П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Такую структуру турбулентности иллюстрирует рис. 4.6а, на котором схематически изображен каскад энергии от вихрей большего масштаба к вихрям меньшего маслпаба и для простоты представлена ситуация, когда каждый вихрь данного масштаба имеет под собой два вихря меньшего. При этом вихри каждого масштаба занимают все пространство (на рисунке оно одномерно). Иная картина соответствует турбулентности с перемежаемостью (рис.
4.66). В рамках аналогичной схемы в этом случае часть вихрей не получает энергию от вихрей верхнего уровня. На следующем уровне энергия оставшихся (активных) вихрей вновь передается только части вихрей и так далее. В результате в пространстве образуется многомасштабная система активных и пассивных областей, которая по построению представляет собой фрактальное множество (см. главу 2). Идея использования фракталов для описания структуры поля диссипации энергии впервые была высказана в работе Новикова и Стъюарта в 1964 г. [17).
Простейшая динамическая модель инерционного интервала, приводящая к фракталам, была предложена в работе (51]. Эта модель, названная авторами,9-моделью, описана в следующем параграфе. Фракгалы принесли в теорию турбуленпюсти еще одну важную идею — идею о неоднозначности масштабных показателей, иначе говоря, идею о сосуществовании в развитых турбулентных полях подмножеств с различными законами масштабного подобия (скейлинга). Напомним, что уравнения Навье-Стокса подчиняются шести принципам инвариантности, то есть допускают шесть видов преобразований, при которых любое решение уравнений у(г, Г) остается решением этих уравнений: ГЛАВА 4 1) пространственный сдвиг, 2) сдвиг по времени, 3) преобразование Галилея, 4) четиость, 5) вращение, 6) масппабная инвариантность (скейлинг).
Последнее свойство означает, что уравнения Навье — Стокса инвариант- ны к преобразованию г,г,ч ~-~ 1'+~1,(г,( вч. Действительно, такое преобразование приводит к появлению в уравнении движения спедующвх множителей: 1~'" где+1 з'" '[(ч'Р)ч+ р ~т/Р1 = нГ ~ ~Ьч. При конечной вязкости инварнавтность (подобие) обеспечивается единственно возможным решением а = 1, эквивалентным требованию постоянства числа Рейнольдса (во сколько раз увеличивается масштаб, во столько же раз должна быть уменьшена сиэрость).
Однако прн и — О масштабное подобие обеспечивается любым а. К41 дает решение а = 1/3, монофрактальная модель типа д-модели приводит к другому, но также единственному решению. Бифрактальная модель (параграф 4.5.2) предполагает сосуществование в потоке двух подмножеств с различными законами подобия (различными а), а мультифрактальная модель (параграф 4.5.3) рассматривает непрерывную последовательность таких подмножеств, приводя к поюпию мультифрактального спектра. 4.5.1.
Р-модель Обратимся к турбулентности в кубической области и рассмотрим последовательность масштабов 1„= (В2 ". На каждом масштабе и походная область разбивается на кубики с ребром 1„, общее число которых есть Ф = ((о/1„)з = 2з". Следуя схеме рис. 4.66, будем считать, что при переходе к каждому следующему масштабу активной остается только заданная часть кубиков д, причем эта часть есть величина постоянная, являющаяся параметром модели.
Двумерная картинка, соответствующая такому построению с д = 3/4, представлена на рис. 4.7. 4.5. Фшкгллы и тт втлвитность 14! На масштабе и число активных ви„рен есть М = МД„ где 5 фа (1 /( )О-3 2а(Р— 3) (4.56) а Р есть фрактальная размерность акпшной области. Величина И = 3 — Р, равная разности размерности пространства и размерности фрактального множества, называется коразмерностью и просто связана с параметром )5: о' =!и 2/1п Д. (4.57) Рис. 4.7 Рассмотрим теперь каскад энергии в такой модели. Характерное значение пульсации скорости на масштабе („ обозначим как бо„. Тогда характерное время (время оборота вихря соответствующего масштаба) есть |„1„/бо„.
При сплошном заполнении пространства (случай однородной турбулентности) плотность энергии пульсаций масштаба и бог (4.58) а скорость переноса энергии через данный масштаб есть е„Е„у(п бо„/(и. (4.59) Тогда из гипотезы постоянства потока энергии в любом масштабе, относящемся к инерционному интервалу, (4.60) еп е сопяс, немедленно получается колмогоровское выражение Бо„- ((„й) ~. (4.61) В Д-модели энергия данного масштаба сосредоточена только в активной части потока и средняя плотность энергии на этом масштабе равна Е„бе„'(5„, (4.62) ГЛАВА 4 142 Гипотеза (4.60) остается в силе — поток энергии по-прежнему постоянен, но по мере продвижения к малым масштабам он сосредотачивается все в меньшей части пространства.
