Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Преобразуем интеграл в правой части уравнения (7.33): и — а — ' ~Ь~= (и — и,)Н4+и, 1 — — Й~= о о о а~ = — и,а* -1- (1 — аа — 6 + а') Ы~; ) — а ) о так как а, — аз = аз — а а+ а а — аз = аз(1 — — )+ аз — (1 — — ), 3 й ь з 4 ь( и 1 з и ( а, 1 то из (и — — и,) Нч = — — ' (Р*+ азЗ** — 3') . о Подставляя это соотношение в уравнение (7.33), производя дифференцирование и вводя обозначения ь' ье —.=Н, — =Не. Ьь~ Ььа (7.35) получим уравнение импульсов в форме: — + — — 12 — аь + Н вЂ” Не) Ьье = доьь 1 диь ььь д1 11 — аь) ьоь ди = —,ЬМ вЂ” ~ иь ь ) ь (7.36) или, вводя обозначение: 6'*= ( — "(1 — 61) Ь4, е ) и о (7.37), получим интегральное уравнение энергии в форме: ~ (и Ь-) 'о Ь(, ) ~~ ~ (7.38) Это интегральное соотношение принимает особенно в случае теплонзолированного тела.
Действительно, ненни условия (7.26) из уравнения (7.38) следует: д1 (иье )=О, или Ье =О, простой вид при выпол- (7.39) о34 УстРемлЯЯ аь-+О(61 = ~-э 1, Ь = 1) и заменЯЯ 1 на х, ьо на У, ьм на ь, т. е. переходя к несжимаемой жидкости, получим известное уже уравнение импульсов для несжимаемой жидкости. Аналогичным образом выведем интегральное уравнение энергии. Для этого умножим уравнение неразрывности (7.22) на 19 и сложим его с уравнением энергии (7.24). Полученное уравнение вычтем из уравнения неразрывности (7.22).
Тогда найдем: д д 'оь д l да 1 де ( (1 е))+ д (о(1 е)1 д ьЬ д ) + + ( 1 ) д ( даь ) Интегрируя по ь1 от 0 до ° и учитывая краевые условия (7.25), (7.26), (7.27), получим: д ь" ьоь дсь ~ — ) и(1 — Еь) ь(ь1 = — Ь(то)— де,) о ' дЧ ~Ь=Ю о к как в начальной точке пограничного слоя (1 = 0) илн и,=О, или ои =О. Интегрирование полученной выше системы уравнений ламинарного пограничного слоя при наличии продольного изменения „велений во внешнем потоке, произвольном законе 'зависимости „оэффициента вязкости от температуры и произвольном о представляет значительные трудности, поэтому оно производится приближенно с использованием выведенных выше интегральных соотношений (см. з 9).
Однако влияние изменения числа о и показателя степени п в законе зависимости коэффициента вязкости от температуры можно достаточно хорошо изучить, рассматривая обтекание газом пластины при этих частных предположениях (см. з 8). у 8. Лампнарный пограничный слой прп продольном обтенанпп газом пластины Как и в случае несжимаемой жидкости, ограничимся вначале рассмотрением обтекания плоской пластины, перенося граничные условия с пластины длиной 1(0< х < 1) на бесконечную полуплоскость 0 < х < оо. Очевидно, что в случае обтекания пластины отсутствует градиент давления во внешнем потоке и, следовательно, р(х) = сонэ( = р др (8. 1) ы и ср гт 1=х, с1= ) — НУ=) — йУ, .» рсо — 3 т о о (8.2) дл р дЧ тсо и=и — +о — =и — +о —, дх р , дх Т (8.3) Т и и '= т "= — = - 8»= + (8А) со ' '$I 2»ос Ь'2срт, ' Уравнение неразрывности (7.22) сохраняет свой вид.' ди до — -1- — = О.
д1 дч (8.5) В качестве характерных параметров при решении задачи примем параметры набегающего потока р, р, Т . Тогда формулы преобразования координат (7.14), независимого переменного о (7.18) и обозначения (7.7), (7.23) примут вид: 1 Следовательно, можно ввести функцию тока ф, = — ф Рсо лагая: по- 1 дфг дф 1 дф дфг р, дс дЧ ' рсс д1 дЕ Для определенности в дальнейшем примем степенной закон зависимости коэффициента вязкости от температуры (7.11) в форме (Т )=" (8.6) Тогда, с учетом (8.1), (8.6), (7.28) уравнение движения (7.20) примет вид: ди ди д Г гди1 и +о (8.7) д$ дч си дч 1 дч ) ' Уравнение энергии (7.24) запишется в форме: Т д1( +2 )+ Т д ( +2с) Т д [(Т ) д ( +2с)) ( )" д ~(т ) д (2ст )1 (88) Производя дифференцирование в формуле (8.8) и воспользовавшись уравнением (8.7), получим для уравнения энергии выражение: (8.10) / и полагая Решение уравнений (8.7) для и($, "4) и (8.9) для и(1, '4) будем искать по аналогии с 2 4 в функции от безразмерного аргумента: Гогда, как и в с з4, для скоростей, температуры и их производ„|х получим выражения: !.
