Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 82
Текст из файла (страница 82)
При этом мы предположили, что с, =рона!. Аналогично, рассматривая уравнение для концентрации химических элементов (1!.34'), можно показать, что при условиях — — исаа ваа в = ох = 1.е = 1, —, = О,— „= 0 существуют интегралы, свяВх ' ах 570 с, = а,и+ Ь„ (12.23) 1 где постоянные аа и Ь, определяются из граничных условий и, следовательно, зывающие отвосительную концентрацию отдельных химических элементов и скорость газа; эти интегралы имеют внд: с, = п,и+ б„ где постоянные следует определить нз граничных условий.
При этом мы не требуем выполнения условия [И7„„„), = О. Отметим, что в ряде частных случаев, которые легко устанавливаются из сравнения условий, накладывавшихся на течение при выводе полученных выше интегралов, возможно существование одновременно нескольких интегралов системы уравнений; При этом в большинстве случаев задача расчета пограничного' слоя сводится к нахождению распределения скоростей в пограничном слое. Распределение энтальпии (температуры) и концентрации вещества получается пересчетом по известному распределению скорости. Следует еще раз подчеркнуть, что выведенные в этом параграфе соотношения будут являться истинными интегралами системы уравнений, обеспечивающими полезную информацию о характеристиках течения, только в том случае, если они удовлетворяют граничным условиям рассматриваемой конкретной задачи.
В частности, они справедливы только при условии, что на теле значение концентрации с, или энтальпии 1 , а в некоторых случаях значения с, и 1, — постоянны [27). д 13. Сведение системы уравнений пограничного слою и системе обыкновенных дифференциальных уравнений; Автомоделвные решения Приведенная в з 11 и 12 система уравнений пограничного слоя представляет собой сложную систему нелинейных уравнений в частных производных.
Однако существует большой класр задач, представляющих весьма значительный практический интерес, для которых прн определенных частных предположениях система уравнений пограничного слоя может быть сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Прежде чем перейти к отысканию таких случаев течения, т. е. к отысканию так называемых автомодельных решений, преобразуем уравнения, вводя новые независимые переменные и искомые функции.
Воспользуемся преобразованием Лиза [211, представляющим комбинацию преобразования Дородницына и преобРазования Степанова — Манглера. Запишем это преобразование в форме: к к о $(х) = ~р,и,р, ~о ь(х, ь)(х, у) = — о ~ Р Ну, (13.1) или д1 м дч "орсо — =ри(ьс Их ь ь ь о ' ду ры (13.2) 6 (х) = ~ р, 1ь, и, с с(х, к) (х, у) = — ~ — 'ь(у. з иь Рь Г сор хь о Отметим, что в некоторых случаях более удобно включить в параметры преобразования значения величин не на границе слоя, как в (13.1), (13.2), а на обтекаемой стенке. Тогда преобразование (13.1) примет вид: к У $(х)=~р р и,~о ь(х, 4(х, у) = — ') рс(у. (13.1') 1'к1 о о Введем в качестве безразмерных зависимых переменных величины: — 1, 1'И)= — „"; о (13.3) И= у го оь (13.4) (13.5) сь с н где $ и о) — новые независимые переменные; значение з = 1 для случая обтекания осесимметрнчных тел, з = 0 для плоского пограничного слоя. Величины с индексом д соответствуют внешней границе пограничного слоя. Как следует из результатов 5 10, этим преобразованием следует пользоваться при расчете пограничного слоя для плоских и осесимметричных течений при д((с„в том числе и для течений в окрестности критической точки затупленного тела.
Для случая обтекания тонких (дс/ду=1) осесимметричных тел, при произвольном значении д/с„следует пользоваться несколько видоизмененным преобразованием вида: д д дЕ д дь м( д д дЧ1 — = — — + — — =рри г ( — + — — (, (!36) дх дЕ дх дг дх ь ь ь о(дЕ дь дх)' д Риь4~ д (13.7) ду у.-Е дч уравнение неразрывности принимает вид: ро = — г ~ — ' + )Г2Š— — ). — */ь(Е д(Р'217) — дч д(1 о 1дх дЕ дх дЧ! (13.8) Конвективный оператор, стоящий в левой части уравнений дви- жения, диффузии и энергии, запишется так: ри — + ро — = ри р р.
