П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Последняя кривая показывает, что к моменту, когда на больших масштабах 218 Гллвь 8 !О ' в в в л-' в" в Рвс. 8.2 устанавливается распределение вида У„2 "гз (Е(1г) к ьУз)„неустойчивость достигает границы двух интервалов. Включение в модельные уравнения вязкости несколько меняет характер развития неустойчивости.
Вязкость стабилизирует правый край инерционного интервала, н возмущения начинают развиваться, хотя и медленнее, на его левом краю. Численные решения каскадных уравнений на больших интервалах времени показывают, что каскадные переменные совершают стохастические колебания, а степенные законы реализуются в среднем. Именно уравнения вида (8.15) получили наибольшее распространение в моделировании каскадных процессов развитой турбулентности.
Интерес к ним был вызван работой 180], в которой впервые в рамках таких моделей исследовалось поведение структурных функций высших порядков. В цитируемой работе рассматривались комплексные переменные У„, а уравнения (8,15) бывн записаны в виде В таком виде система содержит свободный параметр е, причем независимо от его значения система обеспечивает сохранение энергии. Интересуясь обычной трехмерной турбулентностью, авторы выбрали для этого параметра значение е = 1/2.
При е = 5/4 уравнения (8.22) совпадают с зд. Модвль ООу 219 л и запишем условие ее сохранения !4" = ~. «" (У„'Ег„+к.с.) = +«ге~-г»" — -",а»" + 4 оп!-з»" П„* гб;*,~У;,,1+... = О. При выбранном разбиении (к„= 2") условие выполняется, если справедливо уравнение 1 — »»+ (е — 1)»з = О, имеющее два корня »г=1, «2 = (» — 1) Первый корень не зависит от параметра» и соответствует сохранению энергии (И з = Е = 2 ~У„~з). Второй корень соответствует квадратичной величине И'з = 2 ', (» — 1) "!У„~з, которая имеет различный смысл при е > 1 и е < 1. В первом случае квадратичная величина является положительно-определенной и может быть переписана в виде (8.23) где Л = — )ой» ~» — Ц. (8.24) Величина (8.23) может рассматриваться как обобщенная энстрофия (она совпадает с обычной энстрофней при» = 5/4).
Во втором случае, когда» ( 1, сохраняется величина ~2 Н ~~' ( 1) йд!К~~ (8.25) с показателем степени, также определяемым по формуле (8.24). Важно отметить, что сохраняется в этом случае знакоперемеиная величина. Ее называют обобщенной спиральностью, так как сохраняемыми знакопеременными моделью Гледзера (8.15). Эта модель известна под именем ОО т' (О!ег!«егОЫсйаш-Уашаоа) и является сегодня наиболее исследуемой каскадной моделью турбулентности.
Свойства этой модели обсудим более подробно. Рассмотрим квадратичную вели пшу 220 ГЛАВА 8 квадратичными формами в гидродинамике являются именно спнральностн, При е = 1/2 размерность этой величины совпадает с размерносп ю пщро динамической спиральности. Любопытно отмеппь, что сам факт наличия этого интеграла в системе уравнений (8.22) был обнаружен значительно позже работы Охнтани и Ямады, в которой именно это значение параметра было выбрано, по-видимому, случайно. Ниже мы увидим, по только при этом значении параметра е и достигается то замечательное совпадение статистических свойств модели и реальной турбулентности, которое привлекло широкий интерес к каскадным моделям.
Система (8.22) имеет два стационарных решения вида У„= Уо/с„'", зависяших от параметра г. Подставляя (8.10) в (8.22) и обозначая 2з'" = х, легко получаем искомые решения ггг = 1/3, пг = (1/3) 1обг ((к — 1)/2(. (8.26) 8.4. Скейлинг и яеремежаемость в каскадных моделях турбулентности В главе 4 бьша описана модель развнтон турбулентности ШЛД (Ше— Левек-Дюбрюль), претецлуюшая на то, что имеюшиеся в ней параметры позволяют описать широкий класс турбулентных течений (напомннм, что предшествовавшая ей модель Ше-Левека была строго ориентирована на описание чисто гидродинамичесюй трехмерной турбулентности).
Первое тестирование модели ШЛД на универсальность было выполнено с помошью каскадной модели (8.22) в работе (46). Каскадная модель типа ОО'1' Первое решение соответствует колмогоровскому спектру к зУз и присутствует в системе при любом значении параметра. Численные исследования системы уравнений (8.22) показали, что при е < ег = 0.384 колмогоровское решение является устойчивым фокусом системы. При е = ег имеет место бифуркация Хопфа, а при е = ег = 0.396 происходит новая бнфуркация, после которой в системе возникает хаос.