/ ° У „= (/т'( ); ~ 1/' с (окр'(в) — ~р (а)), (8.12) — =(/ у т (в), — *, = — 'т (а). ди з/ У „дчи Уч дЧ У чсс3 ' длч чсс $ ди — — аа" (в); д$ дч ч / У , дчч У вЂ” у ч' (а), — = — с" (а), дч У ч $ ' дчч ч 3 дч д! 2$ — — — вч (в); и, следовательно, уравнения (8.7) и (8.9) примут вид: 2 (ч'м ас)'+ ави = О; (8.13) 2 (си ' ч')'+ стч'+ 2о (А — 1) М~ а чс ' = О; (8.14) здесь мы воспользовались соотношением У* У* уч з с ст с (А !) 2 (Й 1)М " лдт йч7 сс Граничные условия для а такие маемой жидкости т=о, т'=О т'=1 же, как и при течении несжи- при (8.15) при Граничные условия для температуры, как уже указывалось, могут быть различными в зависимости от условий задачи. Если теплоотдача на пластине отсутствует, то граничные условия для безразмерной температуры будут иметь вид: — = О при в = О ич ч =1 при а= (8.16) Если температура пластины поддерживается постоянной, то граничные условия запишутся в форме: 7'», т= ~ =с„при в=О; ч=! при в= сс.
(8.17) узким образом, задача сводится к определению двух функций т и с из системы обыкновенных дифференциальных уравнений (8'8) и (8.14) при условиях (8.15), (8.!6) или (8.15), (8.17). Интегрирование в общем случае проводится численно, при задан"ь'х значениях параметров М, а, и и й. 34 Зааз М аа 337 Так как реальное значение в для воздуха равно примерно 0,70 (рис. И1), то качественно близкие к действительности результаты можно получить, полагая в системе (8.13), (8.14) значение в = 1. Как указывалось выше, уравнения также существенно упро. щаются, если принять линейный закон зависимости коэффициен. та вязкости от температуры (т. е.
положить н = 1), Вследствие г ли ееа ав ееа гееа ааа Рис. 131 этого целесообразно начать с расс1)1отрения указанного частного, случая. Случай линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры. Примем закон зависимости коэффициента вязко- .' сти от температуры в форме: Следовательно, во всех уравнениях следует положить п = 1; Тогда уравнения (8.!3) и (8. 14) и граничные условия (8.15), (8.16), (8.17) примут вид: (8.18) 2г"'+ ччв = 0 (8.19) кч+ — ~Еч' = — в(н — 1) М 2 ч',(0) = О, ч(оо) = 1, или ч(0) = ч„, т(со) = 1. (8.19') Легко видеть, что в этом случае уравнение (8.18) становится независимым от ч; это уравнение и соответствующие граничные условия (8.18') по форме полностью совпадают с уравнением (4.7) и граничными условиями (4.8), и мы можем воспользоваться решением, приведенным в $ 4 (табл.
2). Зная выражение ср(в), можно проинтегрировать уравнение энергии (8.19), не отличающееся по форме от уравнения (5.7) Как и в 2 5, ищем решение этого уравнения в форме: т(в,о) — 1 = (т~ — 1)Ес(в,о) + ~, Еа(в,о), (8.23) Р со где Е, — решение однородного уравнения (5.9): е;+ —,.те; = о 1 с граничными условиями Е,=! при о)=0; Е,=О при и= о, определяемое формулой (5.13) в виде: ) (т" (Е)1 с(Е Е,(в, а) = ~ (р" (Е)1 с(Е а Еа — решение неоднородного уравнения (5.11) 1 Е" + — срЕ'= — 2 сро 2 с граничными условиями Е,'=0 при в=о; Е,=О при в= а, определяемое формулой (5.21) в виде: Е (в, а) = 2а ) (сра)'[ Е) (сро) с(в1 ств. Температура адиабатической стенки пластины повышается вследствие выделения тепла за счет трения до значения тв определяемого по формуле (8.23) при Е,(в) = 0: 2, т Е, (О,.) =,* 8,(а), ггят ' ' галт где 00 о ~о(а) = Еа(0, о) = 2о ) (ср")'~ ) (срсс)~~с(в] Дв.
