Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 79
Текст из файла (страница 79)
При отсутствии теплопередачи второе интегральное соотношение интегрируется в конечном виде и дает связь между параметрами Н;"(Л, Л~ Л,) =О, (9.11) что позволяет уменьшить число независимых параметров на единицу. Подставляя (9.10) в интегральное соотношение (7.36) и учитывая что Н и Н есть функции Ла Л~ Ла получим' да** и хм — + (2 — аз+ Н вЂ” Н ) ааа = с (9.12) Д! и (1 — ааа) а е и~ Ь*а или ааа — + ' 2(2 — аз+ Н вЂ” Не) В~~' = 2 — с. (9.13) Заменив йааа на Л, по формуле (9.3) и проводя дифференцирование, окончательно найдем: — — -1- — '', ~ Л, + ', (2с — 2Ла (2+Н+НеЯ. (9.14) ~ иа 1 — а2 / и~ (1 — а~~) 547 ди ! и~ дн! 1 д(та) д ),= —,.'.
с(Л, Л, Ла);Ь(та) д (,= —,..Х(Л " Ла) (910) (9.15) или, введя обозначение Р(л„ла, ла) =Р (/, ав* а) = 24 — 2/ (2+ Н+ Не) получим уравнение для формпараметра / в виде: а! / и 4«а аа Иа — = 1Л вЂ”, +, /1/+, Р (/ ...) аа аа 1 — аа иа(! — «а) иа или, учитывая обозначение а' = — . 2!42 а иа а аа «2 (! — «2)2 « аа 2 = / — 1п + Р(/, а,, а) — 1п . (9.16) 44 й,г д -Да -4!2 -4« г.а " 2!а Рис, !36 Возвращаясь к обычной переменной х, будем иметь: Ф И Ли!/Ых И вЂ” =/ — 1п + Р(/) — !и (9.17) аь ах ах 2.! ИХ тг~ ! (-") ' ' Следовательно, при отсутствии теплопередачи задача расчета пограничного слоя свелась к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка относительно параметра /.
Как следует из расчетов, приведенных в оригинальной рабе- аа те А. А. Дородницына (3], для двухатомных газов (а=!4/19) „о значений чисел Маха М = 2,738 (до аи =0,6) функции Р н с весьма мало зависят от изменения из, а функция Р близка линейной. Поэтому функцию Р практически можно принять в виде: и и~~ 7и» и~ — ' (1 — а~) с!х, и! (1 — «!) о (9.19) где Зй — 2 Ь гп З вЂ” 1 2 (9.20) 1 — си -Оа П а7~ агР -Сап Р ВМ О7 Рис.
137 Рис. 133 По найденному значению 7 и по известным в каждой точке профиля значениям а~ находятся с, Н. Функцию с также "ожио определить по графику нли таблице, как для несжимае"ой жидкости. После этого определяем Р'~ по известному "ользуясь формулой (9.3), переписанной в координатах х в виде: 7 [ ч (1 — а~)~ ии! / их Затем тем определяется напряжение трения: 'с,„= р — ~ = — С 11*, а~) ° (! — из)» ~ (9.22) (9.21) Р = а — Ь7', (9.18) причем постоянные а и Ь выбираются независимыми от числа Маха. В частности, можно принять значения а и Ь, соответству!о!цие несжимаемой жидкости (а = 0,46; Ь = 6).
Интегрируя уравнение (9.!7) при предположении (9.18), получим в первом приближении: Для пересчета заданного распределения коэффициента давле ния на поверхности крылового профиля в несжимаемой жидко. сти р„, т. е. при М = 0 на распределение а,(х) при различных М„< М„р можно воспользоваться сеткой кривых, полученной Л. Г. Лойцянским в предположении ь = 1 (рис. 136). В работе А. А. Дородницына подсчитаны для значений М < 2,7 и тепловые зависимости т„= Т ~Тьь и Н в функции от формпараметра (рис. 137 н рис.
138). В этом случае влияние числа Маха весьма существенно. 0 70. Пограничный слой на телах вращения Весьма важным для практических приложений является расчет пограничного слоя на телах вращения. Как показали Е. И. Степанов (19) и Манглер [20), уравнения пограничного слоя, возникающего на телах вращения при обтекании потоком, скорость М которого на достаточном удале- нии параллельна оси симметрии а тела, сводятся к уравнениям плоской задачи и, следовательно, г ! ' г г г1 для их решения могут быть исоа х пользованы методы, изложенные в предыдущих параграфах.
х Рассмотрим основные идеи этой Рнс. 139 теории. Очевидно, что при обте- кании осесимметричного тела однородным потоком, параллельным оси тела, линии тока будут располагаться в меридиональных сечениях, и поток можно считать двумерным. Выберем в плоскости меридионального сечения систему координат, аналогичную использованной нами при выводе уравнений пограничного слоя для плоского профиля (х — вдоль поверхности профиля, у — по перпендикуляру к поверхности), и обозначим через г (х) — уравнение поверхности профиля, а через г — рас. стояние точки от оси вращения (рнс. 139).
Тогда введенные величины будут связаны соотношением: (10. 1) г = г,(х)+ усова, где и — угол между касательной к поверхности и осью тела. Следут различать случаи очень тонкого тела вращения н случай тела малого или среднего удлинения. В случае тонкого тело большого удлинения (форма, характерная для высокоско' ростных снарядов) радиус тела мал, и относительная толщина пограничного слоя, малая при умеренных скоростях полета может оказаться соизмеримой с радиусом тела при больших сверхзвуковых скоростях. В этом случае угол и мал везде, за.исключением окрестности передней кромки, если она затуплена (где а = и! 2).Не рассматривая окрестность передней кромки тупоносого тела получим при обычных предложениях теории пограничного слоя уравнения стационарного пограничного слоя в форме: у(и +о )— — =О, ду ду (10.3) — + д (риг) д (рог) =О, дх ду (10.4) р = ргг*,Т.