Следовательно, еп Е»/3» - /У" бои(п ' = е~ (4.63) а вместо (4.61) получается следующая оценка для пульсаций скорости: (1 — )1/3 р-и/3 -1/31()2-2)/3 (4.64) 5 (1 ) = (бег) // бич еч/314/3+13-21)(3-9)/3 (4 65) (3-.О) (3- )) 3 3 (4.66) В отличие от логнормальной модели, которая дает квадратичную поправку к колмогоровскому закону д/3 для масштабных показателей, /3-модель дала линейную поправку, которая удовлетворяет условию сз = 1, но нарушает требование сс = О. 4.5.2. Бифракгальнаи модель В основе /2-модели лежит представление о турбулентном поле скоростей как об однородном фрактале, характеризуемом единственным параметром.
Даваемый этой моделью результат представляется разумным для больших 1), где линейная зависимость с(й) хорошо согласуется с известными экспериментальными данными, однако вступает в явные противоречия и с экспериментальными данными, и с теоретическими соображениями при д -+ О. Проблема возникает из-за того, что модель, разделяя пространство на активные и пассивные области, оперирует только полярными состояниями (белой и черной краской, опуская все оттенки серого). Зтот недостаток особенно явно проявляется в моментах низших порядков, так как в реальной турбулентности абсолютно пассивных областей нет, а именно они уводят кривую с(д) из начала координат.
Очевидно, что фрактальная размерность 1) не может быть меньше двух, так как в этом случае интенсивность пульсаций скорости будет нарастать с уменьшением масштабов. Получим теперь оценку для структурных функций произвольного порядка Имеем 143 4ти ФРАКТАЛЫ И ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Среди попыток усовершенствования )7-модели можно выделить две. Первая — это так называемая случайная )5-модель [32). Если в стандартной л модели области делятся на активные и пассивные, т.е. вероятность то„>, что турбулентность в данной точке существует, равна либо нулю, либо динице, то в случайной р-модаки вводятся два дополнительных параметра рз и рз, определяющие вероятность существования турбулентности при очередном дроблении на более активную и менее активную части.
Остановимся более подробно на второй модификации )у-модели, получившей название бифрактальной модели. Идея этой модели состоит в том, что предполагается сосуществование двух фрактальных подмножеств с различными законами скейлинга вида (4.64) и соответствующими размерностями Рг и Рз. Для пульсаций скорости на масштабе и получаем оценку бсч дг(„'Р + рз1„'Ръ где дч — некоторые числовые множители, а вероятности появления элементов подмножеств определяются точно так же, как в предыдущем параграфе, и равны Р; = Дв = (1„/(о)з ~~'. В результате для пульсаций скорости имеем Би„дг(( /1о) '~~ ~'+дз(~ /Ро) '~~ ~', а для структурных функций произвольного порядка Б Ы = (бсГ ) д1Т Р1 + дз(ч Рз Д (( /~о)ч,+з — и, + Дг(1 /(о)ч '~з гэ' (4.67) Нас интересует вид масштабных множителей в степенных законах яч(() 1ы.
Поскольку (1„/(р) есть величина малая, то определяющий вклад в выражении (4.67) дает слагаемое с наименьшим показателем степени. Из этого следует, что сч —— ппп (да1 + 3 — )7ы 9аз + 3 — Рз) . (4.68) В качестве примера рассмотрим случай, когда одно из двух подмножеств представляет собой однородное колмогоровское поле (т71 = 3, аз = = 1/3), а второе — фрактальное (2 < Оз < 3, аз = (/7з — 2)/3). Условие (4.68) приводит к (4.69) 9/3+ (3 — Вз)(3 — д)/3.
при 9 > 3. Галах 4 144 Полученный результат иллюстрирует рис. 4.8, на котором показаны решенин, соответствующие К41, 13-модели и их комбинации (4.69), к которой приводит бифрактальиая модель. 4.5.3. Мультифраитальиаи модель Естественным обобщением опи- 4 5 б ч сапкой выше бифрактальной модели является мультифрактальная модель, Рве. 4.8.
которая основана иа предположении, что в турбулентности существует непрерывная последовательность подмножеств, каждое из которых характеризуется своим показателем а. Значения алежатвинтервалеа м < а <а к. Структурные функции получают вклад от всех подмножеств и определяются интегралами Яч — — (боч) (1/(о)' Р(а)йа, в которых распределение вероятности записывается в виде Р(а) ®(о) У( 1. Тогда а (1 ~1 )ча-Па) а ь (4.70) Поскольку 1/1о « 1, то наибольший вклад в интеграл дает составляющая с минимальным показателем степени.
Следовательно, сч = пйп(да —,г(а)). (4.71) Условие минимума дает 9 = У'(а) (4.72) В такой модели а есть локальная характеристика скейлинговых свойств, а функция 1(а), называемая мультифрактальиым спектром, описывает глобальную природу распределения областей с различным скейлиигом. Очевидно, что мультифракгальная модель имеет, по сути, бесконечное число 4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
