Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 84
Текст из файла (страница 84)
(16.10) Уравнение энергии мы не выписываем, так как оно имеет очень сложный вид (см. [241, [25[). Дополнительные члены вида — (ри') и',— (ро') и' и т. д, в правой части уравнений представляют собой составляющие тур- булентного напряжения трения для случая сжимаемого газа, чле- ны вида — ср (ро') Т' определяют дополнительный перенос тепла в потоке вследствие турбулентного движения. Повторяя рассуждения, изложенные в 2 2 настоящей главы, получим из уравнений (16.4) — (16.7) уравнения турбулентного пограничного слоя для двумерного стационарного движения сжи- маемого газа в форме: (16.11) — ди — ди др д Г дй) ри — + Ро — = — — + — ~(р+ с) — ~, дх ду дх ду 1 ду ~' (16.12) ~~ =О, (16.13) ду д(сс)) — д(с Т) — др д Г дТ[ Г ди 1~ Ри — + ро —. = и — + — ~ () + Х, ) — ~ + ([с+с) ~ — ), дх су дх ду [ ' ду [ 1ду/ (16.14) р=» рот, (16.15) где коэффициенты турбулентной вязкости и н турбулентной тепло- проводностн Л, определены соотношениями: — (ро)и =и —, ди ду' (16.16) — с (рп)'Т' =Л, —.
(16.17) 586 Как следует из уравнения (16.12), прн турбулентном движении на пряжение трения складывается нз напряжений трения, возникаю- дит щнх вследствие молекулярной вязкости (р — ~ н вследствие ду) турбулентной вязкости (и ду 1' Вблизи обтекаемой стенки турбулентные пульсации затухают и основное значение имеет молекулярная вязкость †э часть пограничного слоя обычно называют ламннарным подслоем (рнс.
142), Действительно, в этом случае уравнения движения в пограничном слое по форме совпадают с уравнениями ламинарного г~рх, 41 иди погРаничного слоЯ. ВходЯщие в «41да уравнения пограничного слоя параметры (давление, плотность и т. д.) являются усредненными лаияащдлагй значениями соответствующих веМЖЛдй личин. В области, удаленной от стенки, величина турбулентной вязкости настолько превосходит Рис. 142 молекулярную вязкость, что пос- ледней можно пренебречь (см. уравнение (16.12)).
Эту область называют турбулентным ядром пограничного слоя (рис. 142). В переходной области, на границе турбулентного ядра н ламннарного подслоя величины молекулярной н турбулентной вязкости имеют одинаковый порядок. Следует отметить также, что уравнения турбулентного пограничного слоя (16.11) — (16.14) не представляют замкнутой снстемы уравнений, так как в ннх входят неизвестные функции пространственных координат и физических постоянных — коэффициент турбулентной вязкости и и коэффициент турбулентной теплопроводности Л,.
Значения этих величин определяются различными полуэмпирическнми теориями турбулентности, которые были развиты для течений несжимаемой жидкости и которые обычно переносятся, за отсутствием более строгой теории, на случай течения сжимае. мого газа. В простейшем случае прямолинейно-параллельн плоского, установившегося усредненного турбулентного движения несжимаемой жидкости, т. е. в случае и = и (у), —,„= О ди (1б.18) и(у+ 1) — и (у) =1 — „и'.
ду Предполагается также, что составляющие пульсаций скорости пропорциональны, т. е. (16.19) и' — 0' 587 н при условии, что поле пульсаций также плоскопараллельно, в качестве основных характеристик турбулентности принимают: 1) две проекции вектора скорости пульсации и' и о', 2) касательное пульсационное напряжение т х = — р и'о', 1 !дь' дй 1 3) пульсацию вектора вихря ш' = — ~ — —— 2 (дх ду) Для установления связи этих характеристик турбулентности со скоростью усредненного движения используются теория переноса импульса (Прандтль), теория переноса взвихренности (Тейлор) и теория подобия полейпульсаций (Карман).
Каждая из названных теорий, ввиду своего полуэмпирического характера, имеет ограниченную область применения. Так, например, теория переноса завихренности используется главным образом для расчета струйных течений; теория Кармана используется только для расчета турбулентного пограничного слоя. Теория переноса импульса (при различных дополнительных предположениях об изменении пути перемешивания поперек потока) используется как для расчета пограничного слоя, так и струйных течений.
В теории Прандтля предполагается, что при турбулентном движении элементарная масса жидкости р~о'(, перемещающаяся вследствие пульсаций перпендикулярно усредненному течению сохраняет все свои свойства на некотором расстоянии 1, названном длиной пути перемешивания (по аналогии с длиной свободного пробега в кинетической теории газов). Если смещение частицы превысит расстояние 1, то произойдет перемешивание перемещенной массы с окружающей массой в новом положении, и вектор количества движения этой массы изменится. Разность между средней скоростью потока в новом положении частицы и(у+ 1) и средней скоростью частиц, поступивших из другого слоя, и (у) определяет пульсацию скорости в этом месте: В соответствии с этими гипотезами количество движения, перенесенное пульсацнонным движением в направлении, перпендикулярном к скорости основного потока, будет равно: =Мо 1! — „=д! — „~ — „), , ди ди~ди Ну ду~ди (16.20) а поток тепла определяется как д =с р~о')!' — = с р!и — —, рдТ и дидТ ду Р дуду ' (16.21) где !' †усредненн значение длины пути перемешивания, включающее и коэффициент пропорциональности.
