П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Такая поточечная корреляция является интегральной характеристикой, содержащей в себе все масштабы, присутствующие в рассматриваемых полях. Можно привести множество примеров, когда рассматриваемые поля включают структуры различных масштабов и одни масштабы могут определяться общими механизмами и быть строго коррелированы, в то время как другие могут быть совершенно независимы.
Введем по аналогии с одномерным случаем (10.55) корреляционную функцию 2зо Глава 1О Следует подчеркнуть, что все приведенные соотношения между вейвлет-коэффициентами, спектрами, корреляционными функциями являются точными, толью если пределы интегрирования выходят за рамки масштабов, присутствующих в исследуемых полях. С практической точки зрения, вычисление с помощью вейвлетов имеет сильное преимушество, состоящее в том, что сначала происходит разделение масштабов, и дальнейшие вычисления можно производить только для масштабов, допускающих корректные расчеты.
Корректное вычисление преобразования Фурье й(2я/а), напротив, подразумевает знание кросскорреляционной функции (10.79) во всем диапазоне масштабов (то же самое касается и вычислений автокорреляционной функции н определения через нее спектральной плотности). Для иллюстрации свойств обсуждаемых методов анализа приведем два примера нз работы (47), посвященной анализу мелкомасштабной структуры внешних галактик. Поводом для этой работы послужили попытки определения скейлинговых характеристик галактических полей с помощью структурных функций, которые дали степенные зависимости на масштабах, сравнимых с размерами самой галактики. В [47) анализируются данные наблюдения галактики НСС 6946, изображение которой в оптическом диапазоне приведено на рис, 10.14.
Размер всего изображения составляет 11' х 11' (в качестве единицы измерения используется уптовая минута, линейный размер изображения равен приблизительно 30 кнлопарсек). Разрешение телескопа позволяет анализировать масппабы а > 0.1'. На этом же рисунке с целью демонстрации возможностей вейвлет-фильтрации изображения показаны и вычисленные с помощью вейвлета РН коэффициенты разложения Иг(а, х) для трех значений масштаба а: 0.6', 1.4' и 4'.
Прежде чем обсуждать результаты анализа изображения галактики, покажем простой тестовый пример, приведенный на рис. 10.15. Рассматриваются два простых изображения, одно нз которых получается нз другого путем поворота на угол я/10 (лучи на втором рисунке находятся как раз по середине между лучами первого рисунка). Спектральные свойства этих двух изображений идентичны и показаны на рис. 10.15Ь. Верхняя кривая (с крестиками) дает значения структурной функции Яз (10.67). Кривая практически горизонтальна в большом интервале масштабов и резко спадает только на масштабах, сравнимых с размерами всего изображения. Две следующие кривые показывают вейвлет-спектры, полученные с помощью функций МН (черные точки) н РН (кружки), а нижняя кривая воспроизводит фурье-спектр этого же изображения.
Можно ясно видеть изменение спектрального разрешения. Если спектр Фурье состоит из трех отдельных частей (первая соответствует ширине отлельного луча, вторая — расстоянию межлу лучами, третья — длине лучей, то есть ширине кольца, образован- рлява 10 282 до а Рис !0.15, ного лучами), то вейвлет-спектры плавно огибают эти области (при этом разрешение РН остается существенно выше), а структурная функция теряет всю информацию о выделенных масштабах. Заметим, что кривые сдвинуты по вертикали для наглядности, а спектр Фурье приведен к масштабу а (а = 2к//с).
Рис. 10.15с показывает вейвлет-корреляцию этих двух изображений. Вычисление поточечной корреляции дает значение тр — — — 0.01, что является прямым следствием того факта, что элементы двух рисунков не перекрывают друг друга. В то же время очевидно, что рисунки «в целом» прекрасно коррелированы. так как воспроизводят одинаковый объект, повернутый на разные углы. Ситуацию проясняет вейвлет-корреляция гм(а), которая равна нулю в области малых масштабов, дает существенные отрицательные значения на масштабах порядка расстояния между лучами 1гм = -0.75) 10,5.
Спвкггяльный и ковгштяционный янллиз двтмьвных полай 283 и стремится к единице на больших масштабах. Это означает, что малые масштабы не перекрывают друг друга, средние находятся в противофазе, а на масштабах всего рисунка детальное положение лучей уже не важно, и рисунки идентичны. На рис. 10.16 показаны спектральные характеристики изображения галактики НОС 6946 (структурная функция, два вейвлет-спектра и спектр Фурье). Можно видеть, что гладкая форма графика структурной функции (верхняя кривая) действительно теряет всякую информацию о доминирующих масппабах (в данном случае это масштабы порядка 0.5-1', соответствующие ширине рукавов). Оптимальным кажется вейвлет-спектр, полученный с помощью функции РН (вторая кривая снизу), который свободен от многочисленных деталей, присущих спектру Фурье, но четко ндентнфипнрует максимум в спектре энергии.
