П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Действительно, 10.2. НепРеРыВное ВейВлет-пРВОБРАЭОВАнне 255 Напомним, что в фурье-аналнзе спектральной плотностью энергии является величина Е(ь() = 1/(ь()(з (называемая также спектром энергии) н введем величину М(а) = )ю(а, Ь))~ВЬ, (10.25) которая характеризует интенсивность всех пульсаций заданного масштаба. Если в определении вейвлет-преобразования положить к = -1/2, то фор- мулу (10.24) можно переписать в виде Е=/Е( (й = /М( ( —.
о а (10.26) В этом случае М(а) описывает распределение энергии пульсаций по масштабам и называется интегральным вейвлет-спектром. Из сказанного следует, что нормировка к = -1/2 должна использоваться, если результаты вейвлет-анализа предполагается сопоставлять с фурье-представлением сигнала. Действительно, если фурье-спектр следует степенному закону Е(ы) а(е, то при этой нормировке интегральный вейвлет-спектр будет иметь тот же степенной закон М(а) а и" (это следует из формулы (10.26) с учетом того, что ы 1/а, а(йл †/аз), Вейвлет-преобразование отображает пространство функций одной переменной (время) в пространство функций двух переменных (время и частота,или время и масштаб) и является избьпочным. Избыточность непрерывного вейвлет-преобразования выражается в коррелированности вейвлет-коэффициентов, которая тем больше, чем больше рассматриваемый масштаб а.
Иначе говоря, чем больше масштаб, тем меньше независимых точек в вейвлет-разложении. Этот недостаток устраняется в дискретном вейвлет-представленин (пример тому — рассмотренный выше иерархический базис, в котором число функций геометрически уменьшается с ростом пространственного масштаба). Преимушество вейвлет-преобразования перед преобразованием Фурье состоит в том, что оно позволяет проследить за изменением спектральных свойств сигнала со временем, указать, какие частоты (масштабы) доминируют в сигнале в каждый конкретный момент времени. На рис.
10.1 показаны два примера вейвлет-разложения простых временных сигналов с помощью вейвлета Морле ((((1) = ехр(2к11 — тз/2). В верхней части рисунка показан модуль вейвлет-разложения на плоскости (а, Ь), в средней части — фаза, 256 Глхвх 1О 108. ! 153. 1ЗВ. 123 1Ов. 93. 78. а, 38 зз.
1В з. 153 Г !зв ! !23. ( 93 78 63 38 зз 1В з 153 1ЗВ згз !08 93 78 оз 98 18 з 2 1.5 1 0.5 о -0.5 0.5 ! а~ -0.5 ~ о !О.1 гоо 1оо О!в воо июо 0 200 400 000 800 1ООО Рис а в нижней — сам сигнал. В первом примере (слева) сигнал представляет собой суперпозицию двух гармоник, а во втором сигнале (справа) эти же две частоты появляются последовательно друг за другом.
Фурье-преобразования этих двух сигналов практически не отличаются друг от друга, так как спектр Фурье теряет всякую информацию о том, когда какая гармоника присутствовала в сигнале. Вейвлет-анализ позволяет восстановить полную эволюцию спектрального состава сигнала во времени. Общее представление о спектрально-временной структуре сигнала можно получить по распределению модуля вейвлет-преобразовання. Ширина полосы, получаемой при разложении гармонического сигнала, характеризует спектральное разрешение используемого анализирующего вейвлета. Распределение фазы вейвлет-преобразования менее информативно, особенно для сложных сигналов. В то же самое время, именно фаза дает наиболее точную информацию об особенностях (сннгулярностях) в сигнале.
Так, на рис. 10.1 можно видеть, что именно по распределению фазы можно с большой точностью идентифицировать момент смены частоты во втором примере. 257 10.2. НепРЯРНВнОе Вейвлет-НРеОБР63ОВАЗпЗБ 103. 93, 83. 73. 63. 53. 43. 33. Л. 13 3. 103. 93.
83. 73. 63. 53. 43. 33. 23. 2 0 100 200 300 400 500 600 Рлс. 10.2 На рис. 10.2 показан результат вейвлет-разложения сигнала, представляющего собой суперпозицию двух гармонических составляющих с непрерывно меняющимися частотами (снова использован вейвлет Морле). Сам сигнал показан в нижней части рисунка, модуль вейвлет-разложения— в верхней части.
Вейвлет-представление позволяет получить точнь1й вид эволюции частоты каждого из двух сигналов. На рис. 10.3 дан пример использования действительного вейвлета типа (7.47) — мексиканская шляпа 4Р(1) = (1 — 22) ехр( — 2212). В качестве сигнала использован тот же временной ряд, что и во втором примере на рнс. 10.1 (удвоение частоты гармонических колебаний).
В этом случае результатом преобразования является действительная величина, модуль которой показан на рисунке. Белые полосы на вейвлет-плоскости, неизбежно появляющиеся при работе с вещественными функциями, соответствуют смене 10.3. ДискРетнОЕ Ввйалет-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 259 10.3. Дискретное вейвлет-преобразование Наряду с непрерывным вейвлет-преобразованием можно рассмотреть разложение по конечному набору вейвлет-функций, заданных на неюторой сетке и получаемых определенным масштабным преобразованием.
