Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 93
Текст из файла (страница 93)
о (2.4.) Величина Е~~ представляет собой освещенность площадки со стороны положительного направления внешней нормали, Еа освещенность с противоположной стороные. Таким образом, поток излучения через какую-либо площадку есть разность освещенностей этой площадки. Имея в виду известное соотношение: совЬ = сов~и, 1) = сов(и,х) сов(!,х/+сов(л,у) сов(1 у/+ + сов(и, г) сов(1, г), можно преобразовать формулу (2.1) к виду: / .,~ /г Нь, = Нх„соз (,и, х) + Н~„сов (,л, у/+ Наа сов (,л, г/, (2.5) где интегралы ! % '~ Нт, = ~ 1„(1, Р, 1)сов~/, х)ЙЯ / Н,„=~1„(~ .
1),,Ц„/,И ! г, '1 Н> = ) 1„(1, Р, 1)сов Ц г/сЯ (2.6) еВеличины Е~~, Е~ иногда нааыыютсн полусферическими потоками излучениин. представляют собой потоки лучистой энергии через площадки с нормалями, направленными по осям координат. Вектор Н„(Нх,, Н~,а, Н ) называется вектором потока лучистой энергии. Как видно из равенства (2.5), величина Н~ представляет проекцию вектора лучистого потока Н1 на нормаль и к элементарной площадке. Радиационное поле называется изотропным, если иитеисив ность излучения 1г не зависит от направления. В этом случае соотношения (2.2), (2.4) легко интегрируются, а выражения для потока лучистой энергии Нг„и освещенностей Е+, Е„принимают вид: Н =(),Е =Е = 1 (2.7) Таким образом, поток излучения Н> через произвольно ори ентированную поверхность и, следовательно, вектор лучистого потока Н~ в случае изотропного радиационного поля равны нулю, а ее освещенность в ч раз больше интенсивности.
Взаимодействие радиационного поля с газовой средой определяется величинами коэффициентов: излучения ~~, поглощения а~ и рассеяния чц Коэффициентом излучения тз называется количество энергии, излучаемой единичным элементом массы среды в единичном телесном угле в единичном интервале длин волн за единицу времени. Его величина зависит от длины волны Л, от состояния среды в данной точке пространства и, вообще говоря, от направления луча. Однако в дальнейшем мы будем принимать ч не зависящим от направления, т.
е. изотропным. Изотропность коэффициента излучения для газовых сред была установлена экспериментально. Пусть иа площадку Ыз, расположенную перпендикулярно к направлению луча 1, внутри телесного угла Н2 падает излучение с интенсивностью 1г в интервале длин волн от Л до Л + Ы в течение времени Ш. Количество энергии, падающее на площадку, равно 1г йм й й дз. Если среда способна поглощать излучение, то в предположении, что ослабление интенсивности за счет поглощения пропорционально длине пути й и плотности среды р, количество поглощенной энергии на пути Ы1 будет равно рах 1г дИЯЮйсЬ. Величина аг называется коэффициентом поглощения. Коэффициент поглощения зависит от длины волны излучения и состояния среды в данной точке пространства, но не зависит от направления излучения (в изотропной среде). Если в среде происходит рассеивание излучения, то только часть поглощенной единицей массы лучистой энергии может перейти затем в другие формы энергии, т.
е. испытать истинное поглощение. Другая часть будет снова переизлучаться, т. е. расг сеиваться. Если Тг — доля рассеянной энергии из общего количества поглощенной энергии, то чг = Тгсч представляет собой коэффициент РассеиваниЯ, а хг = (1 — 7г )а~ — коэффициент истинного поглощения. Введенные выше коэффициенты излучения, поглощения и рассеяния отнесены к единице массы, поэтому называются массовыми коэффициентами.
Иногда вместо массовых коэффициентов используются коэффициенты, рассчитанные на единицу объема или объемные коэффициенты излучения, поглощения и рассеяния: 'пл = рт)л, йл = рал, ол = рол. (2.8) Вероятность рассеяния света элементарным объемом в разные стороны неодинакова. Она зависит от угла р между направлениями падающего 1 и рассеянного 1, излучения. Обозначим вероятность того, что излучение рассеивается под углом р внутри ецл телесного угла алел через Х (Р, 1, 1, 1,) 4 л ФункцияХ,(Р,1,1,1,) называется индикатрисой рассеяния. Очевидно, что выполняется условие: п~ь~ Р,л лл)ээ,-1.
