Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 96
Текст из файла (страница 96)
В этом диапазоне температур в газе образуется радиационное поле, перенос излучения в котором происходит с пренебрежимо малым импульсом и плотностью лучистой энергии, т. е. в этом поле уравнения движения газа и выражение для внутренней энергии среды сохраняют свой обычный вид. Изменяется только уравнение энергии, поскольку в балансе энергии необходимо учитывать скорость притока тепла лучистой энергии д, .
Такое поле мы будем называть слабым радиационным полем. В нем все члены общей системы уравнений, содержащие скорость света в знаменателе, могут быть отброшены без каких-либо заметных погрешностей. Второй важной особенностью радиационного поля в газовых потоках является пренебрежимо малое рассеяние энергии, т. е. )) о„.
Можно показать, что это неравенство имеет место в том случае, если преобладающую роль в возбуждении атомов и молекул играют столкновения. Последнее же, очевидно, будет выполнено, если средний промежуток времени, протекающий между двумя последовательными столкновениями, будет много меньше продолжительности жизни атома в возбужденном состоянии. Время жизни атома в возбужденном состоянии, как правило, имеет величину порядка 10 ' сок, а число столкновений в секунду уже при р 0,05 атм и Т=200вК составляет10'. Так что в задачах газовой динамики, за редким исключением, можно пренебрегать рассеянием, что также значительно упрощает систему. Таким образом, проблема учета радиационного поля в газовых потоках сводится к решению следующей системы уравнений: ( -1 аг„ 2аср ип —,' -р„1в,— Ц, в,= ' ( "'-1) 7=(р, р, Т)=О зращн1.
зарщТРЬ ур уа (7.5) Второй параметр Б = р р 7. характеризует процессы внутреннего перепогло1цения лучистой энергии в рассматриваемойобласти (ослабление интенсивности луча при прохождении области). Значение этого параметра наглядно иллюстрирует формальное решение уравнения переноса радиации в системе (7.4). Если заменить в нем значения плотности и коэффициента поглощения их характерными значениями р и а, то решение примет вид: (7.6) 7(р) =В+ [!р(() — В)е ~~. Здесь 1р(р) — интенсивность лучей на границе области, идущих извне, 1* — безразмерное текущее расстояние вдоль луча р' от границы области до рассматриваемой точки области. В 8. Влияние излучения на гииерзвуковое обтекание тел Для выяснения характера влияния излучения на гиперзвуковое обтекание тел рассмотрим в качестве примера обтекание клина гиперзвуковым потоком излучающего невязкого, нетепло- с соответствующими граничными и начальными условиями.
Наличие радиационного поля в газовых потоках приводит, естественно, к появлению дополнительных критериев подобия, В слабом радиационном поле таких критериев два. Явное их выражение легко может быть получено, если перейти в системе (7.4) к безразмерным величинам. Основным критерием, характеризующим влияние радиационного поля на параметры потока, является параметр К, представляющий собой отношение энергии, излученной частицей за время движения ее в рассматриваемой области решении, к полной энергии.
Величина лучистой энергии, которую частица излучает с единицы массы во все направления, примерно равна 4рра В, где и — характерная величина среднего по частотам коэффициента поглощения, В = — Т'. Если р'. — характерный размер тела, У вЂ” характерная величина скорости газа в рассматриваемой области, а („ — полное теплосодержание единицы массы газа, то К =4яе„ВЬЛррУ. При гиперзвуковых ско- 1 ростях (рр — — — У', т. е.
проводного газа с присоединенным скачком уплотнения. Радиационное поле будем считать слабым и пренебрежем рассеянием лучистой энергии (о, = О). В этом случае система (7.4) предыдущего параграфа принимает вид: ди ди др дк ои — + ро — = —— ду дх до , до др ри — т ро — = — —, дх др др ' — =О, д (ро) дд д (ри) (8.1) дх д1 дт др др ри — + оо — — и — — о — =рд, дх ' ду дх ду Л' Ч, = ~ ) а„1 сй с() — 4и ) и, Вт с()„ О 4, о Йс ' †! А= — =сопз1, (=с Т. ср с й р (= — —, а — ) р (8.2) Введем безразмерные величины х х=— д р х, (8.3) р и Р= Р Рос Р= — дяЕ л к,з где А — характерный линейный размер, К = ' ' — параи~ 43х Здесь х, у — координаты вдоль поверхности клина и по нормали к ней; и, о — составляющие скорости вдоль осей х, у; Р, р, 1 = т = ) ср АТ вЂ” давление, плотность и энтальпия соответственно; о ср — теплоемкость при постоянном давлении, Т вЂ” температура, д †скорос притока тепла лучистой энергии, 7„, ах, В„ — интенсивность, массовый коэффициент поглощения в длине волны излучения ).
