П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 29
Текст из файла (страница 29)
При выполнении гипотезы на графиках должны выделяться инерционные интервалы, а углы наклона дадут оценку параметра )7'. Такой график, построенный для эксперимента С, показан на рнс. 5.18, где хорошо различимы оба инерционных интервала. Рнс. 5.18 1 л е и Ч л Х и У аа 'аз <НРР>7<7ГРР.1 > Ряс.
5.19. Возможна и прямая проверка формулы (4.90). Этот способ иллюстрирует рис. 5.19, на котором сведены вместе результаты вычислений для зкспериментов А и В. В точном соответствии с формулой (4.90) строятся отношения последовательных моментов друг от друга. Каждая группа точек соответствует определенному значению величины 9. При невыполнении связи (4.90) эти группы точек дали бы непараллельные отрезки (либо вообще не отрезки), а при выполнении равенства с отличающимися константами Ач отрезки были бы параллельны, но не лежали бы на одной прямой. Таким образом, рисунок свидетельствует о выполнении гипотезы (4.90), причем с 174 ГЛАВА 5 («) (»+з)~( «) ) — б (5.27) Последовательность показателей б» ограничена„с одной стороны, членом б), характеризую(с) щим поведение среднего значения потока»)1 (»)1), и членом б„, отвечающим за поведение г)1, с другой стороны.
Ряд б» образует неубывающую последовательность и может иметь одну из следующих четырех форм (рис. 5.20): случай а) соответствует модели К41 (б« = 0); случай б) характеризует ситуацию, когда даже момент первого порядка зависит от масштаба, но степень неоднородности не растет с ростом порядка (б« = = С); случай в) воспроизводит картину, заложенную в модель Ше-Левека (среднее значение не зависит от масштаба усреднения„но существует предел для больших моментов, бо = О, б, = 2/3); и последний случай г) описывает ситуацию, когда среднее значение зависит от масппаба, но показатель растет с ростом 9. нпотеза (4.90) эквивалентна утверждению Рас.
5.20 Легко видеть, что г 2) = (б — бо)/сз, (5.28) то есть параметр Ь в модели ШЛД характеризует разность б, — бо. Ряд б« можно представить тогда в виде (5.29) б = б +»32зл(9) где /фу) есть монотонно убывающая Функгп»я акая = О.
Простейшая подходящая функция есть экспонента Й(9) = е '», при- одинаковыми константами А«. Последнее обстоятельство свидетельствует в пользу логпуассоновского закона распределения случайных величин. Вычисленные значения параметра )5 дави близкие, но отличающиеся значения ()5 = 0.7 в интервале переноса энергии и )7 = 0.55 в интервале переноса энстрофви). Вернемся к вопросу о физическом смысле гипотез, лежащих в основе модели.
В соотношение (4.89) (и/или (4.79)) входят относительные моменты, каждый из которых также можно записать в степенной форме вида 5.4. ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ В ДВУМЕРНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 175 чем а = 6'(0)7'(СБЬ). Непосредственная подстановка (5.29) в (4.79) показывает, что втораа гипотеза Ше-Левека равносильна предположению об экспоненциальной форме функции 6(9) и 15 = е '. Возвращаясь к результатам численного моделирования двумерной турбулентности, нужно отметить, что ее поведение различно в интервалах переноса энергии и энстрофии, но нигде не соответствует модели Ше — Левека (т.е. рис. 5.20в).
В интервале переноса энстрофии уровень перемежаемости лизок (Ь близка к нулю), но первый момент потока и (среднее значение) зависит от масштаба усреднения. Такая ситуация отвечает случаю, показанному иа рис. 5.20б, и вызвана наличием сильных изолированных вихрей. Именно с вихрями связано сильное отличие в спектре инерционного интервала энстрофни (а не с перемежаемостью, как таковой). Более сложно поведение в интервале обратного каскада энергии. Уровень Е перемежаемости в нем близок тому, что получается в трехмерных течениях, но, 7,:: -.
в отличие от последних, 6с ф О. Это 'о.,"" '. означает, что нарушается основная гипотеза Колмогорова относительно постоянства потока энергии по спектру! Естественно, речь не идет о нарушении закона сохранения энергии, и нужно еще 7г раз обратить внимание на определение величин Р11 (5.25) (и величины е1 в слу- Рис. 5.21. чае трехмерной турбулентности).
