Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 89
Текст из файла (страница 89)
617 В случае диффузного отражения предполагается, что поверх. ность тела имеет молекулярные шероховатости и щели, в кото рые попадают молекулы. Ударяясь о поверхность, молекулы пол постыл абсорбируются стенкой, передавая ей свой импульс и энергию. Отраженные или вернее «испускаемые» стенкой молекулы движутся в направлениях, не зависящих от направления удара Скорости и энергии диффузио отраженных молекул распределя ются в соответствии с законом равномерного распределения Максвелла при температуре стенки. Все направления движения отраженных молекул равновероятны.
Отраженные молекулы можно рассматривать как проходящие через отверстия молекулы фиктивного газа, расположенного с противоположной стороны поверхности. Этот газ покоится относительно поверхности, его молекулы обладают только беспорядочным движением с температурой стенки Т„. Можно сразу сказать, что так как отраженные молекулы йе имеют преобладающего направления движения, то они не создают касательного напряжения, т. е. в этом случае « = О. Экспериментальные данные указывают на то, что обычно возникает отражение более общего типа.
Только часть падающих молекул передает поверхности касательную составляющую импульса. Степень контакта налетающих молекул со стенкой в общем случае недостаточна для того, чтобы они приобрели среднюю энергию, соответствующую температуре стенки Т . Наиболее часто при исследовании режима свободно-молекулярного течения используются средние параметры, характеризующие процесс взаимодействия, которые называются: коэффициентом аккомодации Š— Е (4.32) коэффициентом нормального отражения а' = Рс — Р»» 14.33) и коэффициентом касательного отражения «1 «г в, = « — « Е Т« (4.34) 618 В этих выражениях Š— энергия, а индекс 1и соответствует термодинамически равновесным условиям при температуре стенки. Следовательно, « = О. Очевидно, что для полностью зеркального отражения и = в,= =а' = О, для полностью диффузного отражения а =в,= в' =1. Отметим, что если, следуя Максвеллу, принять, что часть молекул 1 — в, отражаетсязеркально, а часть молекул в, — диффузно, о выражение для а, будет определяться формулой (4.34).
В общем случае три параметра а, а', а, независимы. 3 Силовое воздействие отраженных молекул. Пользуясь определением коэффициентов отражения (4.34), (4.33), получим р = (1 — о') р; + о' р, (4.35) т,=(1 — ") ~г (4.36) давление р, которое оказывают на поверхность молекулы, покидающие ее со скоростями, соответствующими равновесному максвелловскому распределению при температуре поверхности т„„можно получить из следующих соображений.
Так как это давление не зависит от макроскопической скорости (или от скорости поверхности), то его можно рассматривать как давление частиц, расположенных с одной стороны поверхности, имеющих температуру Т„и проходящих через отверстие единичной площади в этой поверхности. Тогда давление р, может быть получено из формулы (4.23), если в ней положить У = 0: р.= — , 'р.кт, (4.37) Чтобы перейти к плотности набегающего потока, учтем, что по (3.1) р, =тпь р =тп и, следовательно, (4.38) Для определения л !и,.
воспользуемся тем, что вследствие равновесия общее число набегающих и отраженных молекул одинаково: (4.39) Величина У может быть определена, если в формуле для У, (4.12) положить скорость У = О. Тогда (4.40) и, следовательно, р — ~ ', ~~ . ' (~(а,) = р; ь' ~ — ф(а~). (4.41) РМ. ° Г 2~~ з 2к )АКТ~ ° Т~ а~ У рТ ' У йТ 2 ' ' Тю 619 Тогда искомое выражение для давления р определится как ! '2 1 722 !з Р Р = — Р У вЂ” [/ ~ — 2!2(а!). 4 ! 22 7! (4.
42) ф б. Аародинамические силы, действующие на тело, летящее в свободно-молекулярном потоке Суммарное давление р и напряжение трения 2, действующие на лобовую часть элементарной площадки в свободно-молекулярном потоке, определяются формулами: р = р! + р, = (2 — а') р, + а' р (5.1) 2 2 Н2!2 1 е 2=2! — 2,= — з(п()соз!9! ~ + 1+ег1а, ~ . (52) )/22 а! с„=с — с + 1с — с 1з!пй! =с, (а,) — сл ( — а,)+ ! + [с (а,) — с ( — а!)~ з1п5! = Р,„Р22 аз)' 2 ! ! 2 7! с = (с + с — с' — с' ) соз!9 — (с„— с,')з1п!9 = Уавф 2! Р Р! ( ! = з!п~е2 созе [ —, ег1 а, + а! 1! и — „! . (5А) Для зеркального отражения (а, = а' = 0): Пользуясь формулами (4.29), (4.31), (4.42), найдем коэффициенты подъемной силы и лобового сопротивления плоской пластины с учетом воздействия н ее лобовую н тыловую части.
Для диффузного отражения (а, = а' = 1): — / = (с — с') 5!пВ = 45!пой ~ + ! 1+ — )ег1а1, (5.5) кзерк —,) = (ср — с ) соз(-'1 = с1йЯ с, (5.6) узерк керк 1(ля выпуклого тела произвольной формы сопротивление и подъемная сила, воздействующие на элемент его поверхности о!А, определяются выражениями: — р11'с„(х, у, 2)НА, — рИ'с (х, у, г)1!А, (5.7) ГдЕ Сх(Х* У 2) Су(Х, у, г) — КОЭффИцИЕНтЫ СОПрОтИВЛЕНИя И подъемнс й силы пластины, соответствующей характерному для данного элемента тела углу атаки с1, его температуре и коэффициенту аккомодации.
