Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В этом случае уравнение энергии (2.15"') принимает вид: д~о дно д 1 дно 1 ри — '+ ро — ' — — р — ' дх ду ду 1 ду/' (6.!) Частный интеграл этого уравнении: (ь = сопя(. (6.2) Легко видеть, что этот интеграл удовлетворяет условиям задачи об обтекании теплоизолированного тела, т. е. граничным условиям: дТ Т=Т, и=У при у=; — =О, и=О при у=О, Ц если в качестве константы выбрать значение ( . Тогда интеграл (6.2) будет иметь вид: (ь оооо (6.3) или (6.4) Распределение температуры поперек пограничного слоя на основании (6.4) записывается в виде: т=т-+ 2, (' — ~.) (6.5) следовательно, температура газа плавно изменяется от темпеРатуры внешнего потока (при и = у) до величины, равной температуре торможения внешнего потока у стенки (при и = О). Следовательно, при числе ь = 1 на теплоизолированной стенке устанавливается температура, равная температуре торможения внешнего потока.
Разность между температурой теплоизолиро ванного тела и температурой набегающего потока в рассматриваемом случае равна: и Т,— Т (6.6) с 00 2с Если Т,=Т,, то и в любой точке пограничного слоя Т,=Т, Ипшк, в пограничном слое на теплоиэолированной поверхности при и = 1 температура тормоокения всюду постоянна. Сравнивая уравнение (6.1) с уравнением движения для слу!'др чая обтекания плоской пластины ! — „=О): ди ди д ! ди'! (6.7) устанавливаем, что уравнение (6.1) имеет очевидный частный интеграл и~ (и =1+ — = аи+ Ь, 2 (6.8) где а и Ь вЂ” постоянные. Этот интеграл (интеграл Крокко), вводя новые постоянные а, и Ь,, можно переписать в форме (7): Т й — 1 з /и!е и — = — — М ( — ) +а,— +Ь,.
(6.9) Пользуясь граничными условиями Т=Т„при и=0; Т=Т при и=У, т = т +(1 т + 2 М ) и 2 М (ц) (6 10) Так как й — 1 е Р— 1 и' й — 1 У~ То~ и' А — 1 е тии и' 2 со 2 МКТ 2 ЛРТ Т У' 2 со т цв' (6.11) то из соотношения (6.10) получим зависимость между температурой торможения в пограничном слое Т, и скоростью в форме: (6.12) 526 определим а, и Ь,, откуда найдем следующую связь между температурой и скоростью в пограничном слое при наличии теплообмена: На внешней границе слоя (при и =0) из (6.12) будем иметь: (6. 13) на поверхности пластины (при и = 0) Тз =Т.
(6.14) Тогда из (6.12) и последних равенств получим: Т,— Тм и т,— т =и (6.15) ф 7. Преобразование уравнений ламанарного погрананного слон в сжимаемом газе После рассмотрения теорий пограничного слоя и теплопередачи при малых скоростях естественно перейти к изучению пограничного слоя в сжимаемом газе. При этом в ходе изложения будем опираться на результаты, полученные в Я 4 — 6 настоящей главы. Как и в Я 4 и 5 ограничимся рассмотрением стационарного течения. Нестационарный пограничный слой является предметом интенсивных исследований, однако существенное усложнение математического аппарата делает невозможным изложение полученных результатов в рамках данной книги*. Уравнения стационарного пограничного слоя для двумерного обтекания слабо искривленного профиля сжимаемым газом получаются из формул (2.12) — (2.17), если положить равными нулю члены, зависящие от времени: ди ди ! Ир 1 д / ди! и — +о — = — — — + —— Г 1 дх ду р дх р ду ( ду/ (7.
1) * Читателю, интересующемуся зтим вопросом, можно порекомендовать ознакомиться, например, с 1!71 и П). о27 Следовательно, в любом сечении пограничного слоя на плоской пластине при и = 1 распределение температур торможения газа подобно распределению скоростей. Это соотношение является естественным обобщением формулы (5.31), получающейся из (6.15) при малых М (М=О). Сле-' довательно, в случае о = 1, если Т < Т,, то стенка будет нагреваться, при Т„ ) Т, стенка будет охлаждаться.
