П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(7,34) Интегрирование в (7.34) ведется по пересечению областей 2 < уу! < 2 ~, 2 < )7 — у'! < 2 +~, 2 < ( у') < 2ь+', (7,35) что и определяет характер заполнения матрицы. Все трн условия (7.35) выпояшпотся только в случае, если два из трех индексов йГ, И и Ь отличаются не больше, чем на единицу. Это означает, что все ненулевые элементы мат-, . „„„, щ ъ г М 7 ++++ рицы сосредоточены вблизи диагоналей с, Х Х Х Х Х Х Х Х Х )т' = М, 7т' = Ь и Ь = М, причем И+4 третий индекс может сильно отличать- М+3 ся от двух, близких по значению, но М+2 быть меньше последних (можно постро- Х+1 Ре~ " ' 'двУх "Роз ХХХХХ Х 1 ков и одного короткого, но нельзя построить из одного длинного и двух ко- 1Ч-2 ротких).
Структуру матрицы иллюстриРуст рнс. 7.6, на котором помечены все ненулевые элементы матрицы. Черным цветом вьщелен элемент Тнрцд, а кре- Х-5 атиками — диагональ Тггмн. Дальнейшее построение модели требует новых предположений и гипотез, которые могут быть сделаны различными способами. Не останавливаясь на альтернативных способах, мы кратко опишем модель, рассмотренную в работе (26), и приведем некоторые результаты. Модель называется иерархической потому, что базисные функции обРазуют иерархическую структуру, условно изображенную на рис. 7.7.
Совокупность вихрей одного масштаба будем называть ярусом. Каждый вихрь Данного яруса несет на себе четыре вихря следующего и так далее. При этом предполагается, что меньший вихрь переносится большим без деформации, то есть меньший совершает строго осеснмметричное относительно большего движение, которое описывается уравнениями для центра Глава 7 202 Рас. 7.7 вихря (7.21). Это предположение означает, что расстояние между центрами пары вихрей, связанных вертикальной связью на схеме рис.
7.7, остается постоянным. Следуюпшй шаг касается вила матрицы нелинейных взаимодействий (7.26). Обязательным условием является соблюдение законов сохранения — уравнения при отсутствии диссипативного члена должны сохраюпъ энергию и энстрофию, определенные выражениями (730). Для того чтобы обеспечить сохранение кварюатичных величин, нужно, чтобы они сохранялись в единичном взаимодействии трех вихрей. Перепишем уравнение (7.31) в виде р(сАррп = ~~~ ~~, ТррпмшыАмд~АМ вЂ” иКО2 А№о (7 36) ь>м и где матрица Т включает все взаимодействия между данной тройкой виХрсй Тррпм„,м = рсррпмп,с + Яррпммп, (Матрнву Й СЛОЖИЛИ Вдова днаГО- пали Ь = М) н заметим, что элементы матрицы Т зависят только от относительного положения трех вихрей и отношения их масштабов (номеров ярусов): Тлпм~пы(Г№~ ГМпь~ ГЫ) = ТРРМЬ(ттч~~ ГРп) = 2 То,м-рр,ь-рр(2~Г „,2~ты), (7.37) ГДЕГти =ГМ.
— ГРР Ит~п = ГЫ вЂ” ГРР . С учетом (7.37) зжпппем условия сохранения энергии и энстрофин, используя только большие индексы матрицы: Трррр-ьрр+з+ 2РТрррррррр+ +1+ 2 ~Трррр-у ирр-р = О, Трр,рр-,,рраз + 2 'Трр,ррррт рр~.;.р" + 2Трр,н-.— Мрр-т = О. 7.2. ИВВГГХИЧВСКЛЯ МОДВЛЬ ДВРМнгисй ттгвтлвнтиости 203 Отметим, что наличие двух законов со- (Ьь хранения исюпочает наличие ненулевых диагональных членов и оставляет в матрице только злементы трех типов, вошедшие в соотношения (7.38)-(7.39). Решая систему (7.33К7.39), А~ ея выражаем все элементы через один, который для упрощения записи обозначим как Т.
(ин- ~дюк деке 7 характеризует степень удаленности взаимодействующих вихрей: 7' = 1 означает, что Аз взаимодействуют вихри из трех последуюл~их ярусов; 7' = 2 соответствует взаимодействию Рис. 7.8. двух вихрей вз соседних ярусов с третьим, который отстоит от них через один ярус, и т.д.): Тгг,гг-;гг+г = 2 То,— д = 2 Ту и ж Т7г,гг-у-цгг-г = 2~Т. = 2гг (1 — 2 зУ) (2 зд з — 2) Ту, Тн,н+Агг+3+г = 2 Ту = 3 2 (2 1 — 2 +3) Ту. (7.40) Таким образом, для любой тройки взаимодействующих вихрей осталась одна величина Т, требующая вычисления прн их заданном взаимном положении. Заметим, что положение вихрей полностью определяется значением углов 13 между векторами, соединяющими центры большего вихря с меньшим и т.д.
