Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 76
Текст из файла (страница 76)
рис. 124). Таким образом, для решения задачи о течении в пограничном слое следует рассмотреть также конвективную теплопередачу (вынужденная конвекция), воспользовавшись уравнением энергии и соответствующими граничными условиями. В й 4 был рассмотрен простейший случай обтекания полу- бесконечной плоской пластины изотермическнм потоком при малых скоростях.
Если поток неизотермичен, например, если температура пластины поддерживается постоянной и равной Т ~Т, то решение, изложенное в в 4, следует продолжить с тем, чтобы определить распределение температур в потоке и теплопередвчу. Будем предполагать, что пластина поддерживается при постоянной температуре и что перепад температур Т вЂ” Т не оказывает ощутимого влияния на вязкость и плотность жидкости.
Тогда граничные условия для температуры определятся соотношениями (2.20), а уравнение энергии (2.15) примет вид: дт дт х д'т и (ди 1~ и — +о — = — —,+ — ~ — ~ дс ду с,р дус с,р ~ду) и т ° дт ис — + — (с — = — с — ~р ' дчс 2 дч сс (5.6) Подставляя в это уравнение значения и и о, определенные по формулам (4.6), получим для определениятемпературы Т(ч) дифференциальное уравнение: $ $ (5.7) и Т(тьа) — Т = (Тс,— Т )01(тьа)+ 2 ВФ(тьс) 518 Решение этого уравнения удобно представить как комбинацию двух решений (8): (5.8) где В,(~1,а) — решение однородного уравнения Е,' + — . р Е,' = 0 ! 2 (5,9) с граничными условиями 6~ —— 1 Р т1=0, 8,=0 р ~1=, (510) а 6,(т),е) — решение неоднородного уравнения К + 2 <Рей,= — 2о~Р"' (5.1 1) с граничными условиями 6, =0 при а=0, 6,=0 при т1= (5.12) Воспользовавшись тем, что по (4.7) 2т 9= —— и, следовательно.
ч„ — аз 3 Г т- т" (ч! 3 т" = т" (о!' получим выражение 9,(та е) в форме: ) (т"Ы!'Фч а) = ) !т"И)! Ач о 6.('! (5.13) 3!9 Таким образом, функция 6, дает решение задачи об охлаждении пластины (при заранее заданной постоянной разности температур Т вЂ” Т и без учета тепла, возникающего вследствие трения), а функция 9, — решение задачи о распределении температур при условии, что на стенке отсутствует теплопередача. Решение уравнения (5.9) записывается в виде: Градиент температуры на стенке (о(=0) ственно из формулы (5.13) в виде: слв,~ (т "(ОВ' — — =р (а)— ~ лч ~,=о ~(т"(чН нч получается непосред- 10,3321' (5.14) ) (т"(ч)1' «ч о Функция рд(о) вычислена Польгаузеном, и ее значения приведены Ртаблице 4.
В этой же таблице приведены значения рд(о), подсчитанные по интерполяционной формуле: ~д (о) ж 0,332оца. (5.15) аблииа 4 до,о ~о,о д,д ьо о,о о,а ол о,о 0,7 30 0,838 0,71 0,82 0,276 0,293 0,307 0,320 0,332 0,334 0,843 0,280 О,Ю4 0,313 0,320 0,332 0,343 0,830 рд(а) 0,332а'С' Следовательно, д(х) ж 0,332 Л у' о ~l — (Т вЂ” Т ), Я ж0,664 ЬЛу'о '1/Ке (Т вЂ” Т„),Где (5.18) 320 Поток тепла от пластинки к жидкости на расстоянии х от передней кромки равен: с)(х) = — Л( 8 ) = — Л фl — ~ ~ ) . (5.16) Теплоотдача в единицу времени с одной стороны пластинки шириной Ь и длиной 1 равна: с Я = ЬО) с)(х) с1х = 2ЬЛ )с — ~ — — ) . (5.17) д с' (сс ( с(т 'д Если не учитывать тепло, возникающее вследствие трения, т, е. в уравнении (5.6) пренебречь последним членом, то в соответствии с решением (5.8) получим: Т(() — Т =(Т вЂ” Т ) Е ('О).
Учитывая значение температурного градиента на стенке (см. (5.14) и (5.15)), будем иметь: ( — "„') =(Т,„— Т„) ("— „') = ~д(о) (Т,.— Т,) яю = — 0,332 7"с (Т вЂ” Т ). или, переходя к безразмерному критерию Нуссельта (5.4), получим: Хц = „= 0,664~~/ уре (5.19) ы —,(т — т Перейдем к отысканию решения уравнения (5.11) при граничном условии (5.12). Применив к этому уравнению метод вариации постоянных, найдем: Как было показано выше, а ~ — Иа поэтому решение (5.20) можно записать в виде: (й о) 2о ~ ((ро(~)]а ~ ~~ро(Ч )]а — о До]а] До], (5.21) о Следовательно, в результате выделения тепла вследствие трения температура стенки повышается до значения Т„определяемого по формуле (5.8) при 6,(о]) = 0: Т,— Т = — 6,(О,о) = ~ ~,(о), (5.22) с оо 2о а ' 2о а где ~а(о) = 6 (О, о) = 2 о~((ао)о Ц(~ро)а — а((о],~ г] .