Если ограничиться логарифмическим масштабированием и равномерной для заданного масштаба пространственной сеткой, то одномерную базисную функциюуожно записать в виде х — пйа для юторого доказана возможность получения полного ортогонального функционального базиса. Последнее возможно не при любом выборе значений величин а и 6. Наиболее естественным представляется принятое н в иерархических моделях разбиение спектрального пространства на октавы, что соответствует случаю а = 2. Для одномерной функции 7'(х) соответствующее разложение в ряд выглядит как У(х) = ~ ~ ~шм Фм (х — тп 2 ), (10.28) 1ьм(х) 2™Р,Р ф2м) Здесь и далее в данном парщрафе принята нормировка и = — 1/2, и для удобства записи эта нормировка включена в определение вейвлета.
Задача о выборе функции ф (х), обеспечивающей ортогоналъность разложения (10.28), т. е. соблюдение условия Ым(х — т 2 )фн(х — О.2 )г(х=бнмсп~л (10.29) далеко не тривиальна. Условиям (10.27)-(10.29) соответствуют, правда, и давно известные функции Хаара, но их недостатюм. как отмечалось вьппе, является плохая локализация в фурье-пространстве. Примером функций, Преимущество восстановления по формуле (1027) состоит в том, что она позволяет использовать на одном вз агапов преобразования сингулярную Функцию (например, б-функцию), которая сама по себе не попадает под определение вейвлета.
260 Глхвл 10 -2 -1 О г Э О 5 О О 9 15 19 25 25 ЭО 15 Рис. 10.4 широко используемых в приложениях дискретного вейвлет-анализа, являются функции Добеши (42]. Семейство функций Добеши замечательно тем, что функция порядка и определена на конечном интервале, за пределами которого оиа тождественно равна нулю, и, в то же время, фующия и раз днфференцируема (функции Добеши нулевого порядка совпадают с функциями Хаара). Плата за это — несимметричность функций. На рис. 10.4 показаны функция Добеши пятого порядка и ее фурье-образ.
Дискретное преобразование вводится для функции г" (х), заданной на равномерной сетке т,; = гггх, где Ьх — шаг сетки. Обозначая )', = у (х,) н считая гэх = 1, запишем вместо (10.28) Л= ~~э ~~ юм фм(2 — Оп 2 ), М=О т=-— (10.30) где коэффициенты юм определяются как Элмт = ~~' 1 Фм (2 — гл 2 ), а условие сохранения энергии принимает вид М=1т= — оо 10.3. ДИСКРЕТНОЕ влйиллт-ПгеОБРЛЗОВАННе 261 Функция фы (1), являющаяся дискретным аналогом функции ф (х), должна, вместо (10.29), удовлетворять условию фм(1 — т 2 )фгг(1 — п 2~) =бммб (10.31) (х) = ~ з,ф (х — 1), (10.32) где зс — коэффициенты разложения з; (х) = г (х)ф (х — 1)лх.
(10.33) ф (х) — быстро убываклцая функция, что позволяет интерпретировать коэффициенты зо как дискретную выборку функции Гс с разрешением на сетке Переход от функпии фм (х) к ее дискретной версии фм (1) требует дополнительных пояснений, связанных с тем, что выборка г; производится не с помощью Б-функций, а с помощью некоторой сглаживающей функции ф (х). Процедуру построения дискретного вейвлет-преобразования рассмотрим более подробно на примере алгоритма Малла (б Ц с переменным разрешением (пш11йезо1пйоп ткаче!е1 а(яопбпп), который последовательно вычисляет коэффициенты разложения, переходя от меньших масштабов к большим.
Пусть исходная функциа г (х) принадлежит пространству интегрируемых в квадрате функций хР(В). Обозначим подпространство функций, аппроксимирующих Ьз (В) с разрешением ам = 2м как 1'м. При этом Ъм+1 С К~. Построение начинается с разрешения ас = 1 (М = О). Отметим, что, в отличие от иерархических моделей, здесь увеличению индекса М соответствует переход к большим масштабам (более грубому разрешению). Обозначаем за 1™ соответствующую аппроксимацшо функции у. На практике функция 1о с точностью до заданной поцжшности совпадает с 1". и служит исходной для начала вычислений. Предполагаем наличие базисных функций фо (х — 1), которые только путем сдвига вдоль оси создают полный ортонормированный базис в пространстве Ъо 262 ГЛАВА 1О с шагом а = 1.
Условие ортогональности есть ф (х — 1) ф (х — 2) (1х = 611. (10.34) При переходе к более грубому разрешению ам = 2м используется про- странство ффм, описываюшееся базисом фм, функции которого получаются растяжением исходной функции фо фм (х) — 2 м!зфо (2 мх) . (10.35) з, — /,Г~ (х) фМ (х — 2мз)21х. (1036) Поскольку Ъм.фз С Ъм, то базисные функции масштаба М + 1 можно выразить через базисные функции масштаба М: фмь1 (х — 2м+11) = ф (х — 2м1) фм+' (х — 2м+'1) = ~~ Ь ф (х — 2~2), (10.37) где 2 — /2 фо (х~(2) фо (тф — Й) ((х~. (10.38) Из (10.37) следует, что коэффициенты зм+' можно определить, используя только коэффициенты вм: м+1 ~ б м 3, = ~ 1;Зфя (10.39) Дискретная выборка функции го (х) с разрешением ам = 2м есть набор коэффициентов вм 10.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
