П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Интерес к систематическим измерениям вариаций солнечного диаметра вновь появился только в наше время, и измерения были возобновлены, начиная с 1978 г. пп ~па пп пп пп паа ~ап Рис. 10.!О. 272 Глава !О Все результаты измерений собраны на рис. 10.10. Бросается в глаза существенное отличие современных данных от тех, что были выполнены четыре столетия назад. Напрашивается простое объяснение этому факту, состоящее в том, что качество измерений в то далекое время было существенно ниже, и это обусловило высокий уровень пульсаций сигнала (систематическое отличие в уровне сигнала обьясняется тем, что видимый диаметр Солнца — величина субьективная и зависит от способа его определения). Вейвлеты дают возможность изучить степень коррелированности двух сип!алов отдельно на каждом времен— — — ном масштабе.
В сложной системе, каковой является Солнце, вполне возможно представить ситуацию, когда какие-либо два сигнала скоррелированы на одРис. !О.! !. них масштабах и практически независимы на других. Определим корреляционную функцию двух сигналов в виде ) ю!(а, Ь)шз(а, Ь)!(Ь С(а)— () шз!(а, 6)!1Ь 1' юзз(а, 6)с~6) (10.55) где ю! н юз — вейвлет-образы рассматриваемых сигналов. На рис. 10.11 показана корреляционная функция (10.55), вычисленная для вариаций числа групп пятен и вариаций диаметра по перекрывающимся интервалам наблюдений.
Видно, что на временах порядка 2 лет имеется узкий положительный пик, а на временных масппабах порядка 10 лет и более сигналы становятся строго антикоррелированы (больше пятен — меньше диаметр). Наибольший интерес представляет частота основного (11-летнего) солнечного цикла. Выделяя из вейвлет-представления соответствующий временной масштаб, построим зависимости от времени значений коэффициентов ю(а,6) для фиксированного а = 11лет. Графики отфильтрованных 11-летних вариаций диаметра и числа групп пятен для интервала времени 1666-! 718 показаны на рис.
10.12. Бесспорной научной удачей можно считать тот факт, что наблюдения за изменениями солнечного диаметра начались во время минимума Маундера и продолжались во время выхода из минимума. Результаты вейвлет-фильтрации данных наблюдений, представленные на рисунке, дали совершенно неожиданный результат, состоящий в том, что 11-летние вариации солнечного диаметра имели наибольшую амплитуду как раз во время глубокого минимума солнечной активности. 273 10.4. Вейвлет-АИАлиэ ВРеменных кОлеБАний -1 »66»»»Э3 ИФ| НЮ»Ю ИЗ\ »ее»»»»»н»св»»»» Рис.
10.12. По мере выхода из минимума вариации числа пятен начинают нарастать, а вариации диаметра — спадать. Этот результат дает возможность объяснить разительное отличие современных данных от данных ХУП1 века: в сравнении с 1718 годом, когда были прекращены измерения диаметра, среднее количеспю групп пятен возросло примерно иа порядок, а в свете полученной закономерности это должно привести к существенному снижению интенсивности вариаций диаметра — что и подтверждают современные наблюдения. Полученный результат заставляет пересмотреть сложившийся взгляд на природу солнечного цикла.
11-летний цикл объясняют, исходя из точки зрения, что он является свойством динамо-процессов. Следуя этой точке зрения, нужно признать, что во время остановки динамо должен исчезнуть и этот цикл. Приведенный результат заставляет думать, что природа 11-летнего цикла не связана собственно с динамо-процессом.
Механизм его зарождения не ясен, но представляется, что он действует независимо от динамо, модулируя активность последнего. Когда динамо не работает, энергия этого процесса выливается в гидродинамическую моду, приводя к 11-летним вариациям формы поверхности звезды. 274 Главк 10 10.5. Спектральный и корреляционный анализ двумерных полей 10.5.1.
Двумерное вейвлет-преобразование Вейвлет-образ двумерной функции определим как И'(а,х) = — н г~ ~ Дх')гу*( )с(х', (10.56) где х = (х,у), а 1(х) есть двумерная функция, для которой существует преобразование Фурье 1с = (1с„н„) есть двумерный волновой вектор. Всйвлет коэффициенты свя- заны с обратным преобразованием Фурье как И'(а,х) = — ~ ~ 2(1с)гр*(а1с)ес (10.58) ,н(р) (2 рг)е — Р'!г (10.59) Опредслеиие (10.56) справедливо для изонгролных вейвлетов.
