П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Конввктивнхл тугвулвнтность 183 до~1/1 д)3626 (6.12) Наряду с этим условием остается справедливым условие (6.2), требующее постоянства потока энергии пульсаций температуры по спектру. Оно дает второе соотношение ет 67~ бо1/1. Решая систему (6.12)-(6.13), получаем бо1 е ~ (дД) ~ (з~ь, 62) зуь ( Д-'!ь (гав (6.14) (6.15) Оценки (6.14)-(6.15) соответствуют спектральным законам Е(к) к ггуь, (й) й-7/ь (6.16) (6.17) Важно отметить, что полученные спектральные законы не зависят от размерности пространства, то есть они могут возникнуть как в трех-, так и в двумерном течении. Под двумерным конвектнвным движением мы подразумеваем при этом течение в вертикальной плоскости, то есть плоскости, в которой лежит вектор ускорения свободного падения. Такие двумерные конвекгивные течения могут быть реализованы в вертикальной щели с неравномерным нагревом. Конвективный (обуховский) интервал вида (6.
16)-(6.17) не может расти неограниченно даже в пределе бесконечно больших значений числа Грассгофа. Дело в том, что работа, совершаемая силами Архимеда за единицу времени на единицу массы Пл (дЯ6ш62) ст (дЯ (6.18) (колмогоровский) состоит в том, что турбулентность развивается по обычному нзотермическому сценарию и динамика меньших масштабов определяется спектральным потоком энергии, который оказывается на этих масштабах существеннее, чем работа сил Архимеда.
На возможность другого сценария впервые указали независимо друг от друга А. Обухов (18) и р, Болджиано (331. Этот сценарий (будем называть его обуховским) предполагает существенную роль сил Архимеда в широком интервале масштабов. Так как режим движения заведомо нелинейный, то это возможно в случае, если на каждом масштабе имеет место баланс между нелинейным и архимедовым слагаемыми в уравнении (6.9). Это условие вырвкается (в размерном виде) соотношением ГЛАВА 6 134 Рис. 6.3 Рис. 6.2 падает с уменьшением масштаба. Это означает, что должен существовать масппаб, на котором обычный колмогоровский механизм станет эффективней конвективного и на смену обуховскому режиму должен прийти колмогоровский.
Этот масштаб принято называть масштабом Болджлано, и он легко получается, если приравнять (6.18) скорости дисснпации энергии ))-3/2 5/4 -3/4 (6.19) Оящлаемая картина спектральньгх распределений энергии для трехмерной турбулентной конвекции показана на рис. 6.2. В двумерном случае ситуация на масштабах 1 > Ьл полностью аналогична ситуации в трехмерном течении. Отличия возникают на малых масштабах, так как прямой каскад энергии в двумерном потоке невозможен. Конвекпввый интервал обеспечивает прямой поток энергии по спектру, а на масштабе Болджиано каскад блокируется.
Справа от этого масштаба должен установиться интервал переноса энстрофии, а слева начнется формирование интервала обратного каскада энергии. Ожидаемая структура спектров в двумерной конвективной турбулентности показана на рис. 63. Отметим еще один интервал, который может появиться при турбулентной конвекпии в жидкости с большим числом Прандтля. Сильная вязкость подавляет движение на масштабах, на которых еще существуют пульсации температуры. Без учета сил плавучести это приводит к спектру Бэтчелора (6.8). Прн больших числах Грассгофа возможна ситуация, когда нелинейные члены в уравнении для скорости становятся малы, а динамика пульсаций определяется балансом сил Архимеда и сил вязкости.
Это означает, что 9/ЗбТ~ бс~/12. (6.20) бчк МГД-тч вчллнтносгь 185 Считая, что пульсации температуры следуют закону Бзтчелора (6.8)„полу- чаем из (6.7) спектральный закон для пульсаций сюрости [16) (6.21) 6.3. МГД-турбулентность Рассмотрим особенности каскадных процессов при развитой турбулентности в проводяших жидкостях.
Уравнения магнитной гидродинамики для несжимаемой жидкости запишем в безразмерной форме драч + ~(ч . т7)ч = (В . 57) — т7(Р'+ Вз/2) + В. 'Ьч, д~В + (ч . ~7)В = (В . ту)ч + Рзп 'ЬВ, туч=О, т7В=О, (6.22) где К вЂ” число Рейнольдса, Влп = К а„, — магнитное число Рейнольдса, и = и(и — магнитное число Праидтля. Обратимся к законам сохранения для трехмерной магнитной гидролинамики. В бездиссипативном пределе уравнения (6.22) сохраняют три квадратичных интеграла. Это полная энергия Е„перекрестная спираль- ность Нс и магнитная спиральность Нп. Е, = Еч + Ев = (ч + В )~Л7, Нс = (ч В)ИК Нв = /(А В)ЫК (6.23) (6.24) (6.25) В заключение отметим, что вопрос о спектральных законах в конвективной турбулентности далек от своего оюнчагельного решения. В последнее время активно проводятся лабораторные эксперименты, подтвердившие возможность реализации обоих сценариев эволюции юнвективной турбулентности.
В экспериментах с жидким гелием [79) и водой [37) для температурных пульсадий был получен закон « — 7/бгь а в работе (38) описан эксперимент по конвекции в ртути, где получен юлмогоровский закон распределения энергии по спектру. Отметим, что все измерения касаются спектра пульсаций температуры, для юторого отличия между колмогоровскнм и обуховским режимами менее выражены, чем для спектра пульсаций скорости. 186 Глава 6 где В = гос А. Необходимо отметить, что гидродинамнческая спиральность Нк = ~(ч госч)йУ (6.26) сохраняется, только если В -+ О, т.