г ~ — — — — — — — — ~, (13.9) д д г ~где д др д 1 д ь дх ду ь ь ь о1дЧ дЕ дЕ дь 2Е дх!' д! дт а выражения вида — ~(г — ), где й (х, у) — некоторая функция ду ( ду)' от х, у, стоящие в правой части уравнений (12.1), (12.4), (12.7), принимают в новых переменных следующую форму: д ~ д) Рьго д ( д) (13.10) Применяя операторы (13.9) и (13.10) к уравнениям количества движения, уравнениям неразрывности для каждой компоненты смеси, уравнению энергии и учитывая, что в силу выбора о при преобразовании общее уравнение неразрывности удовлетворено автоматически, получим преобразованную систему уравнений: уравнение количества движения (13.11) где М = РРь(рьрьь' уравнения неразрывности для составляющих смеси д ( Ф дгь 1 дгь д/ о(п ои 2Е (Ыгь)г„„ь(х +Р йг ' +— дь (, од дь/ до ь дь И!пЕ Риь сьь ДЕ =2Е~ — — — — — ); / др дгь др дгьь ~дч дЕ дЕ дч)' (13.12) 573 Переход от координат х, у к координатам Е и г) совершается с помощью соотношений: уравнение энергии (13.
13) Граничные условия для этой системы уравнений запишутся еле. дуюшим обрззом: а) на границе тела (на стенке), т. е. при у = О, т! = О, з,(0) = г, = а— "", 7'(0) = Гз, — (0) = О, (13.! 4) д(0) =у„,(Е) или за (0) = О. Первое условие для д соответствует заданному распределению температуры вдоль стенки, второе условие — случаю теплоизолированной стенки; б) на внешней границе пограничного слоя (при у-» о, ч- о) .г,-»1* а»1' у-»1* д»0' 7 '0' (13'15) Теперь можно установить, при каких предположениях возможно существование автомодельных решений, т. е.
существование фУнкций 7, д, ге зависЯщих только от одного паРаметРа т! и, следовательно, имеющих, согласно формулам (13.3) — (!3.5), вид: (13.16) и = и, (Е) ~'(ф с, = си г, Й), (з — 7м Д(ч) Очевидно, что при условиях (!3.16) уравнения упрощаются (правые части обращаются в нуль) и их можно записать в таком виде: (13.17) (13.18) 1)~~~~ си — 2 + Оь Д (13.19) где штрихи означают дифференцирование по переменному 4.
! Эта система уравнений сведется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, если будут выполнены условия ооь ь со!ь ь с оь а) — — = соп51; — —.' = соп51, — —. = соп51, оь Ж ' оа А= ' lоьлв= 1(пгким)С 1(СГсьим)С ось' 2 — соп51 Рь оь Рьгьось Рь оь с)1 иь )сон ' = соп51, — = соп51, )оь ' )оь и если б) — и —, числа о и 1,е будут функциями только от Рь )с Р соь в) хс ($) = соп51, зсщ ($) = соп51.
Некоторые из условий (а, б) перестают быть необходимыми, если или о=1 или 1е=1. В конкретных случаях течения уравнения упрощаются и не все приведенные условия должны выполняться одновременно. Отметим, что большинство условий автомодельности выполняется, если потребовать, чтобы термодинамические параметры не зависели от координаты 1 в области вне йограннчного слоя и на границе тела. Заметим также, что для случая однородного газа при отсутствии химических реакций и для случая равновесного течения бинарной смеси атомов и молекул уравнение диффузии можно не рассматривать, и число условий, необходимых для существования автомодельного решения, значительно уменьшится. Очевидно, что полученные в й 12 интегралы уравнений пограничного слоя могут быть использованы при решении системы уравнений (13.17) — (13.19).
