Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 73
Текст из файла (страница 73)
граничного слоя сжимаемого газа и поперечная скорость в слое убывают с ростом числа Ке,. Действительно, имеем: (26 ) 1~д Отметим, что при обтекании тел потоком с дозвуковой скоростью на бесконечности ударная волна не возникает, и в этом случае ° в качестве характерных масштабов для скорости, плотности и т. д. следует принять значения этих величин в набегающем потоке, т. е. на бесконечности. В случае сверхзвуковых скоростей обтекания в качестве характерных параметров можно принять значения . этих величин в некоторой определенной точке за ударной волной. Если известна форма ударной волны, то эти значения получаются по заданным параметрам в набегающем потоке из условий на волне. В качестве масштаба давлений для удобства примем удвоенный скоростной напор, т.
е. положим: (2.5") «мо Учитывая, что нас интересует случай больших значений чисел Ке„сохраним в полученных уравнениях только члены наивысшего порядка. Это можно сделать, например, положив 1Яеи = 0 и считая остальные величины конечными. Тогда из уравнения (2.2") получим: — = О. др, ду, (2.7) Следовательно, для больших значений числа Рейнольдса можно пренебречь изменением давления поперек пограничного слоя, а значит, в плоском пограничном слое ди, ди1 ди, ! др1 ! д 7 ди1 1 — +и,— '+о,— '= — — — '+ — д д~, 1дх, ~ду, М дх1 М у,(, у,/' (2.8) (2.9) (2. 10) 1 ум, (2.11) уравнения по- искривленного Возвращаясь к размерным величинам, получим граничного слоя для двумерного обтекания слабо профиля: ди , ди , ди д, +ид, +оду (2.12) д (2.14) 498 Таким образом, при решении уравнений пограничного слоя в обычных условиях можно принимать давление на внешней границе слоя равным давлению на поверхности тела при обтекании идеальным газом.
Учитывая зто соотношение и полагая Реи = , получим уравнения пограничного слоя в сжимаемом газе в безразмерной форме: + (й)'. р = рот. (2.15,' (2.16) уравнению энергии можно придать другой внд. Для этого подставим в формулу (2.15) значение — из (2.12). Проводя др элементарные преобразования, получим: р '(д ( с Т + 2 ) + и д ( ср7 + т ) + о д ( с Т + 2 ))— Прибавим н вычтем из правой части выражение д( — ")~ 4 тогда найдем, что ( срТ + ) + и ( срТ + ) + о (срТ+ )1 и~ 1 = '„(-' —,„(,т-; ~)!-;- '(р( ~ — —,') — (ср7+ 2 )~ + ( — — 1 ) — ~ у, — ~ . (2.15') Если ввести энтальпию 1 и полную энтальпию торможения определяемые выражениями: (~Р1 А = срйТ, Йо = ср!17 + Н ( 2 ) = срйТр (следовательно, при с = сопз( энтальпия и полная энтальпня торможения будут равны соответственно произведению коэффициента с на абсолютную температуру и на температуру торможения) в формулы (2.15) и (2.15'), то уравнение энергии примет вид: 33" ! д1 д(, д1! др др ! д~' д(! (ди'1~ о ( — -! и ' о — ) = + и — + — — (р.
— ) .+ р( — ),(2.!5") !, д! дх ду! д! дх ' аду(, ду/ (, ду) ' или + а (г( ) а ~ а~1" а 1+( 1)а (на ) (215 В случае обтекания сильно искривленного контура необходимо учитывать влияние центробежных сил, возникающих вследствие искривленности линий тока.
Сохраним, как и прежде, обозначение х для координаты вдоль обтекаемого криволинейного контура и обозначение у для координаты, нормальной к контуру. Так как центробежная сила направлена по нормали к контуру, то она войдет только в уравнение движения в проекции на ось у. Следовательно, для случая искривленного контура система уравнений пограничного слоя (2.12),(2.14), (2.15), (2.16) сохраняется, и только уравнение (2.13) надо заменить уравнением 'др ри~ (2.17) ау к-' где Й = Й(х) — радиус кривизны стенки. При этом предполагается, очевидно, что радиус кривизны профиля Я(х) велик по сравнению с толщиной пограничного слоя и не претерпевает резких изменений.