Использование анизоснралньи функций приводит к появлению дополнительного параметра, отвечающего за ориентацию вейвлета. Анизотропное вейвлет-преобразование может быть полезным в задачах, связанных с выделением ориентированных структур различного масштаба. Мы ограничимся только рассмотрением изотролных (осеснмметричных) функций ф = гр(р), р = — кг+ уг Выбор анализируюшего вейвлета зависит от целей анализа. Для локализации структур в пространстве требуются функции с хорошим пространственным разрешением Ьж, а при построении спектральных характеристик предпочтительными становятся функции с выраженной локализацией в пространстве Фурье Лгс.
Напомним, что эти величины связаны соотношением неопределенности гзхЬн > 2я. В рассматриваемых ниже примерах будут использованы два вида действительных функций. Это двумерный вариант мексиканской шляпы (МН— Лгех~сап КаС) !0.5. Спвкзтлльный и кокевляционный анализ двтмвгных появй 275 Па а(И аэ З 4 б 6 Р Рвс. 10.!3. (заметим, что в двумерном случае изменилась константа, определяющая значение функции в начале координат), и функция, введенная при постро- ении иерархической модели двумерной турбулентности [26) (см.
главу 7), которая определяется в пространстве Фурье, ф(1с) = 2 2я сов ( — 1ойз — ), 0 к ((Ц (4я, (10.60) /Ц<я, /Ц>4н. где -!-с~~ +Оо (10.62) 10.5.2. Спектры и структурные функции 1Пироко использовавшийся при обсуждении свойств турбулентных полей энергетический спектр (спектральная плотность энергии) Е(!с) вклю- Эта функция является хорошим компромиссом, обеспечивая относительно хорошее разрешение по обе стороны от преобразования Фурье, н будет обозначаться как РН (от английского Рег Наг — любимая шляпа).
Вил обеих функций в физическом пространстве показан на рис. 10.13. Преобразование (10.56) единственно и обратимо, то есть функция 1'(т, у) может быть восстановлена по имеющемуся вейвлет-образу 276 Главк 10 чает энергию всех фурье-гармоник с заданным модулем волнового век- тора ~Ц = lс и связан в рассматриваемом плоском случае с двумерным спектром Г(1с) = ~7(1с)~~, Е(й) = Г(1с)сйс. 1ц=в (10.63) Двумерный спектр связан с автокорреляциониой функцией в(1)= ) ) л.нв —.н.
(10.64) преобразованием Фурье (теорема Хинчина) (10.65) Вектор 1 определяет сдвиг изображения в свертке (10.64) и является характеристикой масштаба. Если анализируемое поле изотропно, то есть корреляционная функция зависит только от расстояния между точками С(1) = = С(1), а спектр — только от модуля залпово~о вектора Г(1с) = Г(й), то соотношение (10.65) сводится к преобразованию Ганиева Г(й) = 2н С(1) 7а(Ы)1с(1 с (10.66) Яд(1) = (ах) — У(х - 1))в)р~=н (10.67) где угловые скобки (...
) подразумевают осреднение по пространству. При этом спектральной плотности соответствует структурная функция второго порядка Яз. В вейвлет-представленни распределение энергии пульсаций по масштабам характеризуется интегральным ввйвлет-спектрам, определяемым где,7о есть функция Бесселя. Тогда Е(7с) = 2тКГ(й). Столь же часто для характеристики турбулентных полей используют структурные функции различного порядка 10.5. Спвктглльный и коггаляционный лнялиз двьмлгных полки 277 как средняя энергия всех вейвлет-коэффициентов данного масштаба а на всей плоскости +са+сю М(а) = / / (И'(а,х)! Ых. (10.68) Вейвлет-спектр (10.68) можно легко выразить с помощью (10.58) через спектр Фурье М(, ) о ~)() ))з~ф7( 1 ))2 11~ (10.69) Это соотношение показывает, что вейвлет-спектр есть сглаженная версия спектра Фурье.