а о а4о При больших скоростях газа коэффициент теплоотдачи обыч но определяют выражением вт. Ч=()(҄— Т,), а !Чп, = (т„— т,), Иа рис. 132 и !33 приведены результаты расчетов распределения скоростей и температур в пограничном слое, для случая с = 0,7, и = ! при условии, когда температура пластинки поддерживается равной температуре набегающего потока (Т = Т ) и когда 1 вследствие сильного охлаждения Т = 4 Т .
Из рис. 132 видно, что с возрастанием числа М профили скоростей станоВ ав Хсв В ДЗ сев и в Рис. 132 вятся более крутыми и, следовательно, толщина пограничного слоя возрастает. Случай произвольной зависимости коэффициента вязкости от температуры. Число в=1. Как было показано в 2 6, при произвольной зависимости коэффициента вязкости от температуры н при значении числа Прандтля в = 1 существует, при обтекании пластины, линейная связь между температурой торможения в пограничном слое и скоростью, так называемый интеграл Крокко. Для того, чтобы определить распределение температур, необходимо, следовательно, предварительно определить распределение скоростей нз уравнения (8.13) при граничных условиях: т = О, о' = О, если а = О; о' = 1, если и = .
(8.15) В42 р1зложим, следуя Л. Г. Лойцянскому, приближенный метод интегр тегрнрования этого уравнения. Предварительно исключим нз ура уравнения (8.18) н уравнения, получаемого его дифференцировайием по ен 2(,— Р")и+ Р'ри+рр" =О. для этого умножим первое уравнение на р"', второе на р" и вычтем почленно. В результате получим ~~~ц и д йг 42 т- тж Рис. 133 Вспоминая, что р' = и/У и что т есть известная функция от и/У, введем новую неизвестную функцию: (8.24) и и новое независимое переменное и = и/У; в дальнейшем для простоты черту опустим.
Тогда искомое нелинейное дифференциальное уравнение будет иметь вид: Из уравнения (8.13), которое в преобразованной форме имеет вид: ( — '"' +т) р"=о, следует граничное условие (так как т =- О, т" Ф 0 при и = 0): — =0 прии=О. ее (8.26) Из определения функции е следует, что не еае 2 ее ( ее ~а еи еи' то полагая — 1п(ае) =г*, аз =-е ', асЬ = — 2ге ' Ыг и пользуясь граничным условием (8.26'), получаем: = 1 — р." ~ ь=агеп . (8.27) где, как обычно, ег11 = = ( е па(. о Задаваясь различными значениями произвольной постоянной а и продолжая в дальнейшем численное интегрирование точного уравнения (8.25) для каждой из интегральных кривых, выходящих из особой точки вдоль кривой (8.27), выбираем ту интегральную кривую, которая приводит в точку и = О, удовлетворяя при атом граничному условию йе/йи = О.
Найдя таким образом 544 е=О при и=1. (8.26') Следовательно, зта точка является особой для уравнения (8.25). Для исследования поведения интегральных кривых уравнения (8.25) вблизи особой точки Л. Г. Лойцянский рассматривает интегральные кривые приближенного уравнения, получающегося из (8.25) подстановкой в правую часть значения и= 1, а следовательно, и т = 1. Это уравнение, интегральные кривые которого вблизи особой точки совпадают с интегральными кривыми исходного уравнения, очевидно, имеет вид: ем е — = — 2. ди' Его интегральные кривые определяются следующим путем (в дальнейшем а — постоянная интегрирования). Так как „, гда (1 — а) аз -+ О. Используя (9.1), найдем: з* =~ (1 — " ) ря=й * ) 11 р,Я, л„л„л,)) ь~= иа о о = а** Н(Л„Л„Л,), (9.6) 6; = ) (1 — Е) () = а**н,(Л,, Л„Л,), 0 (9.7) й; = ~ — "(1 — Е) йй=й**н;.(Л„Л„Л,), О та аа О(0) = ра(0, Л„Л;„Ла) = )(Лд, Л„Ли), (9.8) (9.9) Подстановка этих выражений в интегральные соотношения (7.36) и (7.38) дает два дифференциальных уравнении относительно параметров Л„ Л„ Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
