П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При этом вычисляется коэффициент, умножение на который всех соответствующих У„ обеспечивает необходимое изменение кинетической энергии. Еще одним важным физическим процессом, требующим учета прн обьединении моделей для крупномасштабных н мелкомасштабных процессов, является образование альфвеновских волн, описывающее взаимодействие крупномасштабного мапппного ноля с мелкомаслпабными МГД-возмущениями. Зто означает, что, помимо локальных взаимодействий в каскадных уравнениях (9.8)-(9.9), необходимо учесть нелинейные взаимодействия с крупномасштабным магнитным полем вида У" = ... + 2 В„'(Вр+Вт), (,В„= ... + — ' 'У„*(ВР+ Вт).
Соответственно, уравнения для крупномасштабного магнитного поля при- мут вид г(гВр = МьаВт — гйь ~~' У В' — )ЗВр, 4Вт = — ЫгьаВр — г(гь ~ ~У„*В„' — ВВт. » (9.18) (9.19) В уравнения (9. 18), (9. 19) введены два вида диссипации крупномасштабного магнитного поля. Один из них, пропорциональный 1)„представляет собой обычную турбулентную диффузию, которая в нашем приближении находится из системы, описывающей мелкомасппабные переменные, а другой, содержащий суммирование по мешюмасштабным переменным, непосредственно описывает превращение крупномаслпабного магнитного поля в альфвеновские волны. Уравнения (9.18)-(9.19) интегрировались численно совместно с системой уравнений (9.8)-(9.9) для 26 переменных У„, В„(0 < и < 25).
Описываемый такой системой диапазон волновых чисел (кш,/)г м - 10 ) позволяет рассмотреть К = Вш = 10го. Граничные условия в области малых волновых чисел имеют вид У„= В„= 0 для всех и < 0 и и ) 25. Первое условие (для отрицательных и) соответствует наличию в системе наибольшего допустимого масштаба, второе (для больших волновых чисел) является формальным, поскольку реально диссипация становится существенной за несколько октав до границы рассматриваемого диапазона масштабов и 243 9.3. Динбмичлскля модлль многомлсштлвного динлмо ю а 03 6.01 ОЛН и В 63 ООЯ 40 46 $0 $6 60 66 26 10 В 63 ООЯ 1$ 1620 2630 3$40 4 Рве. 9.! О.
энергия не доходит до последних ярусов системы. Для волнового числа Йь принято значение йь = 1/8 (это примерно соответствует соотношению крупных и мелких масштабов в галакп2ческом диске) — на приводимых ниже спектрах энергии крупномасштабному полю соответствует крайняя левая точка на оси волновых чисел (рис. 9.11). Подкачка в систему кинетической энергии проводилась путем задания силы в уравнении (9.8) в виде )'„= Бс„(1+ 6), которая действует только в нулевом ярусе, то есть подпитываются только пульсации скорости наиболь- 244 Глхвч 9 ья и-* я.
и-' ш и' ~и ы' 30-' и-' и' Рас. 9.!!. шего масштаба. Кш =!Ое, а К = 10'", т.е. магнитное число Пранлтля бьшо принято равным 10 4. Его величина мало влияет на поведение крупномасштабного магнитного поля, а конкретное значение было выбрано с целью показать, что поведение спектра пульсаций скорости в мелких масштабах, где пульсаций магнитного поля при таком соотношении кинематической и магнитной вязкости уже нет, существенно отличается от основной части спектра. Кроме того, принятое значение Кш примерно соответствует реальному значению этого параметра для галактического диска.
На рис. 9.10 приведены результаты решения системы для различных значений параметра С,„, который определяет интенсивность работы динамо; в случае скс-динамо такую же роль играет динамо-число. Показана эволюция во времени значений кинетической энергии всей системы (толстые линии), энергии пульсаций магнитного поля (точки) и энергии крупномасштабного магнитного поля (сумма энергий полоидальной и тороидальной компонент) — тонкие линии. При С = 1 (рис. 9,10а) крупномасштабное магнитное поле затухает (по оси энергий выбран логарифмический масштаб).
Это значение С,„ близко к критическому — при С .= 3 (рис. 9.!Об) крупномасштабное маг- 9тх динлмичвскля модяль многомясштлвного динамо 245 нитное поле уже выживает. Оно испытывает существенные колебания по амшппуде, но остается настолько слабым, что не оказывает заметного воздействия на поведение мелкомасштабной турбулентности. Прн С вЂ” 10 энергия макрополя достигает значений, сравнимых с кинетической энергией пульсаций скорости, н начинает существенно влиять не только иа вариации общей энергии пульсаций, но н на ее спектральное распределение.
