Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Приближенно принимают, что режим «свободно-молекулярного течения» соответствует значениям: М вЂ” ) 10. (2.10) Наиболее сложна для исследования «переходная область> между «течением со скольжением» и «свободно-молекулярным течением», сел«оооо.моле- перека нй и«е несо скол»«е о луллркое ме«ен е ре нм соло с сор« е-и мелле и е- и ь уп и уп иь уп и' ру ге Рис. 14а в которой средняя длина свободного пробега имеет тот же порядок, что и характерный размер тела. Рассмотренные области течения представлены на рис. !46. Следует еще раз подчеркнуть, что указанное выше разделение течения на различные режимы является весьма условным и предназначено только для общей ориентировки.
При решении конкретных задач, в частности, задач об обтекании тел с большими сверхзвуковыми скоростями, вследствие возникающих в потоке ударных волн или ударных слоев (т. е. областей с большими градиентами параметров), средний свободный пробег молекул вблизи тела не равен значению 1 в невозмущенном набегающем потоке, и при оценке режимов течения следует пользоваться местными значениями 1 в области вблизи тела.' ф 3. утекоторьье резулътатаь кинетической теории газов Изложим некоторые результаты кинетической теории газов, которые понадобятся при последующем изложении. Более под- ро обно эти данные изложены в Учебниках и моногРафиЯх по „инетической теории газов, например, [Ц, [2), [3). Основная гипотеза, на которой базируются последующие выводы этого параграфа, заключается в том, что газы состоят из мо„кул, находящихся в состоянии произвольного движения, причем физические свойства газа определяются движением молекул и не зависят от их внутренней структуры.
Предполагается, что вижение молекул подчиняется законам классической механики „при столкновениях отсутствует трение. Газ состоит из молекул одинаковой массы т. Число молекул в единице объема вблизи точки пространства х, у, г в момент времени г обозначим через и. Число молекул в объеме дт = дх.Йу дг пропорционально объему, не зависит от его формы и равно пНт. Очевидно, что плотность и будет определяться обычной формулой; (3.1) В каждый момент времени г молекула обладает определенной скоростью, т.
е. определенным положением в пространстве скоростей и, о, ю. Количество молекул, заключенных в момент г в объеме Ик = дх ду дг физического пространства и обладающих скоростями, заключенными в интервале и — . '(и+ ди), о —. (о + йо), в — '. (в + Ию), равно: пс[71дщ, где дм = е[и до.йо — элемент пространства скоростей, а г (х, у, г, и, о, щ г) — функция распределения молекул по скоростям.
Общее число молекул в элементе физического пространства Н т в момент времени 1 определится интегрированием по всем возможным скоростям: пд = ~ ~ ~ (п~аг)д дод . Так как выражение Ыт не зависит от скоростей, а зависит только от координат и времени, то его можно вынести за знак интегрирования, и, следовательно: пдт = ~ ~ ~ (п~дт)дидодю = пг(т ~~да, (3.2) а, значит, (зл) Роль функции распределения особенно существенна при определении средних значений физических параметров.
Пусть каждая частица газа в объеме б ъ обладающая скоростью, принадлежащей элементу пространства скоростей да, обладает в заданный момент времени некоторым физическим свойством Я (и, о, и), зависящим только от ее скорости. Так как число молекул, расположенных в данный момент в объеме Ыт, равно ) (п~г( т) Иш = лдт ) ~г(н=пг(т, то статистически среднее значение указанного свойства 9 для молекул рассматриваемого объема от будет определяться соотношением: Ялани 4= ) (п9 ~)И м (3.4) Г(х, у, з, Г)= 1 Р)д~, (3.5) а ее проекции на оси координат — соответственно формулами: и = ') и~г)а, о = ) офв, и = ) и4~йм. (3.6) В любой момент времени составляющие истинной скорости молекулы можно записать в виде: и = и+Е', и= о+0', в =в+ ч', (3.7) 600 Это локальное среднее значение, меняющееся от точки к точке пространства, может рассматриваться как макроскопическая средняя характеристика газа в данной точке.
Ф В частности, среднемассовая или макроскопическая скорость, которая входит в уравнения газовой динамики, определится в наших обозначениях формулой: г!е !', я', с' — составляющие собственной (тепловой) скорости молекулы. Очевидно, что средние значения этих скоростей для одно- компонентного газа равны нулю: Р= 'ц' =- ~ = О; (3.8) Кинетическая энергия поступательного движения молекулы по определению равна: Е = — (на+ оз -]- аР) = = — [(и + Г) + (о + а') + (в + ~') ~. Следовательно, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул в элементе объема 0т определяется формулой: 1 — 1 Е= ) Е(па = 2 тР+ 2 п1с', (3.9) где 3 С' = 1~+ т!'+ (3.10) б01 з н равна сумме кинетической энергии — тр"Р видимого (макроско- 2 1 пического) движения и кинетической энергии — шс~ невидимо- 2 го (теплового) движения молекул.
Как будет следовать из дальнейшего, отношение этих энергий Р*!с'является весьма важной характеристикой свойств газа. 1 Отметим, что энергия — гпс' в общем случае не определяет 2 полностью внутреннюю энергию реального газа. При расчете внутренней энергии многоатомных газов следует учитывать также энергию внутренних степеней свободы (вращательного движения многоатомных молекул, колебательного движения атомов в молекулах, возбуждение электрон ых оболочек, а в ряде случаев и потенциальную химическую энергию, переходящую при химических реакциях в другие виды энергии).