н функция Планка соответственно, с(ос — элементарный телесный угол. Теплоемкость с для простоты примем постоянной и уравнение состояния представим в виде: — до др +ро— ду ду — ди Ро— дх (8.4) — + =О, д (ри) д (р о) дх ду д7 — д( - др — др ри — + ро — — и — — о — = рКд дх ду дх ду Безразмерные велпчины отмечены чертой сверху, которую в дальнейшем будем опускать. Задачу решим в предположении, что влияние излучения невелико, т.е. параметры К « 1, 3« 1.
Обозначая параметры газа в области между скачком уплотнения и поверхностью клина, определенные без учета излучения, индексом О, будем искать решение системы (8.4) в виде: и = ио + Ки1 +..., о = оо + Ко1 +... р = ро+ Кр, + ", р =.Ро+ К р + ", ' = 'о+ К ' + " (8 5) Очевидно, что о, =О, а остальные величины с индексом О постоянные. Подставляя (8.5) в (8.4) и (8.2), с точностью до величин порядка К' получим следующую систему уравнения для малых возмущений: ди1 др1 Р~п~ д — д до1 др1 р п — = — —, о д„= ду Р д +род +Р,д — — О, дио др1 до1 (8.6 метр, введенный в предыдущем параграфе.
Индекс относится к параметрам набегающего потока. Заметим, что в данном слу. чае входящая в параметр К характерная величина скорости, строго говоря, определяется ие скоростью набегающего потока, .а скоростью газа в ударном слое и„ но при обтекании тел ги.
лерзвуковым потоком с присоединенным скачком уплотнения Ло И В принятых безразмерных величинах первые три уравнения системы (8.1) сохраняют свой прежний вид, а в правой части четвертого уравнения появляется дополнительный множитель К, т. е. система принимает вид: — ди — ди др ри — + зов дх ду дх пения массы, знергии, импульса и уравнения состояния. Законы сохранения на скачке уплотнения в размерных величинах можно представить в следующем виде: р и япоз=р и яп9 — р э сов6, и' + о* + — =1 + 2 2 Р„+ Р„и' ЯпзР = Ро + Р, (и, Яп й — о, сов 6)з, и совр = и, сов с1+ оо яп9, (8.12) Здесь р = ро + Ю В = Во+ К1 Во = ро — 3 (8.13) Р и вш (ро+КР) =(Р, + Кроо)(ио+ Киот)вш(бо+ КР)— — (Ро+ Кроо) Коо, сов (Во+ КР).
(8.14) Пренебрегая в (8.14) величинам порядка К', будем иметь соз оо (Рооиоо созн Роно) Р = иорю МС1о+ Роиоз (йооо Ропоз (8 15) Используя известное соотношение соз оо и, соз Оо иоо' (8.16) преобразуем (8.15) в безразмерных величинах (8.3) к виду: ~~ — ' — 11 = ' — "1я9,+ — "*'1я9,— "— ". (8.17) ~ ро у ро о ио о ио ' Варьируя аналогично остальные соотношения (8.12), получим: 1 и и углы касательной к возмущенной линии скачка уплотнения с направлением набегающего потока и осью х соответственно; Р, Йо — соответствующие углы для невозмущенной линии скачка (у = х 16 Во), 3 в угол полураствора клина, 11 — возмущение угла наклона скачка, обусловленное излучением. Звездочкой отмечены параметры газа непосредственно за скачком уплотнения.
Подставляя (8.13) и (8.5), например, в первое соотношение системы (8.12), получим и,ро,!ано ма2В, + Роио(ЯВои о + г — Рои ~ ~ =О, (8.18) Р(Ро — 1) ио+ иоо с189о+ ою = О 'м Роо Роо 'о Ро Ро Соотношения (8.17) и (8.18) получены для возмущенной линии скачка, но так как в нашем случае параметры течения при К=О постоянны, то эти соотношения с точностью до Ко будут выполняться на невозмущенной линии скачка у = х(Я оэо.
Таким образом, исключая Р, из системы (8.17), (8.18), получим следующие краевые условия для системы (8.11) на одной из границ рассматриваемой области (на скачке): и„, соя во+о,о ио1 = Риооь р о — — роиото,, 1„= — и,и „ где ~! — — ( 1 — — ) (1 + М' й з! и' Во )~с18 6 (8.19) 2 2 ( Ро ош2но ~ ((йВ + 1 18В ) + 1 Первое нз соотношений (8.19) служит, очевидно, для определения изменения наклона скачка за счет излучения. Остальные три соотношения являются краевыми условиями для системы четвертого порядка (8.11). Замыкается сформулированная задача условием равенства нулю нормальной составляющей скорости на поверхности клина, т. е. о,~, о=О. (8.20) Обратимся теперь к вычислению скорости притока тепла лучистой энергии для решению уравнения переноса в системе (8.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