(10.6) Из системы уравнений Навье — Стокса в цилиндрических координатах получим для этого случая систему уравнений пограничного слоя в форме: ди ди) ду + д ( ди). (103) — =0; др ду (10.9) д (риго) д (Рого) дх ду (10.10) дг дг) ду д ( Х дг)+ (ди)~ (1011) (10.6) 55) Так как угол а мал, то из (10.1) имеем г =г + у. В случаеобтекания очень тонкого тела вращения потоком газа с большими скоростями у) ги и можно в полученных уравнениях положить г жу.
В случае, когда пограничный слой тонок по сравнению с радиусом тела, т. е. в случае обтекания тел среднего удлинения, окрестности передней тупой кромки, малых скоростей полета и т. д., имеем у = 6((г,(х) и, следовательно, г = г,(х). (10.7) Применим к полученной системе уравнений преобразование Степанова — Манглера. Введем для этого функцию тока ф(х, у), удовлетворяющую уравнению неразрывности, дф . дф риг = —, ' — рог ду ' о дх (10.1а) (10.18) и, следовательно, д д, д д д — = го — + г' (х) у =, — = го = .
дх о дх О ду ' ду ду уравнениям неразрывности, — г' (х)у= дф о ду (10.14) (х) ури. Если положить го (х) и=и; о= —,+ — Уи'ф=ф Р=Р. Р=Р '=' у=Р го го (10.15) т. е. принять = =ри, == — ро, дф — дф ду дх (10.!6) (10.17) (10.18) — дУ до — др д х д~ — д й) 552 и преобразуем координаты х и у по формулам: х = ) г~~(х1)о(хн у =го(х)у о Применяя это преобразование к получим: ри= =, ргоо= — г,— ф дф , дф ду о дх дф = — го = — г' од- о и преобразонать уравнения (10.8), (10.10), (10.11) с венств (10.13), (10.14), (10.15), то получим систему новых переменных, полностью совпадающую с плоского пограничного слоя: ди — — ди др д / — до 1 — =+ ро= = -=+ ='р =' дх ду дх ду 1 ду) — + =0; д (р и) д (р о) дх ду помощью рауравнений в уравнениями 1 х = — а'х', у = аху 3 (10.21) Сравним, например, напряжения трения на пластинке т и иа конусе т Р (д ) р ~ди) (дд) =т го — — х ах (10.22) Если значения абсцисс вдоль конуса и пластинки одинаковы, т.
е. в соответствии с (10.21) ах = )Г 3, то, следовательно, т.=~ 3 (10.23) ~аким образом, в соответствующих точках поверхностное трение' на конусе в р 3 раза больше, чем на пластинке. Аналогично можно получить соотношение для местных коэффициентов теплоотдачи д.=У 3 д. " других характеристик пограничного слоя на конусе. (10.24) Полностью совпадут и преобразованные граничные условия. Таким им образом, задаче о пограничном слое при обтекании осесим„етричным потоком газа тела вращения достаточно большого адиуса может быть решена пересчетом соответствующего ре„1ения для плоской задачи.
В качестве примера рассмотрим задачу о пограничном слое иа поверхности кругового конуса, обтекаемого сверхзвуковым по- оком вдоль оси конуса (рис. 140). Предполагается, что при рассматрявае мам числе Маха невозмущенного потока М полуугол рас- г й/ твора конуса а соответствует случаю присоединенной ударной волны, начинающейся от носка конуса, Как известно, течение за ударной волной будет коническим, а следовательно, давление сохраня- Рас 140 ется постоянным на поверхности конуса и во всем пограничном слое, что аналогично случаю обтекания плоской пластины.
В случае обтекания конуса с полууглом раствора а уравнение его поверхности и меридиональном сечении может быть задано в форме: г, (х) = ах = ха)п а. (10.20) Следовательно, формулы преобразования координат (!О.!3) будут иметь внд: В случае обтекания тонкого удлиненного тела вращения система уравнений пограничного слоя (10.2) — '(!0.6) также может быть приведена к системе уравнений, аналогичной двумерному течению, с помощью преобразования координат, несколько отличающегося от преобразования Степанова — Манглера. Положим в этом случае х = ~ ~~ Нх, у = ~ у й у, (10.25) сохранив, как и прежде, выражение для )=ф, р=р, р=р, 1х=р, Х=Х, Т=Т, Т=1, с„=ср.(10.26) Подставляя соотношения (10.25), (10.26) в уравнения (10.2), (10.4), (10.5), получим: дх ду / дх ду ~ ду / д Гх + д(ро) дх ду (10.28) — — = — — — Д 0.29) где а= т, р.х=1х 1+ р (10.30) Следовательно, уравнения снова преобразованы к форме, соот- ветствующей плоскому пограничному слою, но при видоизменен- ном коэффициенте вязкости.
51 11. Пограничный слой в потоке смеси газов, между которыми происходят химические реакции 554 Как уже указывалось, при больших скоростях движения тел в пограничном слое возникают очень высокие температуры, вследствие чего при решении задач охлаждения летящих тел следует в ряде случаев учитывать химические процессы, происходящие в области вблизи тела и на его поверхности (диссоциация молекул, химические реакции между воздухом и охладителем, подаваемым в пограничный слой, между воздухом и частицами оплавившейся поверхности и т. д.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