Определение профиля скоростей по сечению пограничного слоя, а следовательно, по (6.15) и профиля температур весьма затруднительно, так как приходится интегрировать сложное нелинейное дифференциальное уравнение. Этот вопрос будет рассмотрен в последующих параграфах. + — =О, д (ри) д (ри) дх ду (7.2) )а — ! Р=ра(~ = а Ра (7.4) В эти уравнения, кроме величин и и о, входят еще неизвестные р и Т. Величину давления р следует считать известной.
Дейст. вительно, так как давление по сечению пограничного слоя не изменяется, то, пользуясь уравнением Бернулли, в соответствии с определением параметров адиабатически и изоэнтропически заторможенного газа можем записатгн иоа (х) оа ! 2(оа ) (7.5) (7.6) Введем обозначения: Т Тм иа — =а, а' )/ 2аоа и — =а, (7.7) ерепишем выражения (7.5) и (7.6) в форме: о р = — (1 — ааа)'" — '. роа о Ра = Роа (1 — ао)'-'. (7.8) К этим соотношениям следует добавить закон зависимости коэффициента вязкости р от температуры, который предполагается известным. Примем его в форме: р = (аы.а(х), (7.9)' Здесь и в дальнейшем мы обозначаем индексом 8 величины, относящиеся к внешней границе пограничного слоя, индексом Π— параметрыторможения.
Следовательно, ро. и р„— соответственно значения давления и плотности в адиабатически заторможенном внешнем потоке. В общем случае и, может отличаться от У. Из уравнения состояния (7.4) получим выражения для р в' форме: где внд функции безразмерной температуры а(ч) будет уточнен в дальнейшем. Отметим, что, как следует из кинетической теории газов, этот закон при температуре, превышающей критическую, достаточно хорошо выражается, например, формулой Сатерленда: тз/2 р т+т, (7.10) где значение постоянной Т, для воздуха равно примерно 1200. В приложениях наиболее часто используется закон 7 т тл р.— Т"; илн ц = р.а~ — ), (7.11) ~(,ть) где р, Тм и — постоянные. Соответствующим выбором постоянных можно с помощью формулы (7.11) достаточно хорошо аппроксимировать формулу (7.10) в ограниченной области изменения температур для каждой рассматриваемой задачи.
Чепмен и Рубезин и ряд других авторов использовали линейный закон зависимости р от Т в пограничном слое: — = С вЂ” = С вЂ”. т р.з тз (7. 111 гт„тз т,+т, где С=1 — ), Т вЂ” температура на стенке, Т,— = (, т, ! т + т, температура на границе слоя, Т, — постоянная Сатерленда (для воздуха= 102'С). Заметим также, что при решении конкретных задач в неко- торых случаях удобнее пользоваться уравнением энергии не в форме (7.3), а в виде [см. (2.15') и (2,15")1: цц нли р(и ~'+о~') = — '„'+ — '~ (р ~')+рЯ. (7.13) Следовательно, задача сводится к определению и, о и Т (нлн 1) из системы уравнений (7.1), (7.2), (7.3) илн (7.12), причем р задано по (7.5), а р и р определяются из (7.6) и (7.9) соответственно. Граничные условия для скоростей и температуры были рассмотрены в з 2.
Как уже указывалось, основным методом решения задач о "ограничном слое в сжимаемом газе является использование "Реобразованнй координат и зависимых переменных, дающих 35 заказ м 688 529 х и у 1 = ~ — а(х, и(= ~ а(у = — ) — ИУ. (7.14) ( Ра (х) ( Р(х. У) Р(х) ( Тоа Роа Роа Роа о о о Следовательно, д Ра д дч д д р д — = — — + — — ' (7.15) дх роа д$ дх до ' ду раа дЧ Выражение для дрЫх на основании (7.5) н (7.15) можно пред- ставить в форме: й Р, и, — „(1 — и~)" — ', оа "Ра Р! иРа а(х Р сй илн, на основании (7.8) и (7.4): (7.16) Применяя преобразование (7.15) н используя (7.16), приведем уравнение (7.1) к виду: о-!.! ди Р" де +Р~д "+ п)д = Роа ( "а) "а а(1 + + — Роа — ~ а (') — д р д Г р ди1 Роа оа до ~ Роа дл 1 (7.17) Разделив обе части на величину оа — ! Р (1 и2)о-~1 Ра Р Роа и вводя обозначения (3]; о 5(х)= ('1, ч = — оа а =1 — из= — ' (719) оа возможность придать указанной системе уравнений форму, близкую к форме уравнений пограничного слоя для несжимаемой жидкости.