е. в кинематической постановке (в этом случае Нс, Нн — О, а Ез — ~ Е~ ). Поскольку речь идет о развитой турбулентности, то подразумевается, что гидродинамическое число Рейнольдса имеет огромные значения К » 1, Однако это далеко не всегда означает, что и магнитное число Рейнольдса Кш » 1, поскольку в огромном большинстве случаев и « 1. Рассмотрим ситуащпо, когда К » 1, а Вш < 1 и на турбулентное течение наложено внешнее (слабое) крупномасштабное магнитное поле. Влиянием магнит- ното поля на поток можно пренебречь (кинематнческое приближение) и рассматривать уравнение индукции отдельно от уравнения для скорости.
В уравнении индукции доминируют два слагаемых: (В ч )и и Взп ~ЬВ. Предполагая, что существует интервал масштабов, в котором соблюдается баланс этих двух членов (пульсации поля скорости данного масштаба возмущают внешнее магнитное поле, а диффузия справляется с этими возмущениями на этом же масштабе, не позволяя развиться каскадному процессу), то есть бес Вс/1 бВю/~г с учетом колмогоровского закона для пульсаций скорости легко получить 6В~ (4~з, что соответствует спектральному закону [5) Ел(й) Гпбз. (6.27) Вернемся к случаю больших магнитных чисел Рейнольдса В, Кш » 1, и рассмотрим турбулентное течение, в котором энергия пульсаций магпипюго поля сопоставима с энергией пульсаций скорости.
Взаимодействие двух силовых нолей дает возможность появления новых физических механюмов, обеспечиваюших каскадный перенос энергии. С одной стороны, симметрия уравнений (6.22)'дает основание предположить, что колмогоровский каскад возможен и в МГД-турбулентности (при этом Ев(к) Е~ ()с) й аУз). С другой стороны, в магнитной гидродинамике появляется принципиально новый механизм обмена энергией между пульсациями скорости и магнипюго поля, связанный с существованием волн Альфвена. Волны Альфвена возникают в проводюцей жидкости на фоне наложенного (крупномасштабного) магнитного поля Во.
По аналогии с натянутой 63. Ьагд-тя вэлвнтность 187 струной, вдоль силовой линии магнитного поля распространяется поперечная гидромагвитная волна с альфвеновской скоростью У„ = Во(попо) Это означает, по в инерционном интервале на масштабе 1, наряду с характерным временем оборота вихря 1„ - 1/боп появляется характерное альфвеновское время Ф„ш 1/У, которое может оказаться существенно меньше. В альфвеновской волне энергия пульсаций поля равна энергии пульсаций скорости, следовательно, рассмотрение мелкомасштабной турбулентности как совокупности альфвеновских волн различного масштаба также предполагает равнораспределение кинетической и магнитной энергии Ев(й) — Ек(/с).
Спектральная плотность энергии определяется постоянным в пределах инерционного интервала спектральным потоком энергии к, характерным' временем взаимодействия на данном масштабе 1~ и самим масштабом (волновым числом). Для того чтобы воспользоваться соображениями размерности, требуется дополнительная связь этих величин. Крейчнан (58) и Ирошников (11] предположили, что спектральный поток пропорционален времени взаимодействия Фь Тогда на основе соображений размерности получаем е 0й4Ез(й), что равносильно соотношению Е(й) = С (г/й)~7~1 з. (6.28) Если теперь предположить, что время взаимодействия есть колмогоровское время, то есть Ф~ = 1/бш = (кзе) з7з, то формула (6.28) даст колмогоровский закон « — б/8».
Если же считать, что взаимодействия обусловлены альфвеновским механизмом и й = 1, — (ЙВо) ~, то получается распределение Крейчнаиа-Ирошникова Е(й) (Воя)з/з)с-з7з (6.29) Отметим, что гипотеза Крейчнана-Ирошникова не единственная возможность решения задачи. Соображения размерности допускают и соотношение Е(й) = С.( Сс)Г', (6.30) по сути, предполагающее, что, чем меньше характерное время, тем эффективней спектральный поток энергии. Подстановка в (6.30) колмогоровского времени также дает классический закон « — 5/8», а вот альфвеновское время (Ф~ = 1,) в этом случае приводит к распределению вида Е(к) (г/Во)й з. (6.31) В 1950 г.
Бзтчелор высказал гипотезу о том, что мелкомасштабные магнитные поля в космических телах возникают не только за счет запутывания крупномасппабных мапппных полей турбулентными движениями, 188 ГЛАВА 6 ио и за счет отдельного механизма генерации мелкомасштабных магнитшях полей турбулентными потоками, получившего название мелкомасштабного динамо [29). В отличие от крупномасштабного, действие которого связано со спиральным характером турбулентности во вращающемся теле, ра. бота мелкомасппабного динамо не связана со спиральностью. Очевидно, что дла генерации мелкомасштабного (как и всякого другого) магнитного поля мехавизмом. динамо магнитное число Рейиольдса Вш должно быль достаточно большим.
Простейшие модели мелкомасштабного динамо дают оцеиху критического Вш в несколько десятков. Хотя такие Вш и велики по лабораторным меркам, в звездах„галактиках, акреционвых дисках турбулентные потоки имеют несравненно большие магнитные числа Рейнольдса (см., напр., [81]). Поэтому кажется естественным ожидать, что мелкомасштабное динамо работает практически в каждом астрофизическом теле. , Мелкомасштабное динамо может работать и в однородной турбулентности, ио на него все же распространяется действие одной из антидинамо теорем, а именно, теоремы Зельдовича [7), запрещающей устойчивую генерацию ь1и нитного поля двумерным потоком проводящей жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
