Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 97
Текст из файла (страница 97)
В уравнениях (8.11) скорость притока тепла лучистой энергии определяется по параметрам газа с индексом О, а следовательно, для ее вычисления можно воспользоваться решением уравнения переноса (7.6), полученным в предыдущем параграфе в предположении постоянства параметров в рассматриваемой области. В дальнейшем будем предполагать, что излучение газа не влияет на его движение перед скачком уплотнения и что набегающий поток не излучает лучистой энергии. Это будет справедливо в тех случаях, когда газ в невозмущенном состоянии про- зрачен для того диапазона длин волн, в котором излучается основное количество энергии при температуре за скачком уплотнения, а температура его невелика.
Будем считать также поверхность клина абсолютно черной с заданной постоянной температурой, близкой к нулю, что позволяет пренебречь излучением и отражением поверхности клина. При указанных предположениях интенсивность лучей, идущих извне внутрь области, заключенной между поверхностью клина и скачком уплотнения, равна нулю (7х (1) = О)) и, в силу того, что 3((1, решение (7.6) обращается в нуль. При этом выражение для скорости притока тепла о[я, согласно пятому уравнению исходной системы (8.1), принимает вид: о)а = — 4а ) а1 В1 ор = — 4аао Во, о Вх о ао = ~ аор1о(Х, р, = —, Во = — Т,. о и ' о а о (8.21) Следовательно, д„ь 4оо"Вой Ки Кй (8.22) Перейдем теперь к решению первых двух уравнений системы (8.11), которые могут быть рассмотрены независимо от остальных уравнений системы.
Подставляя (8.22) в систему (8.11), приведем первые два уравнения этой системы путем их дифференцирования и последующего вычитания одного из другого к волновым уравнениям доро ! дор — ' — — — '=О, дх' ро дуо д о о д о —— О,(Р =М вЂ” 1), (8.23) решения которых запишем в виде: ро = Фо (х + ру) + Ф, (х — ру), о = Ф,(х+ ну)+ Ф (х — р.у). (8.24) р, = Ф, (х + р.у) + Ф, (х — р,у), (8.25) о, = — [Ф,(х — ру) — Ф, (х + ру)[ — —, + С. Д Роно 2оо 668 Функции Ф и Фо легко выразить через Ф, и Ф, подстановкой(8.24) в (8.11).
В результате вместо (8.24) будем иметь: Удовлетворяя условию (8.20), получим: р, = Ф, (х + ру) + Ф, (х — р.у) + С, о, = — [Ф, (х — (оу) — Ф, (х + (оу)[ — —. и Р,ио 2!о ' (8.26) где где — 1-Р!а Е, 1+ил ' ' 1+Рсяио ' (8.28) Решение уравнения (8.27) будем искать в виде ряда: ~ 2! 1 ! 6 ) ! $+ Сс~ С'', ( — 1)" (Лс)8)".
(8.29) Если ряд (8.29) сходится, то его сумма, очевидно, будет решением уравнения (8.27). Но ряд (8.29) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем — Л, ), а поскольку постоянные Л, и Л„согласно (8.28), всегда меньше единицы, то эта прогрессия сходящаяся и ее сумма равна: Ф (о) Роиол(Я Во о С (1+и!и ео) (!+ил) (8 30) 4со (!+)сои!л Во) с 2 (1+РолСЯ ео) Подставляя (8.30) в (8.25) и учитывая, что р, = о, =- 0 при х = у =О, откуда С, = О, получим искомые решения: Роиол(я Ео .
иорсл(К Ео 21,(1+Р.'л!я 6,) 2 (!+РолСя Во) 1 Рс 21, (1+иол(я 6,) у 2р, (1+иол(а 6,) у' (8.31) Интегрируя последние'два уравнения системы (8.11), получим'. и, = — — "с +)".с(у), с, = рс — — х+~8(у). (8.32) Роио ' ' ' Ро 2ио 42'Зоооо № 888 Для определения функции Ф, из третьего условия (8.19) получим функциональное уравнение: ПРоизвольные фУнкции ~, и 7о легко опРеделЯютсЯ из втоРого н четвертого условий (8.19): Р! 1 л!и 9о ло+л 2Р, !с 1.1 вол!с н, х 1 1 Рол!и н, У (о = оп+ !он Величины („и и, соответствуют адиабатическому процессу и удовлетворяют уравнению Бернулли, величина (,о — есть изменение полной энтальпни газа за счет излучения.