(рис. 7.8). Величина Тз вычисляется непосредственно по формуле (7.34) с учетом вида функций (7.17К7.18) и табулируется для всевозможных значений упюв. Суммируя сказанное, зшпппем систему уравнений для двух переменных, характеризующих каждый вихрь и яруса (масштаба) М: амплитуды Аи„и угла Дд„. г)еАггп = 2 ) ~Агг Агг Я()3гг — г 137г — з ° ° ) + у=г +Ан у'5 А++гзТ,(Ун,13и-г," )+ 2 за+~ А„г,А„1,„Т~е „,,Рь,...)1- а=1 а=1 — г К02~~ Альп + (ггп (7 41) 0лдгг,. = Анп- (7.42) ГЛАВА 7 азг аз а.аа -и 0.06 -16 -га а 6 6 16 и -15 -10 -5 О 5 10 15 20 -24 О 2 Ряс. 7,!0 Рис. 7.9 В уравнении (7.41) использованы обозначения А, ь для индикации вихря, находящегося в иерархическом дереве на й ярусов выше данного, и А~~+„1 для 1-го вихря, находящегося в дереве на )6 ярусов ниже данного (таких вихрей всего 22" штук).
Система (7.41)-(7.42) хороша тем, чго в ней каждая переменная (каждый вихрь) связана лишь с небольшим числом соседей по иерархическому дереву, изображенному на рис. 7.7. Такого типа системы удобны для применения систем массированного параллельного программирования. В цитируемой работе эта система решалась на параллельном компьютере типа СМ-200 фирмы ТЬшЫпя МасЫпеа Согрогайоп, имеющем 8192 процессора. Компьютер относится к параллельным системам типа ЯМТ) (Ялк1е 1пзгшсйоп Мл!й Вага), допускающим одновременное выполнение всеми процессорами только одной и той же операции. Такие вычислительные системы эффективны только при решении задач, в которых требуется одновременное выполнение большого числа одинаковых действий с различными данными.
Рассматриваемая иерархическая модель как раз и относится к таким задачам. Решалась система для 12 ярусов (Ж от 0 до 11), включающая всего 5592405 вихрей. Моделировался инерционный интервал переноса энстрофии — подкачка осуществлялась в первом и втором ярусе, а отвод энергии — в нулевом. В стационарном режиме измерялись интегральные и локальные характеристики полей завихренности и скорости. На рис. 7.9 показаны осредненные по времени распределения энергии н энстрофии по ярусам.
Наклон графика энергии в инерционном интервале соответствует спектральному закону ЕЯ й з ~~~ 05. Преимушество иерархической модели 7.2. Иввьгхичвскля модвль двтмв ной тл ьтлвнтносгн 205 состоит в том, что она позволяет непосредственно пронаблюдать локальные вариации наклона спектрального закона для плотности энергии. Действительно, локальный наклон спектра может быть определен по отношению знерпш пары вертикальных соседей в иерархическом дереве. Рис.
7.10 показывает гистограмму таких локальных наклонов (точнее, на графике показан логарифм отношения энергий последовательной пары вихрей в дереве). Разными значками обозначены данные, относящиеся к различным ярусам. Локальные значения наююна спектра лежат в широком интервале значений, непосредственно подтверждая концепцию мультнфрактальной структуры турбулентного попжа. В пределах инерционного интервала точки, относящиеся к различным ярусам, ложатся на гистограммах на одну кривую линию, однако более тщательное исследование свойств распределения вероятности показывает систематическое изменение ее структуры по мере уменьшения масштабов. В качестве меры отличия распределения вероятности от нормального часто используют коэффициент эксцесса, определяемый в нашем случае для каждого яруса: Ь = ((Ф ) )/(((.4и~ ) ) — 3.
боо зоо 40 бс 80 1 Рис. 7.11. На рис. 7.11 показано изменение во времени коэффициентов эксцесса, вычисляемых для шестого и восьмого ярусов (оба внутри инерционного интервала). Глядя на рисунок, можно сделать два важных вывода. Во-первых, графики свидетельствуют о сильной временной перемежаемости— в отдельные моменты времени эксцесс растет до значений, равных нескольким сотням. Во-вторых, можно видеть, что коэффициент эксцесса восьмого яруса систематически превышает коэффициент шестого яруса. Этот факт подтверждает н рис. 7.12, на котором показаны средние ио времени зна- ГллВл 7 ам 1.2 и 0.8 0.4 а 4 6 в л 1 2 3 4 5 б а Рлс.
7.12 Рис. 7.13 челна логарифма коэффициентов (7.43) для всех ярусов (точки 1). Виден монотонный рост эксцесса с ростом номера яруса. Это означает, что, чем меньше масштаб, тем большие выбросы возникают в функциях распределения вероятности (на гистограммах этн выбросы практически не видны, так как сливаются с осью абсцисс). На этом же рисунке для сравнения приведены коэффициенты эксцесса, полученные в каскадной модели двумерной турбулентности. Об этих моделях речь подлет в последней главе, и там мы вернемся к обсужлению этого графика. Послешпш рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
