Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Эти же проблемы возникают в ряде других областей техники, где при- Р= ьР~ (11.1) где р,. — парциальное давление 1-й компоненты смеси, то урав- нение движения запишется в виде: ди ди др ' д Г ди 1 ри — +ро — = — — + — (р — ) ди ду Ни ду ( ду) (11.2) Уравнение неразрывности для всей смеси, вследствие закона сохранения массы смеси, запишется в обычной форме д„(Р и) + д ( Р о) = О, д д (11.3) где ри=Ер,и,, рп=Ер,о,. (11.4) Так как газ неоднороден по составу, то следует учитывать изменение состава смеси в различных участках пространства с течением времени.
ходится рассматривать обтекание различного типа поверхностей высокотемпературным потоком газа. Трудность указанных задач состоит в том, что все физические параметры смеси газов существенно зависят от состава смеси и температуры, а система уравнений задачи должна включать в общем случае наряду с уравнениями движения и энергии также и уравнения диффузии н химической кинетики. Поэтому даже при введении упрощающих предположений аналитическое решение получающейся системы уравнений представляет большие трудности, и для решения используются быстродействующие электронные счетные машины.
Однако в некоторых случаях из анализа уравнений можно получить ряд выводов, облегчающих понимание физических процессов, происходящих в пограничном слое. Мы будем рассматривать в дальнейшем ламинарный пограничный слой, учитывая, что полученные результаты могут быть частично использованы н при рассмотрении турбулентного слоя. Выведем основные уравнения пограничного слоя с учетом химических реакций для плоской задачи. Среднюю плотность, скорость, давление, энтальпию н т.
д. для смеси газов будем по-прежнему обозначать р, ч, р, 1 и т. д. Соответствующие величины, относящиеся к 1-й компоненте, входящей в состав смеси, будем обозначать рь м и рр 1, и т. д. Уравнения движения и неразрывности для смеси газов записываются так же, как и для однокомпонентного газа, имеющего плотность н коэффициент вязкости, соответствующие смеси газов, а давление — равное сумме парцнальных давлений компонент.
Следовательно, если Состав смеси характернзуют концентрацией с,. каждой компо.' центы; определим массовую (весовую) концентрацию как отношение массы (веса) этого компонента ко всей массе (весу) газа в данном элементе объема: с = —. Рг Р (11.5) Здесь р,. = п,т,, р= Ер,. = Еп,т,, где и,— число молей в едн нице объема, Рй,— молекулярный вес. Если газовую постоянную для 1-й компойенты газа обозначить через )г,.
и принять, что температура всех составляющих Т, равна равновесной темпера. туре смеси Т, то уравнение состояния 1-й составляющей будет иметь внд (газы предполагаются совершенными): р; =)г;р; Т. (1! .6) Тогда, пользуясь (11.1) и (11.2), получим уравнение состояния смеси в форме: р = Ер, =(Ей,.р,) Т= (Ес,й)рТ =ЙрТ, (117) т. е. в форме, полностью совпадающей с уравнением состояния для однокомпонентного совершенного газа, если величину Я= Ес,й, (11.8) принять в качестве газовой постоянной смеси газов. Выведем уравнение диффузии.
Напомним, что диффузией называется выравнивание концентрации вследствие молекулярного переноса веществ смеси нз одного участка жидкости в другой; это необратимый процесс, являющийся наряду с теплопроводностью и вязкостью одним из источников диссипацин энергии в газовой смеси. Уравнение диффузии представляет собой уравнение переноса 1-й компоненты смеси газов.
Для простоты предположим, что диффузионный поток )-й компоненты можно приближенно представить формулой: ~т Ь Ю,,„ф, = р,. (чР— ) = — р Р,(йгай с,.+ — с, ягай Т+ с,.— „агайр) (1 1.9) , где чР— абсолютная скорость 1-й компоненты газа, ч — скорость газа, Р,. — коэффициент диффузии, определяющий диффузионный поток йрн наличии только градиента концентрации компонент смеси оо а йгР, н й~Р,— коэффициенты термодиффузии н бародиффузии, которые определяют соответственно диффузионные потоки, возникающие вследствие градиентов температуры и давле ння, общьх для всех компонент смеси.
(Более точная формула для 0м,э в случае многокомпонентного газа приведена, например, в [2) ) Проектируя это векторное равенство на направление, перпендикулярное к направлению скорости в пограничном слое, получим: Фу=рг(п~ о) РЙ(д +с! д Где~ мт дТ1 (11.10) д + с ( хмм); дЕ~„дт.,х (11.11) нли (11. 12) где (чх„„„),.— отнесенная кединице объема секундная массовая скорость образования 1-й компоненты в данном элементе объема вследствие химических реакций. Воспользовавшись уравнением неразрывности (11.3), перепишем окончательно уравнение диффузии в форме: Р и — '+ р о — = — ~ р Р. ~ — + с — )~ + ()т' „„)..
(11.13) дтч де~ д 1 1 дс~ мт дТ~ ду ду ду ~ г~ ду с Т ду / хи к' Выведем уравнение энергии для пограничного слоя смеси газов с учетом химических реакций. При рассмотрении течений с химическими реакциями удобно определить обобщенную энтальпию единицы массы 1-й компоненты смеси по формуле: ~~ = (,) ср ~" Т)х+ кхмм)ю' > (11. 14) где принято, что с =ср(Т). тч Следовательно обобщенная энтальпня единицы массы (-й компоненты смеси 1,.
состоит из теплосодержания втой комт поненты газа 1,. = (~с~, 4Т), и химической энеРгии (1х„„),, кос торую нужно затратить для получения данного вещества нз эле- гд. мы пренебрегли последним членом, учитывая, что в пограничном слое др!ду=О и, следовательно, влияние бародиффузии можно не учитывать. Поток 1-й компоненты через площадку, перпендикулярную осн у, равен Е, = рос; + Я,.х„ф„, через площадку, перпендикулярную оси х, равен Е,„= рис, (так как мы пренебрегаем диффузионным потоком вдоль направления основной скорости движения).
Уравнение баланса будет иметь вид: принимая, что теплота образования каждой компоненты смеси (1 „„),. — постоянная величина, получим: д1; д дТ вЂ” —,, Ис,, (~+(~х..),1 =с„ (11.18) (11.19) будем иметь; д1 ч~ дсч — дТ вЂ” =~„1, — '+с —. дх Л~ дх Р дх ' (11.20) Аналогично, д1 тх дгч — дТ вЂ” = у„У вЂ” '+с— ду 2~ ду ду (11.21) Подставляя в уравнение энергии (11.16), найдем, что: (11.22) Подставляя выражение ~~~„( ри — + ри — '~ из уравнения дифдс~ дс; т дх ду ! фузнн (11.13) и раскрывая выражение производной в последнем члене, получим: 559 цводя условный коэффициент средней теплоемкости для смеси при постоянном давлении После приведения подобных членов запишем уравнение эиер. гни в форме, непосредственно содержащей абсолютную темпе. ратуру: /дс/ Ут дТтдТ вЂ” ь7/((Рхнм)с+ Ест Рс//( ду +с/ т ду ! ду ° (11.23) Уравнение энергии можно записать и через обобщенную энталь .
пню 7. Для этого в уравнение энергии в форме (11.17) подста. вим выражение дТ)ду из формулы (11.21): дт 1 д/ 1 т дс, ду с ду „~// ду Тогда получим: д/ д/ др / ди тс д / Х д/ 1 Ри — +Ро — =и — +Р( !+ (='а !+ дх ду Нх ( ду ! ду ( с ду ! или, приводя подобные члены, с + д [Х( Р 1)/ ) 7/ д ) + д [ Р~~ 1/О/с/ — 1. (11.24) Введем обобщенную энтальпию торможения газовой смеси' с учетом химических реакций 7с -7+ —, (1 1.25) Подставляя в уравнение энергии в форме (11.22) величину с(р/с(х из уравнения движения (11.2) и производя те же преобра.