(2.9) 4к В случае изотропного рассеяния вероятность рассеяния света в разные стороны одинакова, т. е. Хл(Р, 1, 1, 1л) = 1. Это простейший пример индикатрисы рассеяния, называемой сферической индикатрисой. Все приведенные характеристики радиационного поля являются монохроматическими величинами, т. е. отнесенными к определенной длине волны. В исследованиях газовых потоков в радиационном поле важную роль играют их интегральные величины 1, Н, Е, о, определяемые следующими равенствамиа: 1 = ~ 1лг(Л, Н = ~Нлл(Л, Е = ~ Ел г(Л, т)= ~т)лл(Л. (2.10) о о о о Легко видеть, что выписанные выше для монохроматических величин соотношения имеют место и для интегральных.
Отметим, что здесь мы относили количественные характеристики к шкале длин волн. Переход к шкале частот т осуществляется с помощью следующих равенств: Ля=с, 1„дэ=1лсР„!дЛ!= — ', ду, (2.1 1) тэ где с — скорость света. Характеристики, отнесенные к шкале частот, в дальнейшем будут обозначаться индексом». ф 3. Уравнение переноса радиации Пусть пространство заполнено средой, способной излучать, поглощать и рассеивать лучистую энергию.
Выделим в пространстве луч определенного направления 1 и рассмотрим элемент * Интегрального коэффициента поглощения, вообще говоря, не существует. Можно ввести лишь некоторый осредненный по длинам волн коэффициент поглощения (см. ниже 5 6). среды в виде цилиндра, ось которого совпадает с направлением луча Пусть луч пересекает перпендикулярные к нему основания в точках Р(х, у, г) и Р'(х', у', г').
Обозначим РР' сУ, а площа. ди оснований цилиндра через Йа. Согласно определению интенсивности излучения, данному в предыдущем параграфе, через основание цилиндра с центром в точке Р в интервале длин волн Л, Л + ЙЛ войдет количество лучистой энергии, равное Я~ = у1 (Р, т, 1)(ййсйМ. (3.)) За время Ж радиационная энергия попадает в точку Р', н через основание цилиндра с центром в этой точке выйдет энергия ал=),(Р', ~+~и, )) (Л(.,ибо. (3.2) Таким образом, изменение количества лучистой энергии на участ- ке пути сУ за время Ж будет равно: ЬЯл=()' — Ял=[Ул(Р, (+(К() — 1л(Р, 8, Цх х бМЫаЮ = ~ ~~ сУ+ ~ й)с(ЛМЫайЯ.
(3.3) / дУл д!х Это изменение обусловлено следующими причинами: 1. Вследствие поглощения лучистой энергии, которое, согласно определению коэффициента истинного поглощения, может быть представлено так: — зл!л ЙМлпУп'й, происходит ослабление интенсивности излучения. Здесь пт = рдЫо — масса цилиндра. 2. Вследствие рассеяния лучистой энергии в рассматриваемом цилиндре происходит ослабление интенсивности излучения — О, 1х ДЛплмУса.
3. За счет излучения энергии рассматриваемым элементом среды в направлении 1 интенсивность излучения возрастает на величину 4. Из всей рассеянной цилиндром энергии часть пойдет по направлению 1, что приведет к увеличению интенсивности излучения благодаря процессу рассеяния, вследствие которого лучи всевозможных направлений, проходящие через рассматриваемый лементарный цилиндр, присоединяют часть своей энергии к лучу в направлении (. рассмотрим луч, проходящий через элемент среды в направеиии 4„ которое образует с направлением 4 угол Р. Часть лучистой энергии, переносимой в этом направлении, равная , ((1,)йптдЫЯ» будет рассеяна этим элементом.