В нзотропном случае связь упрощается: М(а) = Е(/с)рл(ай)~ Ыс. о (10.70) 1л (10.71) Тогда г'(и) й ~ з, а спектральная плотность энергии ~-1л+Ц (10.72) Поведение вейвлет-спектра зависит от параметра к в определении (10.56). Используя к = 2, получают для спектра М(а) тот же степенной закон, что и для структурной функции М(а) а; (10.73) при выборе к = 3/2 получают М(а) ах+з, что удобно, если вейвлет-спектр предполагается сравнивать со спектром Фурье Е(й).
Заметим, что параметр масштаба а имеет тот же смысл (и размерность), что и расстояние 1 в корреляционной функции (10.64) и структурной функции (10.67). При обсуждении свойств мелкомасштабной турбулентности постоянно рассматривались инерционные интервалы, в которых структурные функции и спектры подчиняются степенным законам. Остановимся на связи между показателями степени у различных характеристик. Пусть структурная функция второго порядка следует закону Гллвл 1О 278 Следует сделать важное замечание относительно использования вейвлетов для выделения степенных законов в спектрах.
Любой всйвлет имеет собственный спектральный образ, хвосты которого сами по себе могут следовать степенной зависимости. Следовательно, скорость затухания этих хвостов и определяет предельную скорость убывания спектра, которая может быть обнаружена данным вейвлетом. Другое важное замечание касается вычислений структурных функций, Вычисление Яг, в соответствии с формулой (10.67), можно интерпретировать как вычисление вейвлет-спектра (10.68) с помощью специфического (анизотропного) вейвлета, образованного разностью двух дельта-функций, отстоящих друг от друга на единичное расстояние ф(х,е) =- б(х) — б(х — е), (10.74) где е — единичный вектор. Зто «очень плохой>ь войвлет в том смысле, что, имея прекрасную локализацию в физическом пространстве, он неизбежно имеет очень плохое спектральное разрешение.
Это означает, что структурные функции дают очень плохое разрешение по масштабам и могут использоваться только тогда, когда есть уверенность в гладком поведении спектральной плотности. Иначе говоря, если имеется поле, спектр которого представляет собой совокупность нескольких пиков, структурные функции могут превратить эти пики в гладко спадающую зависимость. 10.5.3. Вейвлет кросскорреляцни При анализе турбулентных процессов часто встает вопрос о степени корреляции различных полей (например, магнитного поля и поля скорости, давления и температуры и т.д.).
Обсудим возможность анализа степени корреляции двумерных полей с помощью их вейвлет-представления. Пусть имеется две двумерные функции, ~з(х, й) и 7г(т, р), опрсделяемые в одной области просзранстяа. Простейшей характеристикой связачности этих двух полей служит коэффициепг корреляции, определяемый как Е(Гг — (Л ) Н7г — (7г) ) (10.75) ((Ун (Л)) Угт (Уг)) ) Назовем эту характеристику лотоыеылой корреяяиией.
Точность оценки (10.75) определяется количеством независимых точек п, использованных при вычислении, и уровнем корреляции [44) Гзг =. ~/(1 — гг)((п — 2). (1О. 76) 10.5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЪ|Й АНАЛИЗ ДВУМЕРНЫХ ПОЛЕЙ 279 О Итз(а, х) Итз (а, х)г(х т (а) = (Мг(а)МЗ(а))'г Для оценки погрешности Ьт (а) будем использовать формулу (10.76), принимая и = (Ь/а)з, где Т, есть размер рассматриваемой области.
Связь поточечного коэффициента корреляции тр и вейвлет-корреляции т получается с использованием (10.58), (10.68), (10.77) и в случае к = 2 имеет вид тр— ) т (а)(МЗ(а)МЗ(а))'г а 'г(а (1О. 78) ( /'М|(а)а 'да )' Мз(а)а ~г1а) У Приведем также связь между введенной вейвлет-корреляцией и кросскорреляционной функцией, определяемой как +рр -ьро 7|(1) = ~з(х) 5з(1 — х)дх. (10.79) Формулы (10.58), (10.65), (10.69) и (10.77) дают следующее соотношение: ОЬ(й)~ф(.й)| 6 (Ц С| (1с) Яай) ~ згйг Ц Сз(ЙЯа1с) ~згйс) 'Р которое в пределе вейвлетов с хорошим спектральным разрешением для изотропного случая может быть приведено к виду й(2ягга) т„,(а) = (С| (2тгга)СЗ(2к/а)) "гз (10.81) В формулах (10.80)-(10.81) С,(й) есть фурье-образ соответствующей авто- корреляционной функции (10.64).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