Подставляя полученные значения и, и о, в первое соотношение (8.19), получим следующее выражение для возмущения угла наклона скачка, обусловленного излучением: р, л — с!ав,— (~(-л)с1а'Н, „ (8.34) 2Роло (1 — Ро) (1+Рол(Я во) Ро = Рм + Рьо !Ро) (о Роло ~ л!я 0 Рм 1 р )Ро + о 2р (1 ! Рол!Кн ) 1 о 1 + ( ) У Ро ( У~ (8.35) Уравнение для линий тока: о(х Иу ио+Кио Коо (8.36) при полученных значениях ио и о, имеет интеграл: уоио, ( + сх — у !ао.+! 1 ! о (т+л) =С, л!Ке+ ) У 1+л!ав, (8.37) где (8.38) — 2л,(,(1+н л!аЕ,) Формулы (8.31), (8.33), (8.34), (8.35) и (8.37) дают решение задачи. Впервые эта задача в более общей постановке (с учетом 670 Плотность определяется из уравнения состояния в системе (8.6) по полученным значениям 1, и р,: — = — 0,66 уК, Ки, оо — ' = — (0,0176 х — 1,05у) К, "о —, = — 0,0176хК, Кро Роио —.' = — (1,06х — 11,2у) К, 1о Р' = (0,615х — 11,2у) К, Ро Кр = — 0,08 Кх.
(8.39) В рассматриваемом случае, согласно приближенным оценкам 129) параметров, К при Ь = 1 м составляет 0,1. Из формул(8.39) следует, что при этом на поверхности клина уже при х =2 м энтальпия уменьшается более, чем на 20ою а плотность возрастает более, чем на 10ою и при дальнейшем увеличении х метод малых возмущений будет давать большие погрешности.
В то жевремя остальные величины изменяются при этом не более чем на 4о4. Отсюда можно сделать вывод, что излучение вносит вклад в изменение всех характеристик гиперзвукового потока, обтекающего тело, но основной вклад оно вносит в изменение энтальпии и плотности. Этот вывод вытекает и непосредственно из решений (8.31)— (8.37). Действительно, из структуры полученного решения видно, что влияние излучения, за исключением изменения полной энтальпии 1ио пропорционально величине р, = 1/1р уплотнения газа вследствие охлаждения при постоянном давленйи. 42" бт1 перепоглощения лучистой энергии в ударном слое, излучения и отражения поверхности клина, внешнего излучения, при более общем уравнении состояния) была рассмотрена в работе [19].
Позднее решение этой задачи для рассмотренного выше частного случая было получено в работе ]29]. Чтобы яснее представить характер влияния излучения, приведем пример, рассмотренный в последней из упомянутых работ. Пусть клин с углом полураствора 8 = 35' движется на высоте 60 км (р = 3,56 10 ' кГ сек'1м') с числом Маха М = 60. Тогда угол наклона скачка к поверхности клина равен 7', параметры невозмущенного потока за скачком уплотнения будут: ро — — 0,4 ата, ро —— 4,9 !0 о кГ секо1мо, То — — 12200'К; ио —— = 1,25 1О' мосек. Рассчитывая далее значения параметров ло и п по формулам (8.20), получим следующие значения для возмущений, вносимых излучением в параметры потока: Это обстоятельство непосредственно вытекает из механизма влияния излучения на движение газа, который заключается в следующем.
Газ, двигаясь вдоль линии тока, охлаждается, вследствие чего плотность его увеличивается на величину Крм — Кр,. ~м. Это внутреннее сжатие газа генерирует волны разрежения, которые взаимодействуют с поверхностью тела и скачком уплотнения, чем и обусловлено появление аднабатической составляющей решения. Так как даже цри бесконечном уплотнении газа угол скачка уплотнения не может уменьшиться более, чем на малую величину О„ то давление и другие связанные с наклоном скачка величины не могут существенно измениться даже при значительном охлаждении газа.