зования, что и при выводе уравнения энергии для однородного газа без химических реакций (см. 2 2), получим уравнение энергии, выраженное через обобщенную энтальпию торможения, д( с ) д/, д/, д /Л д/,~ д ри — '.4 Ро ' — — — ' +— дх. ' ду ду (с ду! ду ~ т~Г / ~7, 1 Вводя обозначения для безразмерных параметров, входящих в уравнения диффузии (11.13) и энергии (11.26): число Прандтля с И со Х диффузионное число Прандтля (число Шмлдта) сс — — —, р г!, (11.27) (11.28) число Льюиса — Семенова — р ссср! (11.29) связанных между собой формулой ду 1„„ду — [!~!с,[[! — =']"']). О!з4~ В ряде случаев, особенно при исследовании течения в пограничном слое газа, взаимодействующего с материалом обтекаемой поверхности, удобней рассматривать уравнение диффузии, ~вписанное не через концентрации компоненты смеси сь участ- 37 засаа ра ссз 56! с = адГео (11.30) получим окончательное выражение для уравнений диффузии и энергии в виде: дс~ дс; д ( р дс~ 1 +Р" = [ д /+ дх дУ ду [ с У / + —, рс,(),— '+((у „) д! [!Х !!!! [[! =] д! ! ! у ! ][.
~!!.32~ Во многих газодинамических задачах можно пренебречь термодиффузией. Тогда, полагая в уравнениях (11.31) и (11.32) йг = О, получим: вующей в химической реакции, а через массовые концентрации химических элементов в единице объема: с Р» »= Р (11.5') где р» — плотность химического элемента, участвующего в реакции, Если не рассматриваются ядерные превращения, то в рассматриваемом объеме масса каждого элемента, участвующего в реакции, а следовательно, и его концентрация, должны оставаться неизменными. Если обозначить через Ь,! ту часть массы компонента смеси 1, которую составляет химический элемент К то соотношение между концентрацией химических элементов и концентрацией компонент смеси может быть записано в форме: с» = к' Ь„. с1 .
Поскольку в процессе химической реакции, как указывалось выше, масса участвующего в реакции химического элемента не изменяется, то С(С» = ~Р Ь», С(С, = О, д = ~ ЬМ вЂ” = — Ж"кии)! = 6 дс» дс! 1 » —,. и г д1 ! и д1 р (11.33') дно дТ дс! ! д ('и» ду Р ду , ! ду 2 ду 1, 2 — =с — +~1 — + — — ~ — ). (11.35) Тогда, подставляя значения чиселс, с„Ее, из формул (11.27)— (11.29), найдем, что правую часть уравнения энергии (11.34) можно записать так: (11.36) Легко видеть, что первый член этого соотношения определяет влияние теплопроводности, второй †трен и третий — диффузии.
Если в полученном соотношении перейти к безразмерным переменным, введенным ранее формулами (2.6) — (2.6"'), и ввести безразмерные переменные (где индекс Ь соответствует некоторой точке потока) (11.37) с с7 с! си 1! с Т,= — ', сн= —, 7п= — ' р» 1» ' си' ' 1, и, "следовательно, уравнение диффузии и выражение (11.25) могут быть записаны в виде: ) дс» дс» д 1 и дс» 1 ри — + ро — = — ! — — ), дк ду ду 1с» ду l' о легко выразить относительное влияние членов, входящих в правую часть уравнения энергии в виде отношений: тепловой поток вследствие теплопроводности Х дТ(ду 1 ри ди! ду работа вязких сил дс; уХг!Е!! д„' передача энергии вследствие диффузии тепловой поток вследствие теплопроводности Х дТ!ду аа — 1.е! передача энергии вследствие диффузии ! работа вязких сил !.ег Е 2 где параметр Е = — определяется числом М внешнего пот!э!э ка, Для совершенного газа с постоянной теплоемкостью можно написать Так как для реальных газов, в большинстве практически интересных случаев, числа о и 1.е порядка единицы, то следовательно, при больших сверхзвуковых скоростях (Ма,~ 10) распределение температур в пограничном слое будет в основном опре-, деляться влиянием вязкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
