П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Темные пятна указывают на области с высокой зави"ренностью, характеризуемые большой плотностью изолиний. Эти области имеют близкие размеры н получили название «когерентных структур», хотя это название нельзя признать удачным. Правильнее говорить об изолиро- 168 ГЯАВА 5 Рис. 5.12.
Рис. 5,1!. ванных вихрях, которые, как будет видно из дальнейшего изложения, слабо взаимодействуют с окружакнцнм нх турбулентным потоком. Именно этн изолированные вихри и являются причиной возникновения столь крутых спектров. В цитируемой работе был проведен интересный эксперимент. Изолированные вихри разрушались искусственно таким образом, что прн этом не изменялось распределение энергии по спектру (это делается путем внесения случайньгх сдвигов фаз в фурье-компоненты), В результате спектральное распределение энергии возврашалось к виду (5.14). Мы уже говорили о том, "по уравнение для завнхренности (5.10) совпадает по виду с уравнением для переноса пассивной скалярной примеси.
В качестве пассивной примеси может выступать, например, температура, уравнение для которой имеет внд (5.23) где 11 — температуропроводность жидкости. В инерционном интервале переноса энстрофии, где спектральная плотность энергии следует закону (5.14), спектр энстрофии, согласно соотношению (5.8), подчиняется закону (5.24) Соображения размерности очевидным образом приводят к такой же форме зависимости и для спектральной плотности пульсаций температуры. 5.3. Числвнныв ИССЛЕДОВАНИЯ 169 Однако аналогия между уравнениями (5.10) и (5.23) не работает.
На Рис. 5.12 показано поле концентраций пассивной примеси (температуры), полученной в том же численном эксперименте, что и поле завихренности,показанное на предыдущем рисувхе. Существенное отличие состоит в том, что в поле пассивной примеси нет столь выраженных изолированных структур. След от каждого изолированного вихря можно ясно увидеть и в поле пассивной примеси, и это кажется естественным, но при этом не наблюдается (Ф-, интенсивный рост концентрации к цен- ) тру вихря, как это имеет место в слу- в) чае завихренности. На рис.
5.! 3 показа- 'Р. иы спектры пульсаций завнхрениости и концентрации пассивной примеси, соответствующие показанным полям. Можно видеть, что спектр пассивной при- «) меси соответствует закону (5.24), в то время как спектр завихренности (энстрофии) после сравнительно короткого ) )о м м участка, близкого к наклону « вЂ” 1», дает крутой спад с законом, близким к « — 3» Рис. 5.13. (это закон « — 5» для спектра энергии). Различие в спектральном поведении завихренности и пассивной примеси обусловлено тем, что прн всем сходстве уравнений (5.10) и (5.23) между ними существует принципиальное отличие.
Состоит оно в том, что в уравнении (5.23) функция тока (поле скорости) действительно ие зависит от поля температуры (примесь пассивна), а в уравнении (5.10) функция тока и завихренность однозначно связаны уравнением (5.11). Спектр энергии, полученный в эксперименте С (см. рис. 5.8), показывает общую структуру спектра двумерной турбулентности при наличии широкого интервала масппабов и возбуждении на промежуточных масштабах. Влево от масштаба возбуждения формируется инерционный интервал переноса энергии и спектр близок закону «-5/3».
Справа от масштаба возбуждения присутствует достаточно широкая область (йг < й < клз), в которой нет выраженного степенного закона, Эта область масппабов соответствует тем самым изолированным вихрям (когерептным структурам), о которых шла речь выше. Далее (1сскз < к < йр) виден инерционный интервал переноса энстрофии, наклон спектра в котором в этом численном эксперименте близок к « — 4». 176 Глава 5 5.4.
Перемежлемость в двумерной турбулентности Мы видели, что в двумерной турбулентности, как и в трехмерной, получаемые спектральные распределения отличаются от законов, предска зываемых из соображений размерности. Локальная структура оказывается значительно сложней, чем предполагает гипотеза о статистической однородности турбулентности. В этом параграфе мы попытаемся дать количественные характеристики перемежаемосги в двумерной турбулентности на основе модели Ше-Левела — Дюбрюль и сравнить полученные характеристики с теми, что были получены для трехмерной турбулентности. Мы будем использовать результаты тех же численных экспериментов (А, В, С), о которых уже шла речь выше. Приложение модели, описанной в параграфе 4.6.2, к двумерной турбулентности требует ряда дополнительных комментариев. Прежде всего, нужно остановиться на вопросе о том, чго понимать под величиной яь Этот вопрос распадается, в свою очередь, на два: какую из двух квадратичных величин (энергин и энстрофин) рассматривать и что конкретно н как измерять в численном экспериментеу Мы уже обсуждали выше вопрос о том, что вместо скорости дисснпацни энергии, которая традиционно присутствует во всех моделях турбулентности, следует рассматривать спектральный поток, который реально определяет динамику инерционного интервала.
