Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Очевидно, что для того, чтобы число Кнудсена было заключено в пределах 0,01 (Кп (0,1, должны быть либо велики числа М (большие скорости), либо относительно малы числа Ке (большая вязкость), либо должны выполняться оба эти условия. Таким образом, в указанном выше диапазоне изменения числа Кп одновременно проявляется существенное влияние разреженности, вязкости и сжимаемости ' газа. Несмотря на большое и все увеличивающееся число работ, посвященных исследованию течения в этой весьма актуальной области, задача об окончательном формулировании уравнений и граничных условий еще не может считаться полностью решенной. Подробный анализ различных подходов к решению эгон. задачи приведен, например, в работе (7]. Большинство авторов 634 клоняется к необходимости рассмотрения полных уравнений Навье — Стокса с видонзмененными граничными условиями, учитыающими сколыкение газа и скачок температуры на поверхности бтекаемого тела.
Трудность решения полных уравнений Назье— Стокса и наличие развитых методов решения уравнений пограничного слоя для течения сплошной среды привели к многочисденным попыткам исследовать течения слаборазреженного газа в приближении пограничного слоя, с учетом измененных граничных условий. При оценке таких методов следует четко представлять, что теория пограничного слоя развита для больших значений чисел Ке и возможность ее использования при не очень больших числах Ке требует дополнительного обоснования в каждом конкретном случае.
Граничные условия для слаборазреженного газа. Подробный вывод граничных условий скольжения и скачка температур проведен во многих исследованиях. Мы приведем здесь, ограничиваясь плоской задачей, только простейшие качественные соображения, указав на основные предположения, используемые при подробном выводе, Напомним, что при течении вязкого газа в условиях «сплошной среды» на обтекаемом теле удовлетворяются условии «прилипанияю и (0) = О, о = 0 при у = 0 и условия для температуры, которые можно записать, например, в форме: Т(0) =Т или 1 — 1 =О. ~дауа=о При течении разреженного газа эти условия не удовлетворяются, так как вследствие того, что средний путь свободного пробега молекул соизмерим с характерным размером в поле течения, влияние стенки становится ощутимым в некоторой области поРядка средней длины свободного пробега молекул. Если рассмотреть прилегающий к стенке слой толщиной 1 и считать, что на стенке скорость и(0)=0, а на границе слоя она ! ди1 Равна и(0) + 1( — ), то приближенно можно принять, что вблизи (дУ)а стенки слой состоит из молекул, половина которых недавно отошла от стенки, а вторая половина пришла из области, расположенной от стенки на расстоянии, равном длине свободного пробега.
Тогда, если считать, что часть молекул а, отразилась диффузно, а часть 1 — а. зеркально, то (0) 2 ~и(0)+1(д ) ~+ ~ ~(1 — а,)~и(0)+У(д ) ~+а, 0~. 40 з1кяз м бВВ Следовательно, и(0) —,' 1( — „) . (8.1) Очевидно, что при 1-э 0 мы в пределе получаем условие прилипания. Более точные расчеты, проведенные в ряде работ с использованием методов кинетической теории газов, приводят к выра жению: и = и(0) = 0,998 — '~1 — ) + — !1 — — ), (8.2) 2 — а / ди! 3 Г!х дТ! а ~ ду! 4 ( рТ дх~ ' где величины с индексом 4в соответствуют их значениям на стенке. Второй член, которым часто пренебрегают, показывает, что градиент температуры вдоль поверхности приводит к возникновению движения по направлению увеличения температуры.
Как уже указывалось выше, изменяются и граничные условия для температуры, так как вследствие передачи энергии температура стенки не равна температуре пристеночного слоя Т + Т(0). Аппроксимируя разность этих значений на длине свободного пробега прямой, получим приближенное выражение граничного условия: Т +В (1дТ) (8.3) 44 = 0,998 ' — (а — число Прандтля). (8.4) 2 — аа 2а ! аа !+а а В ряде исследований указывается, что соотношение для температуры в такой форме должно быть заменено аналогичным соотношением для температур торможения [8): йт„=1В (дТ'„' ) (8.5) Следует иметь в виду, что с точностью до )а получаем при у=0: Т,=Т+ — "=Т, 2а1 и условие (8.5), при малых 1, переходит в условие (8.3).
636 Более точный расчет методами кинетической теории газов дает следующее значение для Вс а у. Обтеканпе полубесконепной плоской-пластины потоком слаборазреженного газа Задача об обтекании плоской пластины потоком газа со кольжением рассматривалась в ряде работ. Мы изложим здесь ешение этой задачи, следуя [9), [101. Основное предположение, непосредственно следующее из определения границ области течения со скольжением (2.9), состоит в том, что отношение длины свободного пробега молекул 1 к характерному размеру в области течения (в качестве такого размера выбирается толщина пограничного слоя д) мало, но им нельзя уже пренебрегать: О,О[ <ф <О,1, (+)'«1.
(9.1) Ке УБ и (9.2) Если учесть, что возникающий пограничный слой ламинарный, и принять обычное соотношение, используемое в теории пограничного слоя Ь вЂ” )/ КЕ,и, то из (9. 1) найдем: м„. м„ Ь 1. Ь йе ГК (9.3) Предполагая, что М )) 1, получим из условий (9.1) н (9.3) возможность пренебречь величиной 1/Ке, что приводит к переходу уравнений Навье — Стокса в уравнения пограничного слоя для пластины (см. гл. Х, хз 2): ди ди д ! ди1 ри — + ро — = — [(х — ), дх ду ду [ ду)' — =О др ду (9.4) — + — =О, д (ри) д ои) дх ду 40х Газ будем предполагать совершенным, число Прандтля равным единице, течение плоским и стационарным.
Определим число рейнольдса, относя его к интересующей нас передней части пластины 1., на которой осуществляется течение со скольжением: Предположим, что коэффициент вязкости изменяется в зависи. мости от температуры по степенному закону: (9.5) Произведем в уравнениях (9.4) преобразование Дородницына э=х, )=(' э ду Рсо (9.6) и перейдем к безразмерным переменным: (~ Э) иэ (, Э) пэ (9.7) и безразмерным искомым функциям: дч — Т и = —, о = — = — 1 — о+и — „) Т = — (9.8) и =и и),т дх/ т Тогда уравнения пограничного слоя примут вид: дл ~Т длв~+ 2 [(дл) э + длдэ дл для дэ~ Ь' (9 Граничные условия на пластине (8.1) и (8.8) с учетом скольже" ния и скачка температуры перепишутся следующим образом: ф =О, т=т +Ьт Ь— = дЭ = дф -«-1ж д~ф дЛ вЂ” = гЬТ дл~ ' (9.12) при Л=О.
638 Как было показано в гл. Х, решение задачи о пограничном слое плоской пластины содержит только одну независимую безразмерную переменную Л. В данном случае необходимо ввести еще одну безразмерную переменную Ь, так как в число определяющих размерных параметров задачи входит величина среднего свободного пути пробега в невозмущенном потоке 1 Введем далее безразмерную функцию тока, удовлетворяющую уравнению неразрывности, по формулам: : и = 1 — = .— ь Ь о = — — — = — ~ Л вЂ” + Ь вЂ” ] (9 9) дф д! = х дф М дф дф~ дч 'дЛ ' ч, дЭ 2 1, дЛ дЭ) Здесь положено 2 — ат г = 0,998 'т з — а за т ! 2 — ат а Здесь и в дальнейшем для простоты опущена черта над безраз-' мерными переменными.
Отметим, что так как уравнения и граничные условия в рассматриваемой задаче верны с точностью до членов порядка 8; то и в разложениях (9.13) следует ограничиться членами порядка 9. Подставляя ряды (9.13) в уравнения н граничные условия н собирая члены одинакового порядка по Ь, получим: а) для нулевого приближения 2 (То (:о) + ~ра'ро = 0 2 (То То ) + ра То+ (й — 1) М', <Р"'То ' = О, ро(0) =ро(О) =О. Та(0) =Т, ро( )=1, Та( ) 1' б) для первого приближения (9.14) 2(То 'р~)'+ (рор~)'+ 2(п — 1) (То Та(ао) =О, 2(То Т,) + (раТ~'+ 2(Й вЂ” 1)М, 1(л — 1) То р Т, + (9.15) + 2рор~То )1= О, Ра (0) = О, (а~ (0) = т ро (0) Т" р,'( ) =О, Т,( )=О.
Система уравнений нулевого приближения определяет решение известной задачи о пограничном слое на плоской пластине, имеюЩей температуру Т~ и обтекаемой потоком сжимаемого газа (см. $8 гл. Х). Решение для Т, имеет вид [формула (6.10) гл. Х): То(Л) — Т, М ро (Л)+- ~ 1 — Тш+ М )ро(Л) (916) и учтена зависимость местной длины пробега от температуры. для построения решения системы уравнений (9.10) и (9.11) при граничных условиях (9.12), учтем, что искомое решение мало отличается от автомодельного (зависящего от одной переменной а) и представим искомые функции в виде рядов по степеням Э: ) = аро(Л)Э ~+ р,(Л)+..., Т = Та().)+ Т,(Л)9+...
(9.13) Уравнение для !оо решается численно (см. 2 8 гл. Х). Решь. ние уравнений первого приближения определяет поправки, возни. кающие из-за влияния разреженности газа. Для простоты положим в граничных условиях (9.12) 6=1 Тогда решение уравнений (9.15) может быть найдено в виде: г!о!(Ц = г7!о П<Ро(Л), Т,(Л) =гТо ПТо(Л) (9.17) Учитывая формулы (9.13), (9,16), (9.17), получим: Т(Л) = Т вЂ” — М 7о(Л)+ (1+ — М~ — Т ) !о (Л)+ « — 1 а — ! з + гТ 1(1+ 2 М ! — Т!о))го (Л) — (й — 1) !ро (Л) 7!о (Л)1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