$ ОФ 05 0 РО О ь Рнс. 10,16 Рис. 10.17 В цитируемой работе (47] анализировались изображения галактики НОС 6946, полученные в девяти различных диапазонах радио- и оптического излучения. Большой интерес представляет связь между различными видами излучений. На рис. 10.17 показана вейвлет-корреляция, вычисленная для трех пар изображений: водород-поляризованное радиоизлучение (черные точки), водород-тепловое излучение (звездочки), водород-нетепловое излучение (кружки). Можно видеть, насколько отличаются этн три зависимости.
Нижняя кривая дает существенные отрицательные значения на масштабах порядка ширины галактических рукавов, показывая, что поляризованное радиоизлучение, которое является индикатором наличия магнитных полей, сильнее вне газовых рукавов. На рисунке показаны и погрешности определения величины г . увеличение погрешности на больших масштабах происходит в силу сокращения количества независимых точек, используемых при вычислении коэффициента корреляции. 284 глава !О Рекомендуемая литература к десятой главе [1] Вгасеюе!1 К.
ТЬе Ропйег НапаГопп апг! Ка аррйсайопз. МсСгган -Нй!. 1965. 382 р. [2] РапЪесЬ(еа 1. Теп 1есшгеа оп юаче1ег, о!АМ, РЬйаое!руда, 1992. (Имеется перевод: Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная н хаотическая динамика». 2001. 464 с,) [3] СЬщ СЕ Ап ннгодпсйоп го ччаче1еГа. Асад. Ргем, 1992. (Имеется перевод: Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мнр. 2001.) [4] НойсЬпегйегМ.
%аче!егя: Ап Апа!уая Тоо!. ОхГогг! Ншчегйгу Ргем, 1995. Заключение Турбулентность, составившая предмет настоящей книги, столь сложна и подходы к ее изучению столь разнообразны, что она не оставляет шансов на систематическое и, главное, полное изложение в рамках небольшой книги. Автор ставил перед собой более скромную цель, состоящую в том, чтобы оставить у читателя цельное представление об этом разделе гицродинамики и дать представление о том широком наборе методов и моделей, которые применяются в этой области.
Удалось ли достичь эту цель — судить читателю. Любые критические замечания и советы будут восприняты автором с благодарностью. Литература [1] Ван-Дейк М. Альбом течений жидкости и газа. Мз Мир. 1986. 182 с. [2] Гледзер Е.Б. Система динамического типа, допускающая два квадратнчньгх интеграла движения Д Доклады Академии Наук СССР, 1973. Т. 209. Н. 5. с.
1046-1048, [3] Глсдзер Е. Б., Должанский Ф В., Обухов А. М. Системы гидродинамического типа и их применение. Мз Наука, 1981. 368 с. [4] Гледзср Е.Б., Макаров А.Л. О построении каскадной модели двуг мерной турбулентности д Известия АН СССР: Физика атмосферы и океана. 1979. Т. 9. Н. 7. С. 899-906. [5] Голипин Г, С. Флуктуации магшггного поля и плотности тока в турбулентном потоке слабо проводящей жидкости д Докл.
АН СССР. 1960. Т. 132. М. 2. С. 315-3! 8. [6] Деснянский В. Н., Новиков Е. А. Моделирование каскадных процессов в турбулентных течениях Д Прикладная математика и механика, 1974. Т. 38. Х. 3. С. 507-513. [7] Зельдович Я. Б. Магнитное поле в проводящей турбулентности при двумерном движении Д Докл. АН СССР. 1956. Т. 31. Х. 1. С. 154 — 155.
[8] Зимин В. Д. Иерархическая модель турбулентности /! Известия АН СССР: Физика атмосферы и океана. 1981. Т. 17. Н. 12. С. 1265-1273. [9] Зимин В.Д., Кетов А.И. Надкритические конвективные движения в кубической полости 0 Изв. АН СССР: Механика жидкости и газа, 1974, Х. 5, С. 110-114. [10] Зимин В.Д., Фрик П.Г. Турбуленпьзя конвекция. М.: Наука, 1988. 178 с.
[11] Ирошников Р. С. О турбулентности проводящей жидкости в сильном магнитном поле Д Астрономический журнал, 1963. Т. 40. С, 742 — 750. ЛИТЕРАТУРА 287 [121 Колесников Ю.Б., Цинобер А.Б. Экспериментальное исследование двумерной турбулентности за решеткой // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1974. Х.
4. С. 146-150. [131 Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Доклады АН СССР. 1941. Т. 30. С. 9-13. [141 Колмогоров А.Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости Л Доклады АН СССР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