(5,23) о ЗначениЯ фУнкции йа(о) были вычислены ПольгаУзеном и пРиведены в табл. 5 вместе со значениями р„определенными по ннтерполяционной формуле ра ж опз. Таблица б 52! Распределение температуры в задаче об адиабатической стенке можно представить в безразмерном виде: т,(ч) — т т,— т = р,(.) Это распределение изображено на рис. 129 при различных числах Прандтля а. Используя решения (5.13) и М (5.2!), получим из (5.8) общее решение уравнения (5.7) для слуая чая заданной разности темпера- 4Р (Ф а й2 йе ~-7 С гю Рис, 1ЗО г Ряс.
129 тур между стенкой и внешним течением (Т вЂ” Т ): Т (а) — Т, = 1(Т,„— Т, ) — (Т, — Т, )) 6~ (т), а) + и + — 2Е.( 1,.), нли в безразмерной форме в виде: Т вЂ” Т ~ 2 ~з(о)~6~(ть з) + 2 Оя(Ч'з). (5.26) Это распределение для различных значений температурного критерия: ч (т,„— т )с, приведено на рис. 130 (ч=0,7, воздух).
(5.27) 522 В этом случае температурный градиент на стенке равен — ) = (҄— Т,) В, (О, в) = — (Т, — Тд р,(в) = (.)-- лги ач а = — 0,332 т/ а (Т вЂ” Т,). (5.28) Здесь Т,— адиабатическая (равновесная) температура стенки, которая в задаче об адиабатической стенке определяегся формулой (5.22), или, с учетом соотношения (см. табл. 5) ц(в) = вцз формулой Т,— Т = сиз 2ср откуда Т,=Т (1+в'и г 1=Т,(1+вч 2 М ). (5.29) 2срт д(~) = 0,332Л~I о 1/ 1~ (Т вЂ” Т,), »х Я = 0,664ЬЛ 1/в )/Ке (Т вЂ” Т,).
(5.30) Следовательно, тепло, возникающее вследствие трения, существенно снижает охлаждающее действие обтекающей пластину жидкости. Так как для газов число Прандтля близко к единице, то представляет особый интерес случай в = 1. Легко видеть, что в этом случае из решения задачи об охлаждении без учета трения (5.13) получим: т — т В,(4) = —, = 1 — Р ('ч) = у или т — т сг = т — т~' (5.31) В этой задаче, при числе Прандтля, равном единице, профи- "и скорости и температуры в пограничном слое совпадают. Зтот результат можно было получить непосредственно из рас~мотрения уравнений количества движения (4.1) и энергии (5.6). 523 Выражение в'П в формуле (5.29) называется коэффициентом восстановления температуры и обозначается через г. Подставляя выражение (дТ»гЬ»))„определенное формулой (5.28), в выражения для д(х) и Щ найдем местный и полный потоки тепла: Действительно, если в уравнении энергии (5.6) пренебречь членом р(ди/ду)', т.
е. теплом, возникающим вследствие трения и учесть, что предположение а = 1 по существу означает, что между физическими характеристиками жидкости существует со- отношение р т — = —, или =а, р арр ' где а — коэффициент температуропроводности, то уравнения (4.1) и (5.6) и граничные условия (2.18), (2.19) н (2.20), записанные в безразмерных величинах: и т — т и= 1, и 6~= Т вЂ” т* 1 1 Ип = — сгКе ° ~г(а) ж — с,Ке оч, 2 (5.32) или, при ч =' 1, 14п = — с Ке. 1 У (5.33) Из соотношений (5.32) и (5.33), пользуясь формулой (5.5'), получим, соответственно: я = — с~а пь 2 (5.32') и при а=1 51 = — с .
1 (5.33') В случае задачи об адиабатической стенке, полагая а = 1 в формулах (5.21), (5.23), (5.22), будем иметь: еа(1Ъ 1) = 1 — тл(Ф 12(1) = 62(0,1) = 1 (5.34) из Р Следовательно, при продольном обтекании плоской пластины газом со скоростью У и числом Прандтля е = 1 температура пла- (5.35) 524 станут тождественными, так как значения и и ()г изменяются от нуля на стенке до еди:ицы на границе пограничного слоя. Тогда очевидно, что должна существовать простая связь между коэффициентом сопротивления и коэффициентом теплоотдачи (числом Нуссельта) или числом Стэнтона при обтекании плоской пластины газом с числом Прандтля а = 1. 1 Действительно, сравнивая формулу (4.13) для сг и формулу (5.19) для числа Ип, найдем: тины повышается вследствие влияния трения на величину, равную повышению температуры в критической точке тела при адиабатическом торможении набегающего потока.
5 6. Интегралы уравнения энергии для пограничного слоя Как было указано в предыдущем параграфе, в некоторых частных случаях можно сделать интересные выводы о распределении температуры в пограничном слое, не решая полную систему уравнений. Рассмотрим случай стаиионарного течения газа с большими скоростями при числе Прандтляь = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
