П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 35
Текст из файла (страница 35)
7.13 показывает результаты непосредственного вычисления фрактального спектра Г'(а) по алгоритму, описанному в параграфе 4.5.3. График подтверждает выводы, сформулированные при обсуждении мультифрактальных моделей, а именно тот факт, что, являясь, по сути, моделью с бесконечным числом параметров, такая модель описывает любой спектр. Вид функции 1(а) всегда одинаков. Интерес в ней представляют лишь несколько точек„например вершина, абсцисса которой соответствует среднему наклону спектра. Сравнение результатов, получаемых прн решении иерархических уравнений, с результатами прямого численного моделирования двумерной турбулентности показывает„что модель не воспроизводит характерных для двумерной турбулентности когерентных вихрей н связанного с ними крутого участка спектра.
Причиной тому служит отсутствие в модели взаимодействий между вихрями-соседями (нет горизонтальных связей в иерархическом дереве рис. 7.7). Модель теряет, таким образом, черты турбулентности, связанные с процессами самоорганизации в физическом пространстве. В то же время она наглядно иллюстрирует тот факт, что неоднородность каскадного процесса (перемежаемость) возникает и благодаря самим нелинейным взаимодействиям обмена энергии в иерархической структуре. 207 7тк Вяйвляты 7,3. ВейвлЕты В самых разных областях науки возникают задачи, связанные с анализом пространственных полей со сложной, многомасштабной структурой либо временных сигналов с меняющимся со временем спектральным составом.
Эти задачи заставляли исследователей делать попьпки построения специальных функциональных разложений, близких по своей идеологии описанному вьппе иерархическому базису. Центральной идеей всех этих подходов было использование базиса, каждая функция которого характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так н место ее локализации в физическом пространстве (во времени). Слово «вейвлет» (английское слово «ткаче!еЬ> означает маленькую волну ияи рябь) было введено А. Гроссманном и Ж. Мерле в 1984 году в работе [53], выполненной в связи с проблемой анализа сейсмических сигналов, в нзторых требуется выделить и время (положение) всплеска в сигнале, и его спектральный состав (масштаб).
В этой статье были сформулированы основные определения и доказаны основополагающие теоремы. Работа вызвала огромный интерес, и уже к началу 90-х годов вейвлет-анализ превратился в развитую область математической физики, нашедшей широкое применение в задачах анализа временных сигналов, распознавания образов и синтеза изображений, шифровки и дешифровки информации и многих других.
Как уже отмечалось, вейвлеты используются как при анализе временных сигналов, так и при исследовании структуры пространственных полей. Временные ряды представляют собой одномерный сигнал, и все основные идеи проще продемонстрировать на задачах анализа временных последовательностей. По этой причине мы забудем на некоторое время о пространственных полях и переключимся на сигналы вида Я). Первая попытка построить функциональный базис, состоящий из функпнй, каждая из которых характеризует пульсации определенной продолжительности в определенный момент времени, принадлежит А. Хаару (1909 г.). Первые семь функций Хаара, построенные на единичном отрезке, показаны на рис. 7.14.
Рвс. 7.14. Каждая функция представляет собой пару сле- 208 ГЛАВА 7 дуюших друг за другом прямоугольных импульсов с разными знакаьщ, одинаковой длительностью. Среднее значение любой функции равно нулю а совокупность функций образует полный ортонормированный базис.
Каждая функция строго локализована в физическом пространстве (во времени), но характеризуется медленно спадающим спектром частот (как 1/и). Следующим шагом стали функции Лнтлвуда — Пелли (1937 г.). Именно это семейспю функций получается при построении одномерного иерархического базиса. Функции строятся путем вырезания полосы частот в про странстве Фурье. Это дает строгую локализацию в пространстве частот, но медленное затухание функции в физическом пространстве (во времени); функпии описывают осцилляции, амплитуда которых падает как 1/1.
Рис. 7.15. Важным этапом в развитии идеи локального анализа спектральных (частотных) свойств стало преобразование Габора (1946 г.), называемое также фурье-преобразованием в окнах. Функции Габера представляют собой гармонический сигнал, модулированный функцией Гаусса. Они хорошо локализованы н во времени, и в частотах, но каждая функция Габора характеризуется тремя параметрами: положением центра окна то, шириной окна т и частотой осцилляций и (рис. 7.15). При этом функции различного масштаба не являются подобными (имеют различное число осцнлляций).
