Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Так как при термодинамическом равновесии радиационное поле бу дет всегда изотропным, между плотностью лучистой энергии и ии енсивностью излучения будет иметь место соотношение (4.5). Поому интенсивность падающего излучения также будет универсальной функцией и при замене абсолютно черных тел телами А, ~ 1 не изменится, т. е. будет равна В„. Но теперь тела погло,цают только часть этой энергии, равную А„В, В соответствии со вторым законом термодинамики их энергия излучения Е„ должна иметь такое же значение. т.
е. Е„ = А~В„, или Е~ (6.4) Это и есть математическое выражение закона Кирхгофа, который может быть сформулирован следующим образом. При термодииамнческом равновесии отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности является универсальной функцией длины волны и температуры, представляющей собой интенсивность излучения абсолютно черного тела. Рассмотрим теперь ту же самую полость, но заполненную излучающей, поглощающей и рассеивающей газовой средой, находящейся в тепловом равновесии со стенками полости. Очевидно, что полученное из уравнения переноса радиации соотношение (6.2) будет выполнено также и в этом случае, поскольку при его выводе предполагалось только наличие термодинамического равновесия.
Так как прн наличии термодинамнческого равновесия интенсивность не зависит от координат, то мы можем по лучу сколь угодно близко приблизиться к стенке. Но интенсивность не зависит также и от направления, т. е. она одна и та же в прямом и обратном направлении луча. Следовательно, наличие адиабатической стенки никак не отразится на полученном соотношении. Пусть часть границы рассматриваемого объема представляет собой абсолютно черное тело. Тогда, в силу второго закона термодинамики, интенсивность падающего на него излучения должна быть равна 1„=В„.Ыо, согласно (6.2), 1„= 4„!х .
Следовательно, ч1 — =В у. (6.5) Таким образом, для газовых сред мы получаем следующую формулировку закона Кирхгофа. При наличии термодинамического равновесия в излучающей, поглощающей и рассеивающей среде отношение ее коэффициента излучения к коэффициенту истинного поглощения является универсальной функцией длины волны и температуры, представляющей собой интенсивность излучения абсолютно черного тела. Отметим некоторые следствия, вытекающие из закона Кирхгофа. Отношение излучательной способности любого тела к из- лучательной способности абсолютно черного тела с той же те1 пературой называется относительной излучательной способност~~, или степенью черноты тела з„.
С использованием е„ закон Кирх. гофа (6.4) может быть записан в виде е„=А„, где А всегда меньше 1. Поэтому можно сказать, что излучательная способ ность всех тел всегда меньше, чем излучательная способность абсолютно черного тела при той же температуре. Так как в выражении закона Кирхгофа (6.5) в правой части стоит функция, не зависящая от свойств среды, то при т.„-б величина т)„должна равняться нулю.
Таким образом, если среда не поглощает (не излучает) энергию длины волны Х, то она н не излучает (не поглощает) в этой длине волны. Из закона Кирхгофа следует также возможность построения модели абсолютно черного тела. Для этого достаточно взять полость, окруженную равномерно нагретыми стенками.
Тогда равновесное излучение, устанавливающееся внутри полости, будет характеризоваться распределением энергии в спектре черного тела. Поэтому, если сделать в стенке полости малое отверстие, то из этого отверстия будет выходить излучение, тождественное с излучением абсолютно черного тела.
Закон Кирхгофа строго справедлив только при наличии термодинамического равновесия. Но в задачах газовой динамики состояние термодинамического равновесия не имеет места. Поэтому, строго говоря, формула (6.5) неприменима. Однако в большинстве практических задач газовой динамики оказывается выполненным локальное термодинамическое равновесие. Если среда находится в локальном термодннамическом равновесии, то процессы излучения в элементарном объеме среды, имеющем температуру Т, аналогичны процессам излучения, происходящим в рассмотренной выше полости при той же температуре.
При этом, очевидно, нет необходимости в том, чтобы среда была изотермической. Температура может меняться от точки к точке, но каждый элемент среды излучает и поглощает так, как если бы он находился в термодинамическом равновесии. Таким образом, при известном законе распределения интенсивности излучения в спектре абсолютно черного тела соотношение (6.5) может быть использовано в качестве второго соотношения, позволяющего замкнуть систему уравнений, описывающих радиационное поле в газовых потоках. Этот закон впервые строго был получен М. Планком.