Наиболее часто используется преобразование, предложенное А. А. Дородницыным 12), 18) и имеющее вид: олучнм окончательно выражение для уравнения движения и — +о — = — и — + ч — ~Ь(о) — ~ . (7,20) ди ди х иь д 1 ди11 д$ дх х Ь д$ радо ~ дх~' Для преобразования уравнения неразрывности (7.2) введем функцию тока ф: дф р дф ри = — = — —, = дд = р дч дф Рь дф дф до Рь дф дч Ро дх Р д$ дЧ дх р дЕ Роь дх аь оь Отсюда, учитывая (7.18), получим: 1 дф. — 1 дф и= — —, и= — — —, р до' р дь (7.21) я, следовательно, уравнение неразрывности для функции и н о имеет вид: ди до — + — = О.
д$ дь (7.22) получим: Рь дн / дь о ьь дв "оь р д ри — и — + р ~и — + — ) — = — — — "а(х) х р д$ ~ дх р ) дх о р до оь Рь Деля последнее выражение на р — н учитывая (7.18), оконРоь чательно найдем внд уравнения энергии в переменных дород- ницына д$ +о д — — — д .~Ь(() д ~ — (о 1)'ьи д [Ь() д~~' (7.24) 531 Легко видеть, что уравнения для и и о в переменных 1 н и отличаются от соответствующих уравнений для несжимаемой жидкости (2.22) только множителем х/оь н заменой р на Ь(х) в уравнении (7.20). Преобразуем уравнение энергии (7.12). Вводя безразмерную энтальпню торможения: 'а ь + о+ ив В (7.23) роь ьоь 2 1оь В новых переменных граничные условия для скорости запишут.
ся в виде: и=о=О при «)=О; и=и,(1) при 4= . (7,25) Граничные условия для безразмерной температуры (2.20) и (2.21) примут вид: а) для теплоизолированной поверхности — =0 при «1=О; 6=1 при «)=; (726) б) для поверхности, которая поддерживается при заданной температуре: 6 = 6„(1) при «! = О; 6 = 1 при «] =, (7.27) где 6 (1) — заданная функция. Легко видеть, что уравнение (7.24) отличается от соответствующего уравнеция для несжимаемой жидкости только наличием в правой части множителя Ь («), определяющего влияние температуры на изменение физических констант.
При использовании степенного закона зависимости коэффициента вязкости от температуры (7.!1), будем иметь: и, следовательно, — = а («) = « Ь («) = ~ †' ) = «", Ь («) = «" '. (7.28) ~ м ~ оь! Если принять линейный закон зависимости коэффициента вязкости от температуры, например, в форме (7.1!'), то аналогично пол чим (и = 1): у Ь(«) = 1, (7.29) и уравнение (7.24) по форме полностью совпадет с соответствующим уравнением для несжимаемой жидкости. В работе А. А.
Дородницына наряду с (7.11) используется также более близкий к формуле Сатерленда закон Ь(х) = 1+ 0,3(1 — т). (7.30) Как и в 3 3, можно составить интегральные соотношения,' импульсов и энергии в новых переменных. Умножим уравнение., неразрывности (7.22) на и и сложим с уравнением движения (7.20). Тогда получим: <э~ (и ) + ач (по) = па !«+ «оа а (Ь ~ ) .
(7.31) уравнение неразрывности (7.22) умножением на и, приведем к виду: д(из и), д(аиз ) ди дЗ + д~ =" (1 (7,32) пычтем из уравнения (7.31) уравнение (7.32) и проинтегрируем обе части по т) от О до . Используя условия (7.25) и вводя безРазмеРнУю темпеРатУРУ стенки та = Т (Тан полУчим: „~Д ' ) ( — — ',) Ш~ —.и Ц.„~ " ! (7.33) Аналогично введенным для несжимаемой жидкости толщинам потери импульса, вытеснения и потери энергии, введем соответствующие условные толщины (очевидно, отличающиеся по определению от (3.5), (3.6) и (3.15)): (7.34) Отметим, что физическая толщина вытеснения в сжимаемом газе Ь не равна Р, а выражается, как это можно показать, через толщины, введенные по (7.34), в виде: Ь = (1 — аз) ь — ' (йа + а'да* — 5 ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
