П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 26
Текст из файла (страница 26)
д.1. Законы сохранения и инерционные интервалы 5.1.1. Трехмерные течения (5.3) (5ь4) тр х (17 х А) = T («А) — ЬА, ТГ(А х В) = В (ч х А) — А(ьу х В), и получим чЬч <Л' = — ч (~7 х (17 х ч)) ьЛ' = 1 т7(ч х (~Р х «)) НЪ' — (57 х «) (~7 х ч) ьЛ' = = ~(«х готч) г(Я вЂ” / (гоьч) о1' = — ( (готч) ьЛь. Снова вернемся к уравнениям Навье -Стокса и остановимся на вопросе об интегралах движения, то есть величинах, сохраняемых уравнениями при невязкой эволюции. Уравнение движения запишем в переменных Лагранжа 4« = — р 'чр+ РГА«, (5.1) умножнм иа скорость и проинтегрируем по объему Ъ', включающему всю движущуюся жидкость: Газ ь,)'"— ьр =-ь '7' «ьюь ~ ь ьк / 2 Первый интеграл в правой части уравнения (5.2) равен нулю: тур« ~Лг = Ху (рч) г(1г — рЯч г((Г = ~7 (рч) <Лг = р«НБ = О.
и ч 1ь н э При вычислении интеграла использовано уравнение непрерывности и тео- рема Гаусса. Поверхность выбирается такой, что она охватывает весь объем, занятый движущейся жидкостью, и скорость в любой точке этой поверх- ности равна нулю. Последнее слагаемое в (5.2) преобразуем, используя две формулы векторного анализа, !58 ГЛАВА 5 Вводя обозначение ь> = гост (5.5) (напомним, что ь> называется завихренностью), приходим к уравнению д>м эволюции общей энергии движения жидкости — )«>~г>В' = — 2вП (5.6) где величина а — 1 /!ь>~гдК 2 г> (5.7) и равная интегралу от квадрата завихренности по всему объему, называется энсмрофией. Свободная эволюция трехмерной турбулентности сопровождается, как мы выяснили выше, переносом энергии к малым маслпабам.
В терминах спектральной плотности энергии Е(й) Я это соответствует переносу энергии к большим волновым числам. Для энстрофии также можно ввести спектральную плотность П()с), причем, в силу (5.5), она связана со спектральной плотностью энергии простым соотношением ~гЕ(> ) из которого следует, что перенос энергии к большим волновым числам (малым масштабам) влечет за собой рост энсгрофин. Рост энстрофии, в свою очередь, согласно (5.б), приводит к росту скорости диссипации энергии (е вв г»Е). Этн рассуждения приводят к следу>ошей качественной картине для эволюции сюрости диссипации энергии в трехмерной турбулентности (рис. 5.1): на ранних этапах происходит увеличение скорости диссипацин с последующим ее убыванием. Изменение в носит при этом крайне нерегулярный характер, изобилуя кратювременными всплесками и провалами.
Качественно процессы передачи энергии к малым масппабам с одновременным ростом завихренностн описываются так называемым «механизмом растяжения вихревых трубою>. Этот механизм состоит в следующем. Вихрь, попадая в зону деформации вихря большего масштаба, растягивается и раскручивается в силу действия закона сохранения момента импульса. При этом деформируются вихри, ориентированные перпендикулярно к 5.1. 3Аконы сохРАнения и инеРцнонные интеРВАлы 159 большому вихрю, то есть механюм имеет принципиально трехмерную прн- роИ. 5.1.2. Двумерные течения Запишем уравнение для взвихренности, для чего на уравнение (5.1) необходимо подействовать оператором гос: дгьР + 1(чЧ~и = — (сзт1~ч + РЬЮ, (5.9) н рассмотрим вопрос об интегралах движения при двумерном движении жнакости. Двумерность движения подразумевает, что вектор скорости имеет толью две отличные от нуля юмпоненты ч = (ое, сю 0), а завихреиность— толью одну ю = (0,0, ы), становясь, таким образом, псевдосюлярной величиной.
Уравнение (5.9) принимает в этом случае очень простой вид дгы+ (чч)ы = и1!Нс, (5.10) совпадая с уравнением переноса скалярной примеси. На сходстве и различии уравнения для завихренности и уравнениа для пассивной примеси мы остановимся более подробно ниже, а сейчас запишем (5.10) в переменных Лыранжа 4ю = РЬю. (5.11) Из (5.11) очевидным образом следует, что при и — ~ 0 жидкая частица перенесат завихренность без изменений и любая функция 7'(ю) становится интегралом движения.
Таким образом„двумерный поток в невязюм пределе обладает бесконечным набором интегралов движения. Среди этих интегралов особое место занимает энстрофия (5.7), которая, как и энергия, остается сохраняюпзейся величиной и при юнечномерном представлении полей скорости и завихренности (прн обрыве рядов Фурье, если говорить о спектральном представлении полей). Запишем уравнение эволюции энстрофии при двумерном течении г,„г г„„ 2 = и / ~7 (иТРм) о)г — и / ( ч"м) <Л ' = — и / ('Гш) НУ. 160 ГЛАВА 5 Таким образом, Й,й = — в / (~й/) еЛ' = — е,„, (5.12) Е(й) = СезЛЙ-е/з (5.13) с тем сушесгвенным отличием, что энергия передается от меньших мас- штабов к большим — имеет место обратный (красный) каскад энергии.