Вейвлеты объединили в себе два важных свойства — подобие н выраженную локализованность в физическом и фурье-пространсшах. Сформулируем требования, которым должно удовлетворять семейство функций, чтобы быть вейвлетамн. Допустимость. Функция ч7(1), которую будем называть анализируюи1им ввйвл етом (употребляют также термин материнский ввйвлет), должна 209 7.3. Вейвлеты иметь нулевое среднее значение: (7.44) Это условие может быль сформулировано и более строго. Говорят, что тЬ(Ь) есть вейвлет порядка М, если для всех т < М выполняется условие ь~чу($)Ф = О, (7.45) требующее равенства нулю М первых моментов вейвлста.
Подобие. Все функции семейства получаются из анализирующего вейввста путем масштабного преобразования и сдвига, фа,ь(Ь) = ф ((З вЂ” Ь)/а) . (7,46) Таким образом, вейвлеты образуют двухпараметрическое семейство функций, в котором параметр а отвечает за масштаб (растяжение) функпии, а параметр Ь вЂ” за ее положение (сдвиг). Обратвмость. Вейвлет-преобразование должно быть обратимо, то есть должно существовать обратное преобразование, однозначно восстанавливающее исходную функцию по ее вейвлет-представлению. Регулярносп. Функция у)(Ь) должна быть хорошо лоюлизована и в физическом пространстве, и в пространстве Фурье.
Согласно последнему требованию и функции Хаара, н функции Литл- вуда-Пелли не попадают под определение вейвлетов. По сути, овн являют собой два предельных случая (в одном случае резкие границы в физическом пространстве приводят к бесконечным, в принципе, хвостам в пространстве часп>т, и, наоборот, обрыв в пространстве частот дает длинные хвосты в физическом пространстве в другом). В отличие от преобразования'Фурье, вейвлет-преобразование допускает широкий выбор анализирующей функции. Согласно первому требованию вейвлет всегда является знакопеременной функцией, включакяцей обычно небольшое количество осцилляций. Выбор конкретного вида вейвлета зависит от целей проводимого анализа.
Приведем несколько примеров широко используемых вейвлетов. Простым вещественным вейвлетом, широко используемым в задачах, требующих хорошего пространственного разрешения и не требовательных к спек- 210 Рис. 7.17 Ряс. 7.16 тральному разрешению, является вейвлет, получивший название «мексиканская шляпа» (рис.
7.16), Ф(1) = (1 — $ )е ' У . (7.47) В задачах, требующих лучшего спектрального разрешения, часто используется вейвлет Морде — комплексная функция вида ф(1) — е ~ /за'"'ы (7.48) На рис. 7.17 сплошной линией показана его вещественная часть, а пунктирной — мнимая. Сама функция (7.48) совпадает с видом функций, используемых в преобразовании Габора, но семейство вейвлетов отличается от функций Габора тем, что, один раз выбрав частоту юо для анализирующего вейвлета и задав тем самым число осцилляций, мы в дальнейшем сжимаем или растягиваем функцию как целое, не нарушая подобия отдельных функций семейства.
Вопрос о выборе конкретного вида анализирующего вейвлета отложим до заключительной главы книги, где приведены базовые сведения по вейвлет-анализу временных сигналов и пространственных полей, а также даны примеры его применения для задач, связанных с исследованием нелинейных гидродинамическвх систем. ГЛАВА 8 Каскадные модели турбулентности 8.1. Каскадные модели В главе 2 мы видели, насколько полезными оказались маломодовые динамические системы для понимания путей перехода от детерминированных двюкений к хаосу. В этой главе мы познакомимся с простейшими моделями развитой турбулентности, по сути, также представляющими собой динамические системы, но относительно высокой размерности (несколько десятков обыкновенных дифференциальных уравнений). Отметим, что при построении простых динамическах моделей течений (тнпа модели Лоренца для конвекцни в подогреваемом снизу слое жидкости) все моды описывают структуры близкого масштаба.
Основным признаком развитой турбулентности является наличие широкого диапазона возбужденных масштабов и соответствующего ему большого числа степеней свободы. Спрашивается, можно ли построить маломодовую модель развитой турбулентности, которая не ограничивается рассмотрением крупномасппабного потока (как полуэмпирическне модели), а описывает каскадные процессы переноса энергии по спектру от интегрального масштаба до дисснпатнвного. Идея моделей этого типа, получивших название «каскадных моделей» (в последнее время стаю употребляться и пришедшее с запада название «оболочечные моделю> — перевод английского термина «зле11 шобе1«»), состоит в рассмотрении цепочки переменных, каждая кз которых описывает пульсации полн скорости определенного масштаба Для реализации этой цели ось волновых чисел разбивается на прогрессивно расширяющиеся зоны (8.1) й < Рс! < й«+1, 1с„= ~"йс (этот шаг повторяет идеологию построения иерархических моделей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