В двумерном случае речь может идти о потоке энергии либо о потоке энстрофии. Численные опыты показывают, что использовать можно и ту, и другую величину, причем независимо от того, рассматривается ли интервал переноса энергии или энстрофни. Статистически более устойчивые результаты получаются прн вычислении потоков энстрофии. Итак, определим в качестве характеристики спектрального потока на масштабе ( величину (5.25) равную потоку заввхренностн через границу области (квадрата) со сторо- ной (. Далее, следуя модели ШЛД (см. п. 4.6.2), введем величину (5,26) ( ч) % ч (гй ) Требуется доказать справедливость гипотез н предположений, лежашнх в основе модели. Модель ШЛД включает в себя идею расширенной 5.4.
ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ В ДВУМЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 171 Рис 5.15. Рнс. 5.14. автомодельности (Е88). Для начала необходимо убедиться в том, что она работает в двумерной турбулентности. На рис. 5.14а показаны структурные функции поля скорости четных порядков (ц = 2, 3, 4, б, 8, 10, 12.) и третьего порядка, вычисленные в эксперименте В и представленные в двойных логарифмических координатах как функции масштаба. На рис. 5.14б эти же структурные функции представлены с использованием идеи расширенной автомодельности, то есть по оси абсцисс отложена структурная функция третьего порядка. Можно видеть, что линии на графике выпрямляются, но особенно наглядно эффект виден на рис. 5.15, где показаны степенные показатели ся, вычисленные, соответственно, по данным рисунка 5.14а и 5,14б.
Если в первом случае (рис. 5.15а) на графике вовсе отсутствуют горизонтальные участки (а именно они и должны подтверждать наличие инерционного интервала), то во втором случае (рис. 5.156) выраженные горизонтальные участки появляются, по крайней мере, для д ( 8. Следует обратить внимание на то, как быстро растет уровень ошибок с ростом порядка структурных функций. Таким образом, применение Е88 действи- 172 ГЛАВА 5 в" Ряс. 5.16 Ряс. 5.17 тельно помогает выделить инерционный интервал и определить значения степенных показателей.
Следующим положением, требующим проверки, является существоВаннс ПрЕдЕЛЬНОй ВЕЛИЧИНЫ Г?1сс (5.18) И ВОЗМОжисетЬ ЕЕ ПОЛуЧЕНИя С ПО- мощью поддающихся измерению моментов относительно небольшого порядка Наличие предела последовательности (5.19) подтверждает рис. 5.16, причем можно видеть, что последовательность сходится уже при !? = 10. УбЕдИВШИСЬ В СущЕСтаеааннн ПрЕдЕЛЬНОй ВЕЛИЧИВЫ !)1сс, МОжнО Прнетупить к непосредственной проверке третьей гипотезы модели ШЛД (4.90), касающейся наличия степенного закона у величины я1.
На рис.5.17 показана последовательность графиков величин (г?1) /(!?1 (!?) ) для все возрастающих значений !?, полученных также для данных эксперимента В. По оси абсцисс отложены значения структурной функции поля скорости третьего порядка. Использованы логарифмические координаты. Можно видеп., что последовательность сходится и в интервале каскадного переноса энергии (Йл < ?с < аг) предельная функция подчиняется степенному закову. Наклон прямой дает значение показателя степени в заюне (4.90) ?5 = 0.47.
Аналогичные измерения, проведенные в эксперименте А для инерционного интервала переноса энстрофни, дали значение Ь = 0.13. Близкие значения были получены и в эксперименте С, где одновременно наблюдались оба интервала (Ь = 0.4 для интервала переноса энергии и Ь = 0.1 для интервала переноса энстрофии).
Заметим, что малые значения Ь соответствуют низкому уровню перемежаемости (в трехмерном случае Ь = 0.67), и, следовательно, полученные результаты свидетельствуют о том, что именно в инерционном интервале переноса энстрофии 5.4. ПЕРЕМЕЖЛЕМОСГЬ В ДВУМЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ !73 перемежаемость почти отсутствует (не- смотря на то, что отклонение от ожила-,е емого закона « — 3» очень значительно). Вторая гипотеза модели ШЛД (4.89) может быть проверена двумя способами. Можно строить моменты различного порядка (я19) как функцни момента первого порядка, проверяя тем самым справедливость соотношения (4.92), вытекающего нз (4.90).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