Вше раз отметим, что точка е = 1 является особой точкой на оси значений параметра. В этой точке меняется тип интеграла движения, а при приближении к ней интегралом движения становится величина (8.23) или (8.25) с показателем Л вЂ” оо. Это значит, что ни о каюм каскаде в системе не может быть и речи. Заметим также, что в точке е = 2 оба решения (8.26) совпадают, а единственным интегралом движения является энергия. 8ук сквилинг и пвевмвжьлмопь в каскадных модвлях 221 дает прекрасную возможность для такого теста, так как позволяет получить целый класс систем с различными законами сохранения.
Во всех моделях развитой турбулентности (н/или перемежаемости) рассматриваются структурные функции поля скорости. В каскадной модели структурной функцией порядка о является величина где угловые скобки означают усреднение по времени. Напомним, что дкя структурных функциИ предполагается наличие степенных законов вида Я» (», а использовавпияся в модели ШЛД расширенная автомодельность успшавливает связь между любой парой структурных функций в виде Я Я»я!Ъ » р (8.28) Мы вцдели, что расширенная автомодельность позволяет повысить точность определения скейлннговых показателей»».
Рис. 8.3 показывает, Рис. 8.3 222 Гвссвсс 8 что расширенная автомодельность проявляет себя в полной мере и в каскадных моделях. Для случая е = б/4 на рис. 8.3а показана зависимость величин сч от номера яруса и (то есть от масштаба) для широкого интервала с2 (вплоть до 25). Заметим, что ни эксперимент, ни прямое численное моделирование не могут обеспечить ни такого диапазона масштабов, ни такого высокого порядка 9. Можно видеть, что даже для низких порядков значение скейлинговых показателей монотонно возрастает, начиная с самого начала инерционного интервала.
На рис. 8.3б показаны относительные показатели Сч — — са/сз. Ясно видно, что в этом случае появляется широкий интервал масштабов, в котором показатели сохраняют постоянное значение (горизонтальные линии на графиках). Центральной величиной во всех моделях развитой турбулентности, начиная с теории Колмогорова, является скорость диссипацни энергии, которая определяет поток энергии, пронизывающий весь инерционный интервал, и, как следствие, определяет динамику последнего. В главе 5 мы уже останавливались на вопросе о том, что реальной величиной, определяющей динамику инерционного интервала, является не скорость диссипации, а сам поток энергии, который к тому же не всегда постоянен вдоль инерционного интервала. В каскадной модели поток энергии, проходящей через масштаб и (точнее, энергия, передаваемая от всех ярусов с номером т < и ярусам с т ) и), есть /~ — 1 1 пв и С в„= (с (с„~ — у„у„-,а„— Су„,аа„,))) . пс>п (8.29) Если комплексные переменные записать в виде у„= рпе'и", то выраже ние (8.28) можно привести к виду ~п — с Вп (8.30) Рп вСас ~~п! вСаС ( з) (~П„~) (Щ)' (8.31) Вторая гипотеза — гипотеза об иерархии моментов безразмерного потока где Оп = (р„српрп+, зт(ф„с + ф„+ ф„+с)).
Теперь сформулируем основные гипотезы модели ШЛБ в терминах каскадных переменных. Первая гипотеза — гипотеза подобия (4.88), декларирующая наличие одинаковых статистических свойств, принимает форму 8.4. Сквйлинг н пвгвмежллмость в каскадных модллях 223 энергии (4.89) сохраняет свой вид (аа„"+з) ( (кя) (. ) '4'') ( — )) (8.32) но в качестве безразмерной характеристики потока энергии по спек- тру (4.87) в каскадной модели выступает величина я„= ", П1") = йш !П„~ (~П„Р +з) П1 >™' - (1П Р') ' (8.33) Третья гипотеза, гипотеза о перемежаемости, записывается как ( ) (Р.) (8.34) Напомним, что результатом применения трех гипотез является формула для скейлинговых экспонент ьа 8(1 Ь)+Ь 1 3 ,За/з (8.35) Проверка первой гипотезы требует сопоставления функций распределения плотности вероятности для всех трех величин. В первом приближении можно ограничиться сравнением низших моментов, лли коэффициентов асимметрии и эксцесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
