Главная » Просмотр файлов » П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы

П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 43

Файл №1161660 П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы) 43 страницаП.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660) страница 432019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Действительно, 10.2. НепРеРыВное ВейВлет-пРВОБРАЭОВАнне 255 Напомним, что в фурье-аналнзе спектральной плотностью энергии является величина Е(ь() = 1/(ь()(з (называемая также спектром энергии) н введем величину М(а) = )ю(а, Ь))~ВЬ, (10.25) которая характеризует интенсивность всех пульсаций заданного масштаба. Если в определении вейвлет-преобразования положить к = -1/2, то фор- мулу (10.24) можно переписать в виде Е=/Е( (й = /М( ( —.

о а (10.26) В этом случае М(а) описывает распределение энергии пульсаций по масштабам и называется интегральным вейвлет-спектром. Из сказанного следует, что нормировка к = -1/2 должна использоваться, если результаты вейвлет-анализа предполагается сопоставлять с фурье-представлением сигнала. Действительно, если фурье-спектр следует степенному закону Е(ы) а(е, то при этой нормировке интегральный вейвлет-спектр будет иметь тот же степенной закон М(а) а и" (это следует из формулы (10.26) с учетом того, что ы 1/а, а(йл †/аз), Вейвлет-преобразование отображает пространство функций одной переменной (время) в пространство функций двух переменных (время и частота,или время и масштаб) и является избьпочным. Избыточность непрерывного вейвлет-преобразования выражается в коррелированности вейвлет-коэффициентов, которая тем больше, чем больше рассматриваемый масштаб а.

Иначе говоря, чем больше масштаб, тем меньше независимых точек в вейвлет-разложении. Этот недостаток устраняется в дискретном вейвлет-представленин (пример тому — рассмотренный выше иерархический базис, в котором число функций геометрически уменьшается с ростом пространственного масштаба). Преимушество вейвлет-преобразования перед преобразованием Фурье состоит в том, что оно позволяет проследить за изменением спектральных свойств сигнала со временем, указать, какие частоты (масштабы) доминируют в сигнале в каждый конкретный момент времени. На рис.

10.1 показаны два примера вейвлет-разложения простых временных сигналов с помощью вейвлета Морле ((((1) = ехр(2к11 — тз/2). В верхней части рисунка показан модуль вейвлет-разложения на плоскости (а, Ь), в средней части — фаза, 256 Глхвх 1О 108. ! 153. 1ЗВ. 123 1Ов. 93. 78. а, 38 зз.

1В з. 153 Г !зв ! !23. ( 93 78 63 38 зз 1В з 153 1ЗВ згз !08 93 78 оз 98 18 з 2 1.5 1 0.5 о -0.5 0.5 ! а~ -0.5 ~ о !О.1 гоо 1оо О!в воо июо 0 200 400 000 800 1ООО Рис а в нижней — сам сигнал. В первом примере (слева) сигнал представляет собой суперпозицию двух гармоник, а во втором сигнале (справа) эти же две частоты появляются последовательно друг за другом.

Фурье-преобразования этих двух сигналов практически не отличаются друг от друга, так как спектр Фурье теряет всякую информацию о том, когда какая гармоника присутствовала в сигнале. Вейвлет-анализ позволяет восстановить полную эволюцию спектрального состава сигнала во времени. Общее представление о спектрально-временной структуре сигнала можно получить по распределению модуля вейвлет-преобразовання. Ширина полосы, получаемой при разложении гармонического сигнала, характеризует спектральное разрешение используемого анализирующего вейвлета. Распределение фазы вейвлет-преобразования менее информативно, особенно для сложных сигналов. В то же самое время, именно фаза дает наиболее точную информацию об особенностях (сннгулярностях) в сигнале.

Так, на рис. 10.1 можно видеть, что именно по распределению фазы можно с большой точностью идентифицировать момент смены частоты во втором примере. 257 10.2. НепРЯРНВнОе Вейвлет-НРеОБР63ОВАЗпЗБ 103. 93, 83. 73. 63. 53. 43. 33. Л. 13 3. 103. 93.

83. 73. 63. 53. 43. 33. 23. 2 0 100 200 300 400 500 600 Рлс. 10.2 На рис. 10.2 показан результат вейвлет-разложения сигнала, представляющего собой суперпозицию двух гармонических составляющих с непрерывно меняющимися частотами (снова использован вейвлет Морле). Сам сигнал показан в нижней части рисунка, модуль вейвлет-разложения— в верхней части.

Вейвлет-представление позволяет получить точнь1й вид эволюции частоты каждого из двух сигналов. На рис. 10.3 дан пример использования действительного вейвлета типа (7.47) — мексиканская шляпа 4Р(1) = (1 — 22) ехр( — 2212). В качестве сигнала использован тот же временной ряд, что и во втором примере на рнс. 10.1 (удвоение частоты гармонических колебаний).

В этом случае результатом преобразования является действительная величина, модуль которой показан на рисунке. Белые полосы на вейвлет-плоскости, неизбежно появляющиеся при работе с вещественными функциями, соответствуют смене 10.3. ДискРетнОЕ Ввйалет-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 259 10.3. Дискретное вейвлет-преобразование Наряду с непрерывным вейвлет-преобразованием можно рассмотреть разложение по конечному набору вейвлет-функций, заданных на неюторой сетке и получаемых определенным масштабным преобразованием.