Из этого коа„~ личества энергии в направлении 1 рассеется — Х, 14,-4 ) ра, 1„(Ц п)ллп(Ыйфй. 4 'Фпп44~"ы ) 6©Х,'11,1,)Да,. Суммируя все перечисленные эффекты, после простых вреобразований получим следующее уравнение: д! + с д~ Р ч+ 4ч,) ~/л 1%, ал à — (,+ч)1ь (3.4) Это уравнение называется уравнением переноса радиации. Оно является уравнением общего характера и допускает любые изменения внутри среды, которые могут влиять лишь на коэффициенты. Оно и является в общем случае одним из основных уравнений, дополняющих систему уравнений аэродинамики излучающего газа.
В практических приложениях большой интерес пРедставляют различные частные случаи этого уравнения, котоРые мы рассмотрим позднее. Отметим, что уравнение (3.4) получено в предположении неподвижности среды. В подвижной среде в этом уравнении появляются дополнительные члены, учитывающие взаимодействие излучения с движущейся средой.
Строго получить эти члены возможно только в рамках релятивистской теории [30), (31]. Однако "Ри иерелятивистских скоростях, которые мы рассматриваем, эти "лены несущественны, и уравнение (3.4) с точностью до величин Рядка У/с справедливо в движущейся среде. 649 Интегрируя это выражение по всевозможным направлениям получим увеличение интенсивности излучения в направлении 1 за счет рассеяния лучистой энергии со всех направлений (, в направлении й ф 4. Скорость притока тепла а плотност лунастоа энераа Так как в радиационном поле происходит перенос излучения то при составлении уравнения баланса энергии необходимо учиты вать скорость притока тепла лучистой энергии.
Эта величина пред„ ставляет собой разность между энергией, поглощенной и излученной единичной массой в единицу времени во всех частотах и со всех направлений, т. е. (4.1) Очевидно, что доля рассеянной энергии не должна учитываться выражением (4.1), так как тепловой баланс определяется истинным поглощением (лучистой энергией, перешедшей в тепловую) и собственным излучением среды (тепловой энергией, перешедшей в лучистую). Однако учетом скорости притока тепла лучистой энергии не исчерпываются все изменения, вносимые радиационным полем в баланс энергии. Радиация — это поток частиц, не имеющих массы покоя (поток фотонов).
Энергия одного фотона равна Л» (Ь вЂ” постоянная Планка); импульс, который он с собой переносит, равен а»/с. Таким образом, радиацию можно рассматривать как фотонный <газ». Тогда внутренняя энергия должна учитывать наличие этого «газа». Внутренняя энергия всегда учитывается с точностью до постоянной величины: е = е<+ сопз(, где е, — энергия движущихся атомов н молекул (поступательное, вращательное и колебательное движения). Если атомы начнут распадаться, то в энергию движущихся атомов включается внутриатомная, внутриядерная энергия и т. п. Рассмотрим случай, когда в е„кроме энергии газа, входит еще энергия радиации.
Построим в некоторой точке Р элементарную площадку 4(< и выберем произвольное направление 1, составляющее угол О с нормалью к 4(О. В этом направлении за время 4(г переносится количество лучистой энергии, равное (4.2) 4(Я =ИЫЫ<созй За время «(1 эта энергия займет объем Л' = 4(<со» й с«(г. (4.3) разделив (4.2) на (4.3) и интегрируя по всем направлениям, получим следующее выражение для объемной плотности лучистой энергии: е, = ~ еа„ср, = — ~ Иь...
(4 4) В изотропном радиационном ' поле, в котором интенсивность излучения не зависит от направлении (4.5) Найдем в общем случае связь между вычисленными величинами скорости притока тепла лучистой энергии д„, плотности лучистой энергии ел и вектором лучистого потока Н. Для этого вернемся к уравнению переноса лучистой энергии (3.4), представив его в виде д(~ Л д1~ д д!~ д 1 д!~ — соз((,х)+ — соз ((,и)+ — соз ((л)+ —— дх ' ' дз ' дг ' с д1 р'а+ 4,) 1~((~)у1((,(~)сИ~+(х~+~~) 1~.
(4.6) 4к Интегрируя это уравнение по всем частотам и направлениям с учетом соотношений (2.5), (2.6), (2.9) и (4.4), получим: дел 61чН+ — = — ру . д~ л' (4.7) В изотропном радиационном поле Н =- О, а следовательно, в стационарном изотропном радиационном поле, согласно полученному соотношению, скорость притока тепла лучистой энергии равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