Эта величина характеризует интенсивность процессов переноса энергии независимо от их направления. Это означает, что полученный нами результат свидетельствует о наличии потоков энергии, обратных основному направлению переноса, и общая интенсивность потоков изменяется с изменением масштаба. Качественно такой сценарий переноса энергии по спектру иллюстрирует рис. 5.21. Последний важный вопрос касается связи гипотезы подобия в форме (4,88), использованной в модели ШЛД с гипотезой подобия К62 (4.48). Из (4.88) следует, что (6оч) (6я1ч/ ) (6„з)ч7з (6я,)ч7з ' а это равносильно утверждению (5.30) сч = д (сз + 6с) !8 + тч7з. 176 ГЛАВА 5 Очевидно, что (5.30) совпадает с модифицированной гипотезой подобна Колмогорова (К62) только в случае, когда сз = 1 и бо = О.
Оба условна выполюпотся в трехмерной турбулентности, но нарушаются в двумерной где, таким образом, применима только гипотеза подобия в виде (4.88). 5.5. О каскадах в спиральной турбулентности Вернемся еще раз к законам сохранения в трехмерной гидродинамике, Двадцать лет спустя после работ Колмогорова было обнаружено, *по трехмерные уравнения Навье-Стокса имеют второй интеграл движения (651 В невязком пределе сохраняющейся величиной является слиралъность, определяемая как Н = — 1 чщоК 1 г 2/ (5.31) Эволюция спнральности в свободном вязком потоке описывается уравне- нием <ЦН = — и ю . гоСщдК (5.32) В отличие ст энергии н энстрофии, спиральность не является положительно-определенной величиной.
Она является псевдоскаляром (меняет знак при переходе от правовинтовой системы координат к левовинтовой) и отлична от нуля в случае, если в течении существуют спиральные вихри н количество спиралей с правой закруткой больше (меньще), чем с левой. О роли спиральности в процессах генерации мапппных полей течениями проводящей жидкости говорилось выше (см. раздел 3.8), теперь же нас интересует вопрос о влиянии второго интеграла движения на каскадные процессы в турбулентности. Впервые роль спиральности в гидродинамике несжимаемой жидкости обсуждалась в работе Моффата в 1969 г. (641, но до настоящего времени вопрос о влиянии спиральности на эволюцшо турбулентности остается открьпым.
Частично это обусловлено тем, что спираль- ность становится существенной только в некоторых специальных течениях, как правило, анизотропных. Кроме того, ситуацию сильно затрудняет и тот факт, что до сегодняшнего дня нет ни одной экспериментальной работы, в которой удалось бы непосредственно измерить спиральносп, и построить ее спектральную плотность НЯ.
Проблема выяснения роли спиральности в каскадных процессах связана с тем, что оиа не является положительно-определенной величиной, 5.5. О кАскАДАх в спиРАльнОЙ тУРБУлентнОсти л простые аргументы, приводялше к выводу о существовании двух инерционных интервалов в двумерной турбулентности, в этом случае не работмот. Действительно, если в двумерном случае спектральные плотности двух сохраняемых величин (энстрофии и энергии) связаны соотношением ()(/с) /сзЕ(к), то для спектральной плотности спиральности можно указать только ограничение сверху )Н(/с)! < /БЕ(л), что оставляет возможность для двух сценариев поведения спаральности в турбулентном потоке (35).
Во-первых, можно предположить, что, по аналогии с двумерной турбулентностью, реализуется каскад сохраняемых величии к противоположным концам спектра, причем прямой каскад спиральности к мелким масштабам должен сопровождаться в этом случае обратным каскадом энергии. Во-вторых, нельзя исключить и возможность одновременного лрлмого каскада обеих величин к малым масштабам. В первом случае используется гипотеза о том, по спектр может зависеть только от волнового числа и спектрального потока спиральности ан (этот поток определяется спиральностью, вносимой в поток на мнкромасштабе, он должен оставаться постоянным во всем инерционном интервале и быть равным скорости диссипации спиральности). Соображения размерности приводят к спектральному закону вида Е(ц) 2/зй т/3 (5.33) Этот сценарий приводит к выводу о том, что спиральная турбулентность должна вести себя качественно иным образом, чем неспнральная, и дает почву для обьяснения возникновения мощных спиральных вихрей в атмосфере (смерчей, тайфунов, тропических циклонов) иа основе обратного слирального каскада энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