Соответствующая форма этих интегралов получится после приведения их 'к безразмерному виду с помощью соотношений (13.1), (13.3) — (13.5). В книге У. Хейза и Р. Пробстина [22) систематизированы случаи реальных течений, при которых выполнены условия автомодельности. При этом рассматривается равновесная бинарная смесь атомов и молекул, в которой скорости рекомбинации настолько велики, что концентрация каждой компоненты определяется единственным образом, если заданы любые два независимых термодинамических параметра (например, Т и р). Перечислим вкратце эти случаи. 1.
Решения при постоянном давлении, т. е. случай постоянства ссь и рь вдоль пограничного слоя. К таким течениям относятся, например, обтекания клина и конуса с присоединенной ударной волной. 2. Решения в окрестности точки торможения, например, вблизи точки торможения тупоносого тела (для этого случая равновесность не обязательна). 3. Гиперзвуковые течения (Мо -о, и~о/хо! = 2). В этом случае существуют автомодельные решения в предположении, что газ совершенный и неднссоциирующий, а = 1 и давление пропорционально х" = () г„е(х)о.
ф 14. Ламинарный пограничный слой в случае диссоциируюи4его газа с,= — =а, с= — =1 — а. РА РМ (14.1) Р Р Уравнения состояния для атомов и молекул соответственно при мут внд (см. (12.3а)): (14.2) х й и из соотношений (12. Зб), (12.
Зс) найдем, что Я = (1 + а)— 2 ил' (14.3) Уравнение диффузии запишется в виде (см. (!1.46), (12.4)): ри — + ро — = — (Р — ) + (В'„„„)л, (14.4) Уравнения неразрывности и количества движения не изменятся. Уравнение энергии запишется в виде (см. (11.48)): дго дго д Гн дг / !! ! да' ри — ' + ро — ' = — ~ — — + (х (1 — — ~ — —— дх ду = ду ~ -, ду ~ †, ) г ду г 1 до ! 1~ РГ!((л — тн) — ~, Ге ду ~' (14.5) илн д! д. др д Г дТ до 1 ри — + ро — ' = и — + — ! Х вЂ” + р1)(1л — !и) — 1+ дх ду дх ду ~ ду ду~ + ®' (14.6) 76 Рассмотрим задачу о ламинарном пограничном слое при обтекании тел потоком диссоцинрующего газа.
Предположим, что газ состоит из молекул и атомов одного и того же химического элемента (например, О, и 0) и возможны только реакции диссоциацни и рекомбинаций. Тогда можно записать массовую концентрацию атомов и молекул соответственно в виде (см. (11.46)): где Г т ! = а!л + (1 — а) 1м !л = ) ср г(Т + (!,им)л, 1м = ) с, г(Т, (! 4.7) р.
= 1л (а, Т), Л = Л (а, Т), ЕУ = Р (Т). Граничные условия имеют вид: р=р, Т=Тии 1=1 !о =1о и=О, о=О, а=а при у=О; р-+ р,, Т-+ То, 1-+ 1м !о-и !оо, и-~.и,, о-иО, а-+а прн у-+ аа. (14.8) (14.9) Применяя к полученной системе уравнений преобразование (13.1), приведем ее к виду: (14.10) Ф, !., 2ця ~~оь а1 1 о гоо где 1 — а М(~) ! — ао ' зл(и1) = —; ал ' (14.13) а !, у, й( определяются, как и прежде, соотношениями (14.14) 577 таи ках (1аим)м = О (1иим)л 2, ь) — ЭнеРгин ДиссОЦиаЦИИ В МА одной молекулы. Следовательно, для случая диссоциирующего газа надо из системы уравнений (12.1а), (12.16), (12.2), (12.36), (14.4) н (14.5) или (14.8) определить шесть неизвестных и, о, р, Т, р и а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
