственно по расчетам наклона графиков структурных функций.
Подтверждение формулы [8.34) является интегральной проверкой работоспособности модели турбулентности Ше-Левека-Дюбрюль. гллвА 9 Примеры моделей сложных турбулентных систем 9.1. Модель двумерной турбулентной конвекцнн Рассмотрим турбулентные течения, описываемые в рамках приближения Буссинеска для термогравитационной конвекции несжимаемой жидкости. Уравнения движения запишем в безразмерной форме: дсп+ (и ~7)п = — т7Р+Сг ~7~2ьп+ еТ, дсТ+ и . ЧТ = а гСг '7~ЬТ, ~7 п=О, (9Д) (9.2) (9.3) где и — скорость, Р— давление, Т вЂ” температура, е — единичный вектор вдоль вертикальной оси, Сг = д(3РТ'и з — число Грассгофа, о = и/7(— число Прандтля, и — кинематическая вязкость, Х вЂ” температуропроводность.
В качестве единицы длины выбран макромасштаб Ь, единицы температуры — характерная для этого масштаба разность температуры Т*, единицы скорости — (д(31Т*Яз и единицы времени — Ь/У. При выбранной единице скорости число Грассгофа просто связано с числом Рейнольдса: Сг = УзЕРи з = Гсз. Мы построим каскадную модель, позволяющую рассмотреть специфику каскадных процессов вблизи масппаба Боцлхшано в двумерной турбулентности (см, параграф 6.2), а также каскадных процессов при очень низких и очень высоких значениях числа Працлтля.
Эти залачи выбраны потому, по являются примером случая, когда рассмотрение нелокальных взаимодействий становится принципиальным и модель типа СОУ может привести к неправильным результатам, Каскздная модель для двумерной турбулентной конвекции, включающая нелокальные взаимодействия, была построена в работе (20) и имеет ГЛАВА 9 22е АУв = ~Тьиь1Ка11 — В 'йдНп+Е,би, пъ,! (9.4) йГст = Я Нь, ЛЮ тз1 — й~(о.К) '6„, (9.5) где Р, = Рс2", Тч,е,з = 2~То, — Х- Нь, 2 = 2 Но, — 1 „, азначения элементов для центральных частей матриц То, 1 и Но,,л приведены в таблицах. Структура матриц следует нз разбиения пространства волновых векторов на октавы и из требования сохранения кинетической энергии Еи = 2 ~У„~~/2, энстрофии й = 2„1к„У„~ /2 и энергии пульсаций и и температуры Ет = ) ~Щ /2 и Таблица 9.1. То, Таблица 9.2.
Но,~ з Эта модель была модифицирована в работе 116). Во-первых, в рассмотрение были введены комплексные переменные, использование которых 9.1, Модвль двтмвгной тттвтлвптной коиввкции 229 существенно снижает время интегрирования, необходимое для получения устойчивых статистических характерисппс. Во-вторых, в матрице Н,е 2 были оставлены толью члены, описывающие генерацию неоднородностей температуры крупномасштабным полем скорости (строки ( = т.1, т < О), и диагонали т = и и ( = т, которые, очевидно, доминируют нац соответствующими боковыми столбцами. Тогда, с учетом связей между элементами матрицы, следуюпщх из законов сохранения, можно записать г 4(7в — — 12" ',~ То,—,,-г (а,(7„*+,.1Г„* гу+, — (7„*,(7„*+, + с,(7„*,-,,-(7„",~~— ьг11-тгг + ь ц (9б) АВп = 12" ~~~ (Но,-в-г ((Гв уй*„з — 8(Г„*,+з6,*„.г)+ 3=1 + Пс,а,-т (ГГв~~, — 2"Гг„'+;К+э)) — )с„'(сВ) '~~, (97) где ат = 3 2г/(4 — 2 гт), су = (2гд — 1)/(2гт+з — 2).
Параметр,У фиксирует наиболее далекие взаимодействия (при 7 = 1 система возвращается к стандартному виду каскадных уравнений, описывающих только локальные взаимодействия). Приведем в качестве примера результаты моделирования двумерной турбулентной конвекции с помощью уравнений (9.бК9.7).
Умеренные числа Прандтля (~т 1). Рассмотрим эволюцию спектров двумерной турбулентной конвекции при очень больших числах Грассгофа, когда большой интервал значений волновых чисел позволяет проследить за формированием спектров по обе стороны от масштаба Болдлглано. Система уравнений (9.6)-(9.7) для случая, когда число Прандтля равно единице, а число Грассгофа Сг = 10ы (чю соответствует В = 10 ), интегрировалась методом Рунге-Кугга четвертого порядка с постоянным шагом по времени для 0 < п < 30. Равномерный нагрев на макромасштабе моделировался путем нодлержания стационарного значении модуля переменной )Вс~ = 1.
В отличие от трехмерного случая, в двумерной гидродинамической турбулентности существование инерционного интервала с прямым каскадом энергии невозможно. Зто обстоятельство препятствует установлению стационарного распределения энергии по спектру. Процесс передачи энергии к мелкомасштабному движению блокируется на масппабе Болджиано Бн, вправо от которого формируется инерционный интервал переноса 2зо Глхвх 9 .55 » 15 Ю Ю 30 5 1О Рис. 9,!. энстрофии. Влево от Ьп развивается интервал обратного переноса энергии к крупным масштабам со спектральным законом « — 5/3», причем граница этого интервала продвигается влево по мере накопления системой энергии. Стационарной ситуации удается добиться путем введения дополнительной диссипации кинетической энергии на больших масштабах (в уравнение для У„дописывается член вида — уУ„, так называемое линейное трение, обычно используемое и при прямых численных экспериментах с двумерной турбулентностью).
На рис. 9.1 показаны осредненные по времени значения энергии пульсаций скорости и температуры в отдельных октавах Е~ (кружки) и Ет„(черные точки). Проведены линии, соответствующие степенным законам для спектров Ек(й) и ЕтЯ. Этот рисунок нужно сравнить с рис. 6.3, где качественно были изображены ожидаемые спектральные распределения для двумерной турбулентной конвекции.
Масштаб Боллжиано приходится в модели приблизительно на масштаб и — 16. Наклон спектра пульсаций температуры в крупномасштабной части точно воспроизводит Обуховский интервал « — 7/5», хотя наклон спектра пульсаций скорости заметно отличается от ожидаемого наклона « — 11/5». Границы различных интервалов более четко выражены в спектре пульсаций скорости. В спектре пульсапий температуры переходы размытые н степенные участки не столь ярко выражены. Малые числа Прандтля (55 «1) приводят к появлению инерционно-диффузионного интервала в спектре пульсаций температуры.
Он возникает в масппабах, на которых сохраняется обычный инерционный интервал в поле скорости, но существенна тепловая диффузия. В двумерной турбу- 9Л. МОдвль двумеРнОЙ туРБулентнОЙ конвекгцш 291 -10 О 5 1О 15 Рис. 9,2, лентиости анализ размерностей приводит к заюну Ет'115) 15 т (6.7). При столь быстром затухании энергии пульсаций трудно рассчитывать на формирование протяженного интервала. Это подтверждают результаты численного счета для случая и = 10 а, приведенные на рис. 9.2, где не удается выделить интервала с постоянным степенным законом. На рисунке даны результаты счета с различными значениями параметра Х. В коввективном интервале отличие невелико, так как здесь доминируют локальные взаимодействия полей скорости и температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