Согласно закону Планка, функция распределения имеет следующий вид: (6.6) Вдесь й = 6,624 10 " эрг сгк — постоянная Планка, с — скорость вета и Й = 1,38 10 " эрг/град — постоянная Больцмана. Вта функция может быть получена только на основе квантой теории излучения, и ее определение выходит за рамки настоящей книги. На основе термодинамики может быть получена лишь интегральная интенсивность излучения т с«й» д 㻠— 1 « о о (6.7) где а — постоянная Стефана — Больцмана, равная й«»й« с = — .= 5,75 10» эрг/см«сгк град«. 1зс«й» Соотношение (6.7) представляет собой хорошо известный в физике закон Стефана — Больцмана.
Но это соотношение, как следует из равенства (6.5), в общем случае не может быть использовано в законе Кирхгофа. Отсюда становится очевидным факт отсутствия в теории радиационного поля понятия интегрального коэффициента поглощения (см. примечание на стр. 645).
Однако в практических приложениях и качественных исследованиях часто используется модель так называемой «серой» среды, коэф« фнциент поглощения которой не зависит от частоты, т. е. используется некоторый усредненный по частотам коэффициент поглощения а.
Для «серой» среды закон Кирхгофа — Планка может быть представлен в виде: = — Т« «« Ф (6.8) ф 7. Система уравнений газовой динамики в радиационном поле и ее анализ Используя результаты предыдущих параграфов, нетрудно описать течение газа в радиационном поле, т. е. получить замкнутую систему уравнений газовой динамики с учетом лучистого переноса.
В $ 5 мы выяснили, что радиационное поле оказывает механическое воздействие на газовую среду. Следовательно, при выводе уравнений движения необходимо учесть это воздействие. Поскольку тензор радиационных давлений аналогичен тензору обычных напряжений, то для учета влияния радиационного поля достаточно просуммировать соответствующие компоненты этих тензоров: При этом уравнение движения в векторной форме мо. жно представить в виде: р — = р г + ьлпт ((Рм)) Рм = Рьэ+ Рлм ° (7.1) Наличие радиационного поля в газовом потоке не вносит также существенных усложнений в вывод уравнения энергии.
Для этого достаточно во внутренней энергии среды учесть плотность лучистой энергии, отнесенную к единице массы, в работе поверхностных сил учесть силы, связанные с радиационным давлением, и учесть поток лучистой энергии через ограничивающую рассматриваемый объем ч поверхность Е, равный интегралу по Е от Н„ или, что то же, интегралу по х от 61ч Н. В результате, уравнение энергии может быть представлено в виде: л — ~е+ — ! — я — 61ч(1 агабТ)+ б)чН = О, р! (7.2) ду ду ду "'=р +р +р— дх х ду ~ дг р„(Р„„, Р„„, Р„,), р (Р „, Р, Р,), р,(Р,„, Р,, Р„). Поскольку мы рассматриваем дорелятивистские скорости, то уравнение неразрывности сохраняет свой обычный вид: — „+рб( Ч=и др (7.3) Систему (7.1) — (7.3) «замыкают» уравнение состояния 1".
(р, р, Т)=0, закон Кирхгофа (6.5), закон Планка (6.6) и уравнение переноса радиации (3.4). Отличительной особенностью полученной системы является то обстоятельство, что она интегро-дифференциальна. Значительно усложняет эту систему и тот факт, что здесь, кроме ряда дополнительных искомых функций, увеличивается число независимых переменных — длина волны (или частота) и направление луча. Краевые и начальные условия для решения системы ставятся в каждом конкретном случае и для каждой области аналогично краевым условиям в задачах обычной газовой динамики.
При этом необходимо на границах области учитывать в общем балансе приток тепла лучистой энергии. Для уравнения переноса лучистой энергии необходимо в каждой точке гр ницы задать интенсивность излучения как функцию направления луча, имея в виду лучи, идущие внутрь среды. Решение полученной системы уравнений даже в самых простейших случаях представляет очень сложную задачу. Однако дл решения целого ряда наиболее интересных задач эта систем может быть значительно упрощена.
Дело в том, что для лучи 660 — = à — — дгадр+ — ягад йчЧ+ чЬЧ, лч в Ж р з — +рйчЧ=О, ар ~й с„р — „, — — „, = йч (Лдгад Т) + — р (йч Ч)'+ лт лр 2 + "Е( — ")'. Ф)'-( — ":Л+ Е( — ";. — "')'+ + р) а ) У„~ИГЛ вЂ” 4ар ) а„ВЖ, О 4» (7.4) 43 Звввв М бао того теплообмена в газе, окружающем тело, обтекаемое гиперзвуковым потоком, характерно, что процессы излучения и поглощения в нем происходят при температурах, не превосходящих нескольких десятков тысяч градусов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