Следовательно, для всего тела будем иметь: х = ) Сх(лз У Х) зезА, Су ! ) Су(Х У, Х) з!А, (5.8) 1 1 Г где интеграл берется по поверхности тела А. В качестве примера рассмотрим обтекание свободно-молекулярным потоком газа круглого цилиндра с радиусом Л и высотой 7.. Ось цилиндра направим по оси г. Если вектор скорости цилиндра (з' лежит в плоскости 20у и образует с осью г угол 6 (рис. 151), то входящий в формулу для сх пластины угол 19 связан с углами и й р соотношением: Рис.
151 51п В = со5 (0о по) = 51по созР. Коэффициент сопротивления цилиндра вычисляется по формуле к/2 сх= — ) с„(6)Нр. 1 (5.9) о Если цилиндр движется перпечдикулярио образующей, то о = зе!2, 51п 9 = соз ер и, следователь:.о, в случае диффузного отражения з/2 с =- (' ~ с 1~1'1" и1* ! ~/ки 5,51п6111.+ —,1ег1(Я,51п6) -1- )кзз 51.! 2о1 / о + — 5!Пз кз ), 2з,е (5.10) 621 Иа рис. 152 в качестве примера приведены графики измене„на коэффициентов сопротивления нескольких простых тел в зависимости от Я, (диффузное отражение) для случая В =В, Отметим, что при исследовании обтекания тел потоком разеженного газа в области свободно-молекулярного течения в ряде практически интересных задач .можно ограничиться случаем ь4» (а значит, и Я,-» ).
В этом случае полученные формулы значительно упрощаются. у б. Теплопередача в свободно-молекуларком потоке Как видно из формул, приведенных в предыдущем параграфе коэффициенты сил, действующих на тело, существенно зависят от температуры, при которой происходит отражение молекул от тела. Для определения теплового состояния тела в свободно-молекулярном потоке рассмотрим процесс передачи телу энергии набегающими молекулами (Е,) и уноса энергии молекулами, отраженными или рассеянными после столкновения с телом (Е,), т. е.
рассмотрим конвективный теплообмен. Изменение энергии малого элемента поверхности дА может быть записано в виде: в„од = Е,— Е„ (б. 1) где д„,„ — полное количество тепла, полученного элементом поверхности в единицу времени вследствие переноса энергии молекулами. Пользуясь выражением коэффициента аккомодации (4.32),можно исключить поток энергии отраженных молекул и, следовательно, (6.2) л„о = а (Е; —.Е ). Каждый из членов правой части этого уравнения состоит из энергии поступательного движения молекул и той части энергии молекул, которая определяется внутренними степенями свободы. Следовательно, Е = Е.
„„+ Е,,„; ~~ = ~~, иост+ м. ы Предполагая, как и прежде, что молекулы газа находятся в ~остоянии максвелловского равновесия, получим, что так как "оступательная энергия одной молекулы равна 2 623 то поступательная энергия молекул, попадающих на единичну пластину в единицу времени, будет равна: о Еь„,= ~ ~ ~ — ", (2'+)*+Г) (У...= о( о Ь, 1 lо Г' Г -От(1+пи)+1Ч+Ги1+«+Ьи1Ч = (-) ~ ~'~' ( — о) — (Р + + т 1 о + 1 о ) Д ~ Ч В результате интегрирования этого выражения, найдем: г(г Ег „,= лгУ, ~ — + — „Ф(а,) ~, (6.4) гдеУ,= — ' ф(а,) — число всех ударяющихся о пластину моле- 2 )/й~ кул, а 2 е 3 + 2 ао (1 + ог((аг)) Ф(а,) — 1+ + ао(1+ ег((ао)) 2 — й~ 1 е У ('(м =2+ 1 .
(1+"'(")) 2 т(ай (6.5) Из формулы (6.4) видно, что поступательная энергия, передаваемая телу набегающими молекулами, состоит из поступательной (г'~ энергии макродвижения (тУ,— ) и поступательной энергии, опг2) ределяемой беспорядочным микродвижением частиц (тУ;Ф (аф2Ь|). Каждая частица газа обладает определенной внутренней энергией, зависящей от свойств газа. Основываясь на принципе равномерного распределения энергии по степеням свободы, можно записать, что внутренняя энергия молекулы газа равна: ! Евн= 2 )РТ = 2 КУ, (6.6) 2 где К вЂ” постоянная Больцмана у = — — полное число сте.
~ е — 1 пеней свободы, включая и поступательные степени. 624 Исключив поступательные степени свободы, найдем внутреннюю энергию одной молекулы Еьвн= 2 КТ~= 2а 1 КТс 1 — 3 5 — За 2(й — 1) (6.7) З( нутренняя энергия, передаваемая в единицу времени единичной поверхности всеми набегающими молекулами, будет, следовательно, равна: 5 — За Е; вн 2(а — ) пЖТ,)уг (6.8) Полная энергия падающих молекул получается сложением (6.4) н (6.8) Г[Р 1 5 — Зй Е,=Е,„+Е,,н= ц(' —,+,— „ф(а,)+2(„, РТ)= — + — ф(а)+ Мг (6.9) Рассмотрим энергию, уносимую отлетающими молекулами.
Поток энергии отлетающих молекул создается молекулами, испускаемыми пластиной со скоростями, соответствующими максвелловскому равновесному состоянию прн некоторой температуре Т,. Как и для набегающих молекул Е,=Е, „,+Е,,„ (6.10) Поступательную энергию отлетающих молекул можно получить, положив в формуле (6.4) макроскопнческую скорость У = О. Тогда а =О, ф(а~)=2 н, следовательно, (6. 11) Для величины Е,,н аналогично (6.8) найдем: Е', = ~2+ 2 а 1 ~КТ,И,= 2 а+ 1 КТ,М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