Очевидно, что при этом мы предположили, что длины пути перемешивания ! для пульсаций скорости и' и !гдля пульсаций температуры Т' — одного порядка: -!Я,т -!,( — д), !-!„ (16.22) (16.23) то оно будет определять соотношение между турбулентной вязкостью и теплопроводностью. Как указывалось выше, для воздуха значение числа и примерно равно 0,71. Из эксперимента известно, что для воздуха и, = 0,86. Таким образом, прн изучении турбулентного пограничного слоя предположение и, = 1, которое, как и предположение и = 1, существенно облегчает аналитическое рассмотрение течения в пограничном слое, является еще более оправданным, чем в случае ламинарного пограничного слоя. Очевидно, следует ожидать, что при предположении и, = 1 результаты расчета толщины пограничного слоя и напряжения трения будут хорошо согласовываться с результатами эксперимента, так как' отклонение и, от единицы очень слабо влияет на профили скоростей и температур в турбулентном пограничном слое.
Однако отклонение и, от единицы может существенно повлиять на величину градиента температуры вблизи стенки, а значит, и на тепловой поток Для получения конкретных результатов следует ввести еще до зев а величина е, !г (ди/ду) подобно тому, как это говорилось выше о величине е = !з (ди/ду), представляет собой турбулентный аналог молекулярной температуропроводности Х/рс . Положив !г = !, мы тем самым приняли, что и, = и.
Если по аналогии с введенным раньше числом Прандтля и = рс /). ввести его турбулентный аналог — турбулентное число Прандтля: волнительные предположения, справедливость которых в конкретных условиях подтверждается сравнением с данными эксперимента. Так, предположив, что путь перемешивания линейно зависит от расстояния до обтекаемой стенки: 1= ау, (16.24) н турбулентное трение постоянно: 'Хр = ' (16. 25) получим: %=4~ (16.26) Интегрируя (16.26) в предположении р=сопз(,получим формулу логарифмического закона распределения скоростей, часто используемого в теории турбулентного движения: и = — у — 1пу+ сопз(.
зГ. а У р (! 6.27) Величина у )р имеет размерность скорости и называется «скоростью касательного напряжения», или <динамической скоростьюел и,=~ (16.28) и ис 4и Величина коэффициента а и кон- аа станта интегрирования определя- ги ются из экспериментальных данных. Наиболее полно изучено турбулентное движение несжимаемой жидкости в цилиндрической гй трубе. На основе обработки этих данных универсальный закон рас- и пределения скорости вблизи стенки трубы был получен в виде (рис. 143): — =5,5+5,75!я — ' =5,5+ и уиг 4 СУ~' Рис. 148 25 1и — „'. (16.29) (16.30) 889 На рис.
143 пунктиром отмечена кривая, соответствующая закону сопротивления Блазиуса, согласно которому скорость пропорциональна расстоянию до стенки в степени 1/7. Представление Распределения скорости в форме степенного закона: хорошо соответствует экспериментальным данным. Значения и изменяются в пределах от 7 до 9 при изменении чисел Рейнольдииих са Йе = — от 10' до 10«. ч Логарифмический закон удовлетворительно совпадает с экспериментальными данными при значениях 1я (уи, /т) > 1,5. Ближе к стенке от этой точки располагается ламинарный подслой с линейным распределением скорости: и и,у ч [ Ниlиу[ = 1/1.
то в качестве масштаба времени для поля .пульсаций выбираем Т 1 ««и/йу Следовательно, 1 йи и' — — — 1 —, т лу «/и о' — — — 1 —. «йу' Эти результаты совпадают с пако в данном случае можно именно, в качестве масштаба рать результатами теории Прандтля. Одполучить еще один результат, а линейных размеров пульсаций выб~1й ку й«и и'у« 590 В теории переноса завихренности Тейлора проводятся рассуждения, анологичные приведенным выше при изложении теории пути перемешивания Прандтля, однако считается, что на протяжении длины пути перемешивания частица жидкости сохраняет свою завихренность.
В теории Кармана область, занятая жидкостью в турбулентном движении, рассматривается, во-первых, как единоеполескоростей осредненного движения жидкости, а, во-вторых, как множество полей пульсационного движения жидкости в окрестности каждой геометрической точки [метод Эйлера). Предполагается, что структура и масштабы полей пульсации не зависят от вязкости и что по структуре все поля пульсации подобны между собой и, отличаются только масштабами времени и расстояний, которые в каждом поле пульсаций зависят только от ди/ду н д'и/ду'. Так как размерность первой производной: коэффициент, определяемый из эксперимента. Следоваьно, теория Кармана дает возможность определить величину а не задавать ее в функции расстояния от стенки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