Приведенный выше численный пример показывает, что даже при малых х относительное изменение полной энтальпии для тупых клиньев в несколько раз больше относительного изменения давления. Отметим, что мы здесь рассмотрели высвечивание ударного слоя, вследствие чего газ уплотнялся. В случае положительного притока тепла лучистой энергии, например, за счет излучения границ, газ будет расширяться, причем изменение параметров газа будет находиться в таких же отношениях, как при уплотнении. Таким образом, можно считать, что основное влияние излучения на движение газа выражается в охлаждении и уплотнении газа (нагревзнии и расширении в случае положительного притока тепла лучистой энергии) без существенного изменения давления н скорости.
ПРИЛОЖЕНИЕ / С ! января 1963 года государственным стандартом СССР (ГОСТ 986761) введена Международная система единиц СИ(81), охватывающая единицы изме рення механических, тепловых, электрических, магнитных и других величин. Так как авторы данной книги пользовались системой единиц МКГСС, то читателю, в случае необходимости перевода формул из системы МКГСС в си.
стему СИ, рекомендуется пользоваться следующими положениями: 1. Вид формул, связывающих безразмерные величины, так же как и входящие в них численные коэффициенты, не изменяется. 2. Не изменяется вид формул в том случае, если в них отсутствуют величины я и А. Необходимо только обратить внимание на численные коэффициенты, в состав которых могут входить указанные величины.
3. Удельный вес Т надо заменять через плотность р. 4. Следует исключить я н А из всех формул, в которых они фигурируют (я остается только для обозначения земного тяготения). 5. При численных расчетах удобно пользоваться следующей таблицей, в которой приведены основные единицы измерения н переводные коэффициенты: Соотношение между еднннцвии ! в системе МКГСС и СН Сокращенное обозначение единиц Наименование величины Единица измерения Производные единицы ньютон ~ и Сила 1 кГ=9,8 и кв. метр ~ мз Площадь !манн! мв куб. метр ~ мз 1 ма=! м Объем Плотность (объемная масса) кГ сека кг 1 =981— мз ч мв кг/мз кг/мв кГ кг 1 — =!— сгк сгк Секундный расход кг/сек кг/ггк Удельный объем (объем един. массы) мв мв 1 — =!— кГ кг мз/кг мз/кг Удельный вес (вес единицы объема) кГ и 1 — = 9,81 — к мз ' м ньютон вмв и/мв 6У4 Давление ньютон/мз и/ма и/мз джоуль джоуль Энтальпня дж/кг дж/кг град дж/кг град Мощность ватт вгн/м град вгд/мз град 675 Наименование веаичвны Напряженве, модуль уп- ругостн Работа н энергня Количество теплоты Удельная теплоемкость, удельнаа энтропия Газовая постоянная Козффнцнент теплопро- водности Коэффициент теплоотда- чн н теплопередачн Дннамнческая вязкость Кннематнческая вязкость Единица измерения ньютон на мз джоуль на кг джоуль на кг град джоуль на кг град ватт на метр.
градус ватт на мз градус ньютон. сгк. на метр ке. кв. метр в сск Совращенное обозначение единиц и сек мз мз свк Продолжение Соотношение между единицами в системе МКГОС и СИ «Г и 1М =981М ме м = 9,81 1О еар — 5 кГ и 1 — =9 81— мз ! Мз 1 кГМ = 9,81 дж 1 ккаг = 4! 8? дж ккал дж 1 — = 4187— кГ кг ккаг дж =- 4187 НГ град = кг град кГМ дж НГ град ' кг грод кГН 1 — = 9,81 внт сек ккав м час град внт м град ккав вит м'град ' мз град кГ сгк н.сгк 1 . =98!†мз ' мз Продолжение вольт ом Ом Значеняя некоторых основных физических постоянных в системе СИ 7 = 6,67 10 ы ма/кг сека Гравитационная постояннан оо — — 22,4 ма/ямало Обьем одного моля газа прн нормальных условяях й = 1,38 10 зв дж7град Постоянная Больцмана а б 62 10 вв дж сгк Постоянная Планка о = 5,67 10 а ат/ма град Постоянная Стефана — Больцмана 17 = 8,32 !0з дж!град кмоль Универсальная газовая постоянная 1У= 6,02 10ае кмоль з Число Авогадро Читатели, желающие более подробно ознакомиться с новой системой единиц СИ, могут обратиться, ндрример, к книге А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