Если ограничиться логарифмическим масштабированием и равномерной для заданного масштаба пространственной сеткой, то одномерную базисную функциюуожно записать в виде х — пйа для юторого доказана возможность получения полного ортогонального функционального базиса. Последнее возможно не при любом выборе значений величин а и 6. Наиболее естественным представляется принятое н в иерархических моделях разбиение спектрального пространства на октавы, что соответствует случаю а = 2. Для одномерной функции 7'(х) соответствующее разложение в ряд выглядит как У(х) = ~ ~ ~шм Фм (х — тп 2 ), (10.28) 1ьм(х) 2™Р,Р ф2м) Здесь и далее в данном парщрафе принята нормировка и = — 1/2, и для удобства записи эта нормировка включена в определение вейвлета.

Задача о выборе функции ф (х), обеспечивающей ортогоналъность разложения (10.28), т. е. соблюдение условия Ым(х — т 2 )фн(х — О.2 )г(х=бнмсп~л (10.29) далеко не тривиальна. Условиям (10.27)-(10.29) соответствуют, правда, и давно известные функции Хаара, но их недостатюм. как отмечалось вьппе, является плохая локализация в фурье-пространстве. Примером функций, Преимущество восстановления по формуле (1027) состоит в том, что она позволяет использовать на одном вз агапов преобразования сингулярную Функцию (например, б-функцию), которая сама по себе не попадает под определение вейвлета.

260 Глхвл 10 -2 -1 О г Э О 5 О О 9 15 19 25 25 ЭО 15 Рис. 10.4 широко используемых в приложениях дискретного вейвлет-анализа, являются функции Добеши (42]. Семейство функций Добеши замечательно тем, что функция порядка и определена на конечном интервале, за пределами которого оиа тождественно равна нулю, и, в то же время, фующия и раз днфференцируема (функции Добеши нулевого порядка совпадают с функциями Хаара). Плата за это — несимметричность функций. На рис. 10.4 показаны функция Добеши пятого порядка и ее фурье-образ.

Дискретное преобразование вводится для функции г" (х), заданной на равномерной сетке т,; = гггх, где Ьх — шаг сетки. Обозначая )', = у (х,) н считая гэх = 1, запишем вместо (10.28) Л= ~~э ~~ юм фм(2 — Оп 2 ), М=О т=-— (10.30) где коэффициенты юм определяются как Элмт = ~~' 1 Фм (2 — гл 2 ), а условие сохранения энергии принимает вид М=1т= — оо 10.3. ДИСКРЕТНОЕ влйиллт-ПгеОБРЛЗОВАННе 261 Функция фы (1), являющаяся дискретным аналогом функции ф (х), должна, вместо (10.29), удовлетворять условию фм(1 — т 2 )фгг(1 — п 2~) =бммб (10.31) (х) = ~ з,ф (х — 1), (10.32) где зс — коэффициенты разложения з; (х) = г (х)ф (х — 1)лх.

(10.33) ф (х) — быстро убываклцая функция, что позволяет интерпретировать коэффициенты зо как дискретную выборку функции Гс с разрешением на сетке Переход от функпии фм (х) к ее дискретной версии фм (1) требует дополнительных пояснений, связанных с тем, что выборка г; производится не с помощью Б-функций, а с помощью некоторой сглаживающей функции ф (х). Процедуру построения дискретного вейвлет-преобразования рассмотрим более подробно на примере алгоритма Малла (б Ц с переменным разрешением (пш11йезо1пйоп ткаче!е1 а(яопбпп), который последовательно вычисляет коэффициенты разложения, переходя от меньших масштабов к большим.

Пусть исходная функциа г (х) принадлежит пространству интегрируемых в квадрате функций хР(В). Обозначим подпространство функций, аппроксимирующих Ьз (В) с разрешением ам = 2м как 1'м. При этом Ъм+1 С К~. Построение начинается с разрешения ас = 1 (М = О). Отметим, что, в отличие от иерархических моделей, здесь увеличению индекса М соответствует переход к большим масштабам (более грубому разрешению). Обозначаем за 1™ соответствующую аппроксимацшо функции у. На практике функция 1о с точностью до заданной поцжшности совпадает с 1". и служит исходной для начала вычислений. Предполагаем наличие базисных функций фо (х — 1), которые только путем сдвига вдоль оси создают полный ортонормированный базис в пространстве Ъо 262 ГЛАВА 1О с шагом а = 1.

Условие ортогональности есть ф (х — 1) ф (х — 2) (1х = 611. (10.34) При переходе к более грубому разрешению ам = 2м используется про- странство ффм, описываюшееся базисом фм, функции которого получаются растяжением исходной функции фо фм (х) — 2 м!зфо (2 мх) . (10.35) з, — /,Г~ (х) фМ (х — 2мз)21х. (1036) Поскольку Ъм.фз С Ъм, то базисные функции масштаба М + 1 можно выразить через базисные функции масштаба М: фмь1 (х — 2м+11) = ф (х — 2м1) фм+' (х — 2м+'1) = ~~ Ь ф (х — 2~2), (10.37) где 2 — /2 фо (х~(2) фо (тф — Й) ((х~. (10.38) Из (10.37) следует, что коэффициенты зм+' можно определить, используя только коэффициенты вм: м+1 ~ б м 3, = ~ 1;Зфя (10.39) Дискретная выборка функции го (х) с разрешением ам = 2м есть набор коэффициентов вм 10.3.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
8,39 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6551
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее