П.Г. Фрик - Турбулентность - модели и подходы (1161660), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Дискгетное Вейвлет-НРБОБРАзовАеиБ 263 (10.41) а так как функции фм"' относятся к пространству Омам а Ом+1 С 1'м, 7/ум+1 (х 2М+11) фм (х — 2~,у), что приводит к формуле М+1 ~~, М (10.42) где дь = 2 У ~ ф (х'/2) ф (х' — Й)11х'. (10.43) Переход от гм к ам+1 соответствует очередному огрублению исходных данных путем их выборки нз последовательности вм с весовой функвией Ь. С увеличением числа точек количество операций растет только геометрически, и (10.38К10.39) может служить основой быстрого вейвлет-преобразования (БПВ, по аналогии с быстрым преобразованием Фурье — БПФ).
Очевидно, что функции фм+1 не могут быль ортогональными функцивм фм, так как образуемое имн пространство Ъм+1 содержится в пространстве )гм. Основная идея алгоритма БПВ состоит в построении вейвлет-базиса путем использования разности информации, содержащейся в различных масштабах. Соответствующее пространство обозначается как ОМ41. Омег ортогонально )гм+1 (Ом+1ЛХМ.Р1), а ОМ41 и Рм+1 составляют Ум (ОМ41 93гм+1 = Ъм).
Вейвлет фм+1 (х — 2м+11) опРеделлетсЯ как базисная функция для пространства ОМ41. При зтом остается справедливым соотношение типа (10.35): ф~(*) =2-муз с(2-м ), (10.40) предполагающее, что совокупность функций фм+1 образует ортонормапьный базис в ОМ41. Тогда совокупность всех фм (М = О, 1, 2...) образует полный ортогонапьный базис для ~го. Козффициенты вейвлет-разложення есть ГЛАВА 10 Видно, чтодля определения коэффициентов вейвлет-представления данного масштаба требуются не исходные данные, а только результаты, полученные для предыдущего масштаба. При восстановлении функции 7 процесс идет от крупных масштабов к мелким и на каждом шаге (1((-злат + да — 21Ю~ (10.44) Следует указать также связь между коэффициентами ды /(ь и дискретной формой вейвлет-функции фм((().
Так кю( М(( % М Ч Ч М вЂ” 1 91 — и ат Х' ~ 91 — 2 )(Ь вЂ” зуаь то, в конечном итоге, мч.з ~~; гм ( 2м;) о (10.45) где ф (3 — 2 1) = ~~~ Ь~(~1 21~- ~ ... ~ ~)(~( (-2~('(9~('(-ъ. м( и. 1( и-и у(о Остановимся теперь на вопросе о выборе конкретных функций ф и (д. Выше для них были сформулированы следующие требования: 1) все вейвлет-функции ортонормальны: Фм(х — т 2м)4(А((ж — т( 2 )Нт=бммб„, (10.46) (10.47) 2) сглаживающие функции (а™ (х — 2мг) ортонормальны для заданного значения М: 10.3. ДИСКРЕТНОЕ ВЕйВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 265 3) вейвлет-функции ортогональны сглаживающим функциям того же масштаба: ф (х — 2 1)ЗР (я — 2~1)Их=О.
(10.48) Приведем примеры ортогональных вейвлетов и соответствующих им дискретных фильтров Ьо дь а) Простейшей ортогональной системой является, как уже отмечалось, система функций Хаара. Для нее ВЗ(х) = 1 приО<х<05, — 1 при0.5<х<1„ 0 для прочих х, а сглаживающая функция р 1 приО<к<1, ф(х) = 0 для прочих х. Дискретные фильтры для БПВ получаются из (1 0,38) и (10.43) и, соответственно, равны Ьо=бз=до=2 '~~, дз= — до (10.49) Ь(1с) = ~ ~Ь,е Оь, д(й) = С д;е "". зl2 при — т(2 < й < я/2, 0 при прочих й, д(й) = ( Звень при т/2 < ~Й( < я, О при прочих й. (10.50) б) Другой предельный случай — одномерные иерархические функции (они же функции Литлвуда-Пелли), для которых доказывается полнота и ортогональность.
