Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 81
Текст из файла (страница 81)
При малых сверхзвуковых и дозвуковых скоростях влияние вязкости будет преобладать над влиянием теплопроводности, если число Прандтля о велико, и над влиянием диффузии, если число Льюиса — Семенова 1.е велико. При малых числах о и 1.е и'малых значениях Е влияние теплопроводности и диффузии преобладает над влиянием вязкости. Из уравнений диффузии.(11.33) и энергии (!1.34) можно сделать важные выводы о влиянии безразмерных параметров о, о, и 1.е; на относительную толщину вязкого, теплового и диффузионного пограничных слоев. Приведем уравнения (11.33) и (11.34) к безразмерному виду с помощью соотношений (2.6), (11.37), причем в качестве масштабов для безразмерной координаты у введем для уравнения (11.33) толщину диффузионного пограничного слоя да, т.
е. по- ложим Уг = у эт (11.39) Зтэ Ут = (11.38) ' а для уравнения (11.34) толщину теплового' 'пограничного слоя дг, т. е. положим Тогда уравнения примут, соответственно, вид: где у го м — т г (11.40) (11.41) Так как на основании (2.бш) толщина динамического (вязкост- ного) пограничного слоя определяется формулой то, (11.42) (ад) ( ) Отметим, что при решении системы уравнений пограничного слоя в ряде случаев удобно принять: (11.43) од — — о = 1 Уравнения диффузии и энергии при этом запишутся в виде: (11.44) Зге дно а 1 ~Ге~ ~+ро дх да ду( ду/' (11.45) Легко видеть, что уравнение энергии (11.45) по форме аналогично уравнению энергии при движении несжимаемой жидкости илн газа с малыми скоростями, однако вместо температуры в уравнение входит обобщенная энтальпия торможения 1 .
Следовательно, в этом случае теплообмен при обтекании поверхности определяется не только тепловой энергией потока, но Если в каждом из уравнений (11.33'), (11.34') члены, стоящие в обеих частях, имеют одинаковый порядок, то, следовательно, и химической энергией, причем, если с, = с, то все превышение химической энергии газа во внешнем потоке над химической энергией газа при температуре стенки полностью преобразуется в тепловую энергию. Для нереагирующих газов в уравнение диффузии (11А4) не входит член (йр,„„)р зависящий от химических реакций, и оно по форме также совпадает с уравнением (11Аб).
Из соотношений (11А2) очевидно, что при предположении (11.43) толщины динамического, теплового и диффузионного пограничных слоев одинаковы. Для часто рассматриваемого случая реагирующей бинарной смеси полученная система уравнений может быть существенно упрощена. В этом случае с, + ск = 1, Я, = — (/к = — рРы у), Рта — — Рм = Р, (11.46) /дс,~ где Є— коэффициент диффузии первой компоненты во второй.
Термодиффузией й = О пренебрегаем. Подставляя эти соотношения в уравнения (11.33), (11.34) и учитывая (11.2) н (11.3), получим систему уравнений пограничного слоя для бинарной смеси: ди ди др д / ди 1 Ри + Ро = + (к дк ду Нк ду ~ ду )' — '. (")+41 ) =' ри — +ро — = — ~рР— )+ !(У „, дс~ дс, д / дс~~ дк ду ду ( ду/ (11.47) д/ д1 др /ди1к д Г Х д/ ри — + ро — = и — +(к~ — )+ — [ — — + дк ду дк ~ду) ду ( — ду ср + р0(! — Ю вЂ” "'!(/,— /,) дс'1), ду /' р=р/~Т, г=~р,)~о Уравнение энергии можно записать и в такой форме: д1 д/ др /ди~~ д Г дT дс~1 ри — + ро — = и — + р( — ) + — [) — + (/,— /) р0 — '~.
дк ду Нк ( ду ) ду ~ ду ду) (11.48) Если рассматривается реагирующая атомно-молекулярная смесь, то для энтальпий 1, (атомарной компоненты) и 1, (мо'лекулярной компоненты) получим: т т 1, — ~ с, ЙТ+ 1,„„, 1, = ~ сро дТ, ! = 1,с, + 1 (1 — с,). о о Скорость образования атомов в частице газа для данной конкретной реакции известна из химической кинетики и может быть принята, например, для диссоциирующего газа равной где К, — константа скорости рекомбинации, Кр (Т) — константа равновесия реакции. ф 12.
Иекоторые интегралы уравнений пограничного слоя смеси газов, между которыми могут происходить химические реакции ди ди с'р ' д ! ди 1 ри — + ро — = — — + — (х — ~ дх ду дх ду 1 ду) (12. 1а) др д — „— — О, Р=Р,; (12.!б) Уравнения пограничного слоя при наличии химических реакций, выведенные в 3 11, представляют собой сложную систему уравнений в частных производных, и в общем случае их решение связано с весьма значительными трудностями. Однако во многих частных, но весьма существенных для практических приложений случаях, можно получить некоторые интегралы этих уравнений, позволяющие сделать интересные выводы о распределении энергии, температуры или концентрации в пограничном слое (нли' о зависимости этих параметров от рас;пределения скоростей), не решая полной системы уравнений.
В настоящее время получен ряд таких интегралов. Естественно, что найденные ранее в 36 интегралы уравнений энергии пблучаются из результатов данного параграфа как частный случай. В дальнейшем будем рассматривать'только стационарный пограничный слой и не будем'учитывать влияния термоднффузии. Полная система уравнений пограничного слоя при этих предположениях составляется уравнениями (11.2), (2.13), (10.4), (1!.33), (11,34) и имеет вид: уравнения количества движения уравнение сохранения массы д(ритсс) д(рсф д + ду (12. 2) где т,(х) — радиус тела вращения в меридианной плоскости (з= — О для профиля, з = 1 для тела вращения); уравнение состояния А р,=р,— т, (! 2.3а) р=~р,= рот, (12.3б) где Й = 2„с,йо сг = Р— '; (12.3в) уравнение сохранения массы (-й компоненты смеси ри — + ро — = — ~ — — '~+ (Яр ); де~ дс~ д т И дс;~ дх ду ду 1сх ду7' (12.4) уравнение энергии (ис') ри — '+ ро — ' = — ~= — '+ (х ( 1 — =) + дх ду ду ~ „ ду (, „ ) ду ~- (1 — Ъ) р х ~сф] .
(12.5) где т 7о =7+ ~, 1=Хо,7о 7, =~с,ибТ+(7хих); (12.6) с Уравнение энергии можно записать и в форме (см. (11.17)): ри — + ро — = и — + (х~ — ) + — ~Х вЂ” + р2'„1 — '~, (12.7) д7 д1 Ир /диас д ! дТ дсс ~ дх ду Их ~ду ) ду ( ду ~ ~ ду ~' где, как н прежде, 567 где й — постоянная Больцмана, т,— масса одной молекулы ком- поненты 1, В качестве граничных условий для этой системы уравнений пограничного слоя с учетом химических реакций, кроме условий обтекания: и = о = О при у = О (12.В ) н условий для скорости на границе слоя: и = и,, о -+ О при у-+ со, (12.8б) следует задать также условия для концентрации каждого элемента смеси: (с,) о=с,, (с,)„= си (12.9) (12.10) (т. е.
концентрация на границе слоя должна соответствовать концентрации во внешнем потоке, а вблизи тела соответствовать заданным значениям) и условия для энтальпии: ~е(О) ~оо (12.11) ~е( ) ~оо (12.12) (т. е, значения обобщенной энтальпии торможения вблизи тела н на границе слоя должны переходить в соответствующие значения на теле и на границе слоя). Соответственно, при у = О р=р„, т=т, (12.13) и при у -+ оо р р,, т т,, (12. 14) Кроме того, как и прежде, предполагаем, что 1о=р,(с~ 2'), 1='л(сьч'), О~ =0~(2). "оо "Ро и ох вх 666 .(. Интегралы, дающие зависимость между величинами обобщенной внтальпии и скорости.
Предположим, что на границе слоя Ни, Ых = О. Условие Ни, /дх = О, вследствие уравнения Вернулли, справедливого на границе слоя, которое можно записать в виде: приводит к соотношению: дрв — „=о, «вх (12.15) н, следовательно, первое уравнение (12.10) примет вид: ди ди д ! ди 1 ри — +ро — = — (1« — ). дх ду ду ( ду)' (12.16) Предположим также, что и =и,= 1 и, следовательно, Тогда уравнение энергии принимает вид: 1.е = 1. д/о дго д ! д!от ри о+ро о 1» дх ду ду 1 ду)' (12.17) Сравнивая выражения (12.17) и (12.16), легко установить, что уравнение (12.17) имеет очевидный частный интеграл 1,=1+ и — =аи+Ь„ (12.18) где а, и Ь,— произвольные постоянные, которые следует определить из граничных условий. Воспользовавшись граничными условиями, найдем зависимость между 1о и и в форме: 1о = и + 1о !ов — !ои ив Оиа + то хааа и + 1 2 ив оо» (12.19') (12.20) 569 со=а,1 +Ь„ 36 За«а» на ия где предполагается, что 1 = сопз1.
Интеграл (12.19) можно рассматривать как обобщенный на случай течения смеси газов с химическими реакциями интеграл Кранко (6.8). Действительно, для течения однородного газа с постоянной теплоемкостью 1 переходит в в и из (12.19) получается интеграл (6.8). П. Интеграл»и, дающие зависимость между концентрацией и знтальпией. Если ограничиться случаем «замороженного» течения, т. е. положить в уравнении (12.4) ()во,„„), = 0 и принять и = о, (а значит 1е = 1), то в случае и, = 0 при х = 0 (т.
е. в окрестности критической точки) из сравнения уравнений (12.4) и (12.5) непосредственно следует существование частного интеграла уравнений пограничного слоя где постоянные а и Ь, должны быть определены из граничных условий. Легко видеть, что интеграл такого же вида существует и вне окрестности передней кромки, если наряду с предположениями (баха„), = О, в = ах принять предположение в = 1. Тогда из сравнения уравнений (12.4) и(12.5) ясно, что (12.21) с, = аа1а+ Ьа где постоянные аа и Ь также следует определить из граничных условий. При этом необкодимо выполнение условий 1,„=сонэ! и с, =- сопз(, т. е.
условий постоянства обобщенной эйтальпии торможения и концентрации компонентов на теле. Если воспользоваться вместо уравнений (12.4) соответствующими уравнениями диффузии (11.34'), написанными для концентрации химических элементов, то из сравнения уравнений (11.34') и (12.5) видно, что при указанных выше предположениях в = в, = 1 существуют интегралы вида: (! 2.22) са = аа16 + Ь При этом мы не делали предположения о том, что (Н7„„„), = О. 111. Интегралы, дающие зависимость между концентрациеи вещества и скоростью. Из сопоставления уравнений (12.! а) и (12.4) легко видеть, что при условиях: существуют частные интегралы вида: и с,=с, +(сэ — с,) —, аа ьа и (12.24) а, значит, распределение концентрации составляющих смеси может быть определено по известному распределению скоростей в пограничном слое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