Аналогично можно определить через функцию распределения и другие обычные макроскопические переменные газовой динамики, например ([]] — (3]), 38 Заказ Мю 688 напряжение р„=р ) (о — о) (и — и)~Я давление газа (см. главу П) (3.12) поток тепла д„= — ) 1' с'~Я м, к температуру (3.14) где Й вЂ” газовая постоянная.
Таким образом, зная функцию распределения, можно рассчитать количество движения и энергию, передаваемую молеку- 5 лами при столкновении с телом„ а значит, определить все аэродинамические характеристики летящего тела. Функция распределения определяется из основного уравнения кинетической теории газов — уравнения Больцмана.
Йзложим вкратце основные этапы вывода уравнения Больцмана, ограничиваясь простейшим случаем одноатомного газа. Предположим, что молекулы газа можно моделировать идеально гладкими и идеально упругими шариками с диаметром Н. Таким образом, предполагаем, что при ударе молекул не происходит взаимного превращения внутренней энергии и энергии поступательного движения, нет потерь энергии вследствие деформации при ударе. Считаем, что возможны только бинарные столкновения, длина среднего пути свободного пробега достаточно велика по сравнению с диаметром молек лы, все направления движения равновероятны и удовлетворяются ньютоновские законы сохранения количества движения и энергии. Рассмотрим изменение количества молекул определенного класса в элементе физического пространства Йт=йх.НУ-Иг за промежуток времени й1, малый по сравнению с временем свобод- и~~поп„ип х, у, г, 1) На,йс=п~,Нш,бт, а в момент времени 1+ й п~(иъ и„гэи х, у, г, 1+ й) йв,с(т = д = ~п~, + — (п1,) йг~ Ыа,дт, (3.15) то, следовательно, количество молекул класса 1 в элементе объема д т за время й1 изменилось на величину (3.16) Суммарная величина изменения числа молекул класса 1 за время и1 вследствие потока через грани элементарного кубика, очевидно, равна: д д д1 — ~и, — + и, д + ге~ — )(п~,) й аги тиг.
(3.17) Разность выражений (3.16) и (3.17) д д д д1 — + и, — +и' д + ю' д ) (п~')йа'г(тг(1, ~3.18) которую мы обозначим 0,(п~,)дв,йт й, равна изменению числа молекул класса 1 в элементе й т вследствие изменения скоРости молекул при столкновении. Определим влияние соударений на изменение числа молекул класса 1. В результате столкновений скорости молекул класса 1 ~вменяются, и они выбывают в другой класс. С другой стороны, молекулы других классов в результате столкновений могут приобрести скорость, соответствующую классу 1. Соудареиие двух молекул диаметром й можно представить "ак столкновение центра шарика (молекулы) со сферой радиу- 38» 603 ного пробега (т. е. временем между двумя последовательными лкновениямн молекул) и достаточно болыпой по сравнению зремегем самих столкновений. Изменение числа молекул расматриваемого класса 1 (например, класса молекул, обладающих оростями, принадлежащими элементу пространства скоростей ) в элементе объема ~1~ может происходить либо за счет притока элементов класса 1 через грани элемента й ъ либо за счет потери и приобретения молекул класса 1 в результате.
столкновений. Если в момент времени 1 число молекул класса 1 в элементе объема и т равнялось Суммарное уменьшение числа молекул класса 1 за счет соударений с молекулами всех классов в с(х за время й для всех возможных направлений ударов получим интегрированием по всем возможным скоростям Ч, и направлениям линий удара дх в виде: Щ пх 1, !х У я сов ф (х (ах~И м, (с.(!. (ЗА9) Как уже указывалось, в результате столкновений между моле- кулами полная энергия и полное количество движения не изме- няются, т. е. молекулы после столкновений приобретают скорости Ч„', Ч,' такие, что Ч,+Ч,=Ч,'+Ч,', Чв+Чв=Ч +Ч Подсчитывая увеличение числа молекул класса 1 вследствие 'столкновений между молекулами классов 1' и 2', аналогично получим величину Щ п'!,' ! ' с(и Й сов ф д х б и '] с( и ' Ж й.
(3,20) са д (рис. 147). Выделим на поверхности сферы молекулы класса 1 элементарную площадку сИх = 0А, где с(х — элемент телесного угла. Если Я = Ч вЂ” Ч,— относительная скорость молекул класса 1 и 2 до удара, а ф — угол между направлением полета Ч, и линией центров молекул (рис. 147), то число молекул класса 2, попадающих за время й на площадку с(А, будет равно произведению объема косо- Ф го цилиндра а1И 2 сов ф с( хй на плотность молекул класса 2, т. е.
равно ср й п!х сов ф Нхс(м,с(сй. чХ С каждой молекулой класса 1 в И !1~ элементе с( с связан описанный выше элементарный цилиндрик. !/ Из 'словия, что и'х и й беско- нечно малы и что молекулы клас! ! са 1 распределяются по объему беспорядочно, следует, что 1Д, ),г) малые цилиндрики не будут пере- крывать друг друга на сколькоРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