Их же называют иногда полосовыми фильтрами и, в последнее время, фурьелетами. Так как они вырезают определенную полосу в пространстве Фурье, то удобней и действия проводвзь в пространстве частот, а вместо 6 и д пользоваться их фурье-образами Ь и д. Глава 10 266 Нетрудно получить и соответствующие дискретные фильтры в физическом пространстве Ьг. = (т/2/ггпу) в1п (ггу/2), 91 = (2т/2/гг) з1п (гг Ц вЂ” 1)/4) соз (Згг (1 — 1)/4) . (10.51) Существенная нелокальность базисных функций в физическом простран- стве делает более практичной реализацию быстрого алгоритма для фу- рье-образа исходного сигнала.
в) Вейвлет ЬМВ. В фурье-пространстве ф(Й) = ег~г~гг " (Гз„(й/(2+ т)) Г~„~ (Й) Гз„' (/г/2)] Ф(й) =Г" [Г.И)) '", Ь(Й) = [2 Гзд (1г) Гзп (2й)) д((г) = е г"6(й+гг)*, (10.52) где Г„(Й) = 2 (Й+ 2тпг) ". г) В качестве последнего примера приведем некоторые фильтры для семейства вейвлетов Добеши. Показаны таблицы значений для 4 и 8 точечных фильтров, соответствующих функциям Добеши первого и третьего порядка. Четырехточечный фильтр Добеши: Ас= (4 ьг2)(1+Л) )гг = (4 г/2) (34 ьгЗ) )гз = (4 т'2)(3 — г/3) Ьз = (4 т/2) (1 — т/3), УО = )гз, рг = 82, 92 = гг1, Уз = — гго. (10.53) Восьмвточечиый фильтр Добеши: (10.54) 6 з = 0.230377813309, 6 д =- 0.714846570553, гге = 0.630880767930, йг = -0.27983769417, 6з = -0.187034811719, йз = 0 30841381836, 54 = -0.010597401785, Ьь = -0 010597401785 9 з= 9 — г = Уо =- йг = рз = Яз = 94— йв = ггь — 54, 1гз, ггз бг, — Ьо, Ь г, 'г — 2 ! 0.4.
Вейвлвт-Анялиэ ВРльшнньгх коиевяний зб7 10.4. Вейвлет-анализ временных колебаний гидродинамических систем В главе 2 мы подробно рассматривали характер колебаний, возникающих в гидродинамических системах в налкритическнх режимах, то есть при относительно небольшом превышении характеристическим параметром (например, числом Релея) критического значения. При этом по мере стохастизации течения спектры становятся сплошными, а признаком развитой турбулентности служит развитый инерционный интервал. Однако это не означает, что в развитых турбулентных течениях отсутствуют выделенные крупномасштабные пульсации. Экспериментальные исследования турбулентной конвекции в замкнутых объемах показывают, что течения на масштабах, сравнимых с размерами самой полости, характеризуются целыми сериями выделенных частот, причем периоды колебаний могут в тысячи раз превышать время оборота жидкости в полости (10).
Эти результаты подкреплюпотся и наблюдениями за природными системами. Так, Солнце, являющееся крупнейшей из доступных прямому наблюдению конвективных ячеек (именно конвекцня является основной причиной движений на Солнце, и характеризуется она гигантским значением числа Релея), демонстрирует целый набор циклов с периодами от нескольких дней до тысяч лет.
В качестве примера приложения вейвлет-анализа к исследованию временной изменчивости сложных гидродинамических систем мы рассмотрим результаты анализа солнечной активности по двум характеристикам: вариациям числа групп солнечных патен и вариациям солнечного диаметра. О том, что на Солнце есть пятна, знает каждый школьник.
О том, что число этих пятен колеблется и достигает максимума примерно каждые 11 лет, знают почти все. Менее известен факт, что число пятен связано с интенсивностью магнитного поля Солнца. Эту связь поясняет рис. 10.5. Магнитное поле Солнца имеет полоидальиую компоненту (силовые линии выходят на поверхность вблизи одного полюса и заходят вблизи другого) и более мощную азимугальную — ее силовые линии образуют замкнутые кольца внутри конвекгивной оболочки Солнца. Когда напряженность магнитного поля растет, то, вследствие неустойчивости, на этих магнитных линиях возникают гигантские петли, выходящие за пределы коллективной оболочки.
В местах выхода магнипюе поле направлено вертикально и подавляет коллективное течение, приносюцее горячую плазму из недр Солнца. В результате температура оказывается ниже, чем на остальной поверхности так по эта область видна как темное пятно. Чем сильнее магнитное поле, тем больше нетель и тем больше пятен видно на поверхности Солнца. 1ОАК Вейвлет-АЗЗАлиз ВРеменных кОлеБАний 269 одиннадцатилетний солнечный цикл, характеризующий работу солнечного динамо — магннтогидродинамического генератора поля. Можно, однако, заметить, что амплитуда циклов непрерывно изменяется, а временами в работе динамо возникают сбои. Самый заметный сбой имел место в конце ХУП вЂ” начале ХУД веков, когда в течение почти 50 лет пятен на Сощще практически не было.
Этот период называют минимумом Маундера. Другое заметное ослабление солнечной активности имело место в начале Х1Х века и называется минимумом Дальтона. Что нового могут дать вейвлеты в изучении записи числа солнечных пятен, если учесть, что сотни людей уже анализировали этот сегнвл самыми разными методами? Для ответа на этот вопрос обратимся к результатам работ 167, 481. кю и 7000 1700 Рнс. 10.7 Вейвлет-преобразование проектирует одномерный сигнал (который был функцией только времени) на плоскость время-частота и позволяет увидеть изменение во времени спектральных свойств сигнала. На рис.
10.7 показан модуль вейвлет-преобразования данных с рис. 10.6, полученного с помощью вейвлета Мерле. На вейвлет-плоскостн одиннадцатилетнему циклу соответствует темная горизонтальная полоса. При этом напомним, что идеально ровная горизонтальная полоса соответствовала бы устойчн- Глава 10 270 а 1м км Т, уеэг Рнс. 10.8. ному периодическому колебанию. Мы видим, что, кроме основного, одиннадцатилетнего колебания, в исследуемой записи присутствует еще одна— приблизительно 100-летняя периодичность.
Особенно хорошо зтн периодичности видны на интегральном вейвлет-спектре (кривая Ъ на рис. 10.8). На этом же рисунке для сравнения показан и спектр Фурье того же сигнала (кривая а), в котором одиннадцатилетний цикл выделяется на фоне сплошного частокола пиков. По поводу значимости этих пиков велись споры долгие десятнлетиа. Сравнивая два спектра на рисунке, еще раз вспомним, что вейвлет-спектр является сглаженной версией спектра Фурье н что вейвлет-спектр не дает кратных гармоник при негармоническом характере колебаний. Вейвяет-анализ позволяет проследить, как меняется длительность номинального 11-летнего цикла со временем, показывая, что 100-летний цикл а г в 9 ~ею ~6е ~та юв ев оы е» ее эю 1 Рнс. )Охк 1Оэк Вейвлег-АИАлиз ВРеменных колеБАний 27! фиксирует периодические попытки механизма генерации солнечного магнитного поля дать сбой и свернуть с обычных 11-летних колебаний в новый эпизод типа минимума Маундера.
Удается получить и неизвестную ранее количественную закономерность в формировании сбоев в работе солнечного динамо. На рис. 10.9 приведен график изменения длины солнечного цикла со временем. Этот график получен путем оцифровки максимума в темной полосе, соответствующей иа вейвлет-плоскости 11-летнему циклу. На этом рисунке вертикальными линиями отмечены известные наблюдателям периоды снижения солнечной активности. Неожиданный результат состоит в том, что все эти периоды совпщзают со спадающими участками на графике Т(!). Причем, чем выше было значение Т перед началом очередного минимума, тем глубже был сам минимум. Это обстоятельство, совместно с имеющимся на сегодня значением периода солнечного цикла позволяет сделать вывод, что, хотя очередной сбой в солнечной активности и можно ожидать уже в начале нового столетия, нового минимума Маундера случиться не должно.
На примере анализа солнечной активности покажем эффективность вейвлет-анализа в фильтрации сигналов и совместной обработке сигналов. В эпоху знаменитого минимума Маундера постоянно измерялась еще одна характеристика Солнца — солнечный диаметр. Вариации видимого солнечного диаметра непрерывно регистрировались в парижской обсерватории с 1683 по 1718 годы (отдельные серии измерений проводились различными астрономами и ранее).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