На рис. 9.10в показан случай С = 100. При столь высоком С колебания магнитного поля. становятся очень интенсивными, хотя и нерегулярными. Наличие нелинейных режимов динамо с хаотическим временным поведением неоднократно отмечалось в различных моделях динамо среднего поля, по-видимому, впервые оно было замечено в динамо Рикнтаки. Такие режимы представляют интерес для объяснения хаотической последовательности инверсий геомагннтного поля.
Описываемые результаты подтверждают, что хаотические режимы не являются артефактом описания динамо в рамках теории среднего полл, а совместимы с включением мелкомасштабных переменных. Отметим„что в последнем случае энергия пульсаций магнитного поля оказывается существенно вьппе энергии пульсаций поля скорости, хотя энергия крулномасиалаблого магнитного поля остается несколько ниже кинетической энергии. Это наблюдение подсказывает еще одно возможное разрешение проблемы о соотношении энергий крупномасштабного и мелко- масштабного магнитных полей, генерируемых процессом динамо.
Возможность того, что вынуждающая гидродинамическая сила, поддерживающая случайные движения в рамках нелинейного динамо, может, в принципе, привести к образованию очень сильного мелкомасштабного магнитного поля, представляет интерес, например, для проблемы солнечных нейтрино.
На рнс. 9.11 приведены спектры пульсапнй скорости и магнитного поля для двух случаев: Се = 3 и С,„= 100. В первом случае (крупномасштабное поле слабо) имеет место равнораспределение энергии по всем масштабам. При этом наклон спектра превышает калмогоровское значение (и значение Крейчнана-Ирошниюва, тем более) и близок к спектру вида Е()с) к з (6.31). Спектр магнитного поля обрывается раньше, чем спектр турбулентности, в соответствии с выбранной величиной числа Прандтля. Видно, что в мелюмасштабной части, где имеет место гидродннамнческая турбулентность, наклон спектра уменьшается н становится колмогоровскнм.
Во втором случае спектральное распределение в М(Д-интервале носит существенно менее упорядоченный характер, при этом соответствующие значения для пульсаций магнитного поля систематическим образом превьппают значения кинетической энергии в соответствующем масштабе. 246 Глава 9 С общей точки зрения, предложенная модель динамо, включающая в себя описание как крупномасштабных, так и мелкомасштабных полей, подтверждает возможность использования каскадных моделей в теории динамо средних полей для описания поведения мелкомасштабных переменных, Описание крупномасштабных переменных можно усложнить так, чтобы, с одной стороны, вюпочить в него более реалистическое аш-динамо„а с другой стороны, использовать более реалистическое, хотя по-прежнему не катастрофически большое число крупномасштабных переменных в рамках спектрального (как в нашем случае) или сеточного (см.
следующий параграф) подхода. Построенная модель самым непосредственным образом отвечает стандартному описанию того, как происходит рост крупномасштабного магнитного поля в теории динамо. В частности, в предложенной модели разрыв между масштабами /сь и йе может быть, в принципе, сколь угодно большим и он не заполнен никакими вспомогательными переменными.
Это значит, что в теории динамо среднего поля не обязательно пользоваться представлением об обратном каскаде, в котором магнитное поле масштаба йь получается нз поля непосредегвеино предшествующего масштаба. Следует отметить, что в модели существенную роль играют прямые взаимодействия крупномасштабного поля с мелкомасштабнъгми пульсациями магнитного поля и скорости (аналог альфвеновсвого механизма). При его отключении порог генерации значительно увеличивается (до С = 100), а по его достижении поведение крупномасштабного поля характеризуется большой неустойчивостью (резкие всплески с последующим падением на 5-6 порядков). 9.4.
Каскадно-сеточный метод В рассмотренной выше модели оз-динамо каскадные уравнения были использованы для описания влияния мелкомасштабной турбулентности на выделенные крупномасштабные моды магнитного поля. Представляется чрезвычайно заманчивым использовать каскадные модели для описания мелкомасштабной турбулентности и при детальном рассмотрении крупномасштабных течений и полей, то есть применить эти модели для замыкания уравнений средних полей. Другими словами, возникает соблазн описать с помощью каскадных уравнений масштабы, не разрешаемые численной процедурой, используемой для решения уравнений движения (если используется метод сеток, то речь идет о подсеточных масштабах). Именно такой подход и лежит в основе кискадко-сеточного метода.
9.4. КАскАДнО-сетОчный метОД 24Т В наиболее полной версии метод сводится к следующему. Пусть, для примера, рассматривается турбулентное течение в кубической области с ребром Ь и наименыпий масштаб, возбуждаемый в потоке, равен Л вЂ” 10 ~1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