где е„есть скорость диссипации энстрофии. Отличия в свободной эволюция а двумерной турбулентности от эволю. ции трехмерной следуют из совместно го анализа уравнений (5.6) и (5.12). Прв нулевой вязкости энстрофия есть величина постоянная, а при конечной вязкости энстрофия, как видно из (5.12), может только убывать со временем Это означает, что и скорость днссипа- О ции энергии в двумерном потоке может лишь монотонно убывать со временем Рвс. 5.2.
(рис. 5.2). Физически в двумерном потоке блокирован механизм растяжения вихревых трубок, который обеспечивает рост энстрофии в трехмерном течении. Появление второй сохраняющейся величины меняет и характер каскадных процессов в турбулентности. В двумерном турбулентном потоке имеются две квадратичные величины, переносимые от одних масштабов к другим, н процессы переноса определяются теперь двумя величинами— скоростью днссипацни энергии е и скоростью диссипации энстрофии е . Боли энерпи н энстрофия вносятся в поток на неких промежуточных масштабах (ег, далеких от диссипатнвного масштаба, то они обе должны вовлекаться в каскадный процесс. Однако связь спектральных плотностей энергии и энстрофии (5.8) запрещает одновременный перенос обеих величин к мелким масштабам.
При свободной эволюции потока средние спектральные потоки энергии н знстрофии должны быть направлены к противоположным концам спектра, причем к малым масштабам направлен поток энстрофии, а к большим — поток энергии. В развитой двумерной турбулентности можно ожидать появления двух инерционных интервалов. В больших масштабах (малых волновых числах Й ( Йг) каскадный процесс определяется скоростью диссипацни энергии е, и анализ размерности естественно приводит нас к формуле Колмого- рова 161 5.2. ЛАБОРАтОРные экспеРименты для малых масштабов (я ) /бг) определяющей величиной является „оросгь диссипации энстрофии. Ее размерность [б ] = с з, и единственно возможная комбинация дает спектральное распределение Е(/б) С бг/з/с — з (5.14) описывающее инерционный интервал переноса энстрофни.
Каскад энстро- М цф фин — это прямом каскад, то есть знстрофия переносится от больших маса штабов к меньшим. / .1 Качественную структуру спектра двумерной турбулентности иллюстрирует рис. 5.3. На рисунке показаны оба инерционных интервала с законами (5.13) и (5.14) и направления пере-' Р й /ь /я /г носа по спектру энергии и энсгрофии. Ряс. 5.3. Граница инерционного интервала переноса энстрофии определяется величиной вязкости н потоком энстрофии от больших масштабов.
Требуемую размерность дает выражение / ( ( з)г/б (5.15) Левая граница инерционного интервала переноса энергии не может быть постоянной, так как диссипшпщ энергии в этих масштабах не происходит. Следовательно, масштаб, на который приходится максимум энергии в спектре, йл =,/(е, 1), н соображения размерности дают оценку йе (бт ) (5.16) которая характеризует процесс накопления энергии в больших масштабах и соответствующий дрейф максимума в спектре в сторону малых волновых Чисел.
э.2. Лабораторные зкенерименты Совершенно особенное поведение двумерной турбулентности делает Интересным детальное изучение ее свойств н заставляет задуматься над вопросом о реализуемости турбулентности с такими свойствами. Надеяться на существование чисто двумерного турбулентного потока прн больших Гл«ВА 5 1б2 числах Рейнольдса, по-видимому, не приходится. Однако можно рассчитывпъ на существование «квазидвумерных потоков», обладающих некоторы ми чертами двумерной турбулентности.
Простейший фактор, приводвций к «двумеризацин» турбулентного потока — это геометрия полости, в которой существует турбулентное течение, Точнее говоря, речь идет о тонких слоях жидкости, в которых один размер области зна ппельно меньше двух других. Начиная с первых же работ по двумерной турбулентности обсухслалась возможность обнаружения свойств двумерной турбулентности в крупномасштабных течениях океана и атмосферы.
Действительно, толщина плотной атмосферы всего лишь 10 км, в то время квк характерный масштаб крупномасштабных вихрей (циклонов и антициклонов) составляет тысячи километров. Геометрия — только один из возможных способов подавления движений вдоль одной из координат. К другим возможностям относятся устойчивая стратификация жидкости, сильное вращение, магнитные поля. Первая попьпка реализовать двумерную турбулентность в лабораторных условиях была основана на идее подавления одной компоненты поля скорости магнитным полем [12).
Опыты проводились' с турбулентным течением ртути за решепай при включении сильного поперечного магнитного поля. Удалось показать, что турбулентные пульсации вдоль поля действительно менее интенсивны, чем в двух других направлениях, но измеренные спектры с трудом поддавались даже качественной интерпретации. Следующий эксперимент по двумерной турбулентности был проведен И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