Следовательно, поперечный перепад давлений имеет теперь порядок единицы, в то время как для плоской стенки он имел порядок а. Разность же давлений в точках непосредственно возле стенки н на внешней границе пограничного слоя имеет порядок 8, что дает право принимать давление р постоянным в пограничном слое и для случая искривленной стенки. Поэтому, если радиус кривизны стенок не претерпевает резких изменений, то и в случае криволинейных стенок можно пользоваться уравнением (2.13) вместо (2.17). Полученная система уравнений пограничного слоя все еще является нелинейной, и для ее решения предложен ряд приближенных методов, некоторые из которых будут рассмотрены в настоящей главе. При решении системы (2.12) — (2.16) следует.
удовлетворить граничным условиям на контуре и условиям непрерывного перехода параметров в пограничном слое в параметры внешнего потока на внешней границе пограничного слоя (условиям сопряжения). На внешней границе слоя, при у=о, составляющая скорости и должна переходить в составляющую скорости и, внешнего течения, а температура Т вЂ” в соответствующую температуру Т~ . Обычно требуют асимптотического выполнения этих условий, т. е. принимают, что и=из, Т=Т~ при у=со. (2. 18) 500 На границе тела (на контуре) задаются условия прилипания: и=О, и=О при у=О.
(2.19) Граничные условия для температуры (или энтальпии) на контуре будут различными в зависимости от рассматриваемой задачи. Если предполагается, что температура стенки Т (х) не зависит от времени, то граничные условия имеют вид: (2.20) Т=Т (х) при у=О, а в частном случае абсолютно теплопроводного тела: Т=Т =сон»(при у=О. Если температура стенки устанавливается в результате обтекания тела и должна быть определена из решения, то следует со.
ставить уравнение теплового баланса, учтя влияние факторов, существенных для данной конкретной задачи, например, влияние конечной теплопроводности тела, радиации и т. д. Если не учитывается тепловой поток (теплоизолированное тело), то граничное условие записывается в форме дТ вЂ” =0 при у=О. ду (2.21) ди ди ди 1 др д«и — +и — +о — = — — — +» —, др дх ду р дх ду»' др ду ди — + (2.22) — = О. ди ду дх При рассмотрении неустановившегося течения в пограничном слое следует, очевидно, учесть и начальные условия, определяющие распределение скоростей и температуры в некоторый начальный момент времени.
В тех случаях, когда существенно взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком, следует попытаться учесть это взаимодействие путем изменения граничных условий, либо перейти от уравнений пограничного слоя к рассмотрению полных уравнений Навье †Сток. В случае течений слабо разреженного газа граничные условия изменяются, и следует учитывать влияние «скольжения» и «температурного скачка» на поверхности обтекаемого тела (см.
гл. Х1). Из уравнений (2.12) — (2.14), полагая р = сопз1 и 1» = сопз1, получим известные уравнения пограничного слоя в несжимаемой жидкости, которые для случая установившегося движения были выведены Л. Прандтлем: ф 3. Интегральные соотношения теории пограничного слоя Трудность интегрирования уравнений пограничного слоя в общем случае поставила перед исследователями задачу создания приближенных методов расчета, с помощью которых можно было бы изучить общие закономерности течений в пограничном слое.
Для получения суммарных характеристик естественно воспользоваться, в применении к пограничному слою, общими теоремами механики, т. е. законами количества движения, моментов количества движения и энергии. Наибольшее распространение при создании приближенных методов расчета пограничного слоя получил закон количества движения. Применение этого закона к элементарному объему, выделенному в пограничном слое (рис. 125), приводит к так на» Рис.
125 ди д (ри») д (ри) ри — — — — и— ди д(рии) д(ри) Род — — — — и у ду ду дк дх дк н уравнением неразрывности (2.14), перепишем уравнение (2.12) в форме: д(ри) д(ри») д(рии) др д Р ди1 Проинтегрируем это соотношение и уравнение неразрывности (2.14) по у в пределах от нуля до некоторой величины 3, которая может быть принята за условную «толщину пограничного слоя». Очевидно, что в строгой постановке следует считать й = о, в противном случае точные условия асимптотнческого стремления параметров потока в пограничном слое к параметрам внеш«о2 зываемому «интегральному соотношению импульсов».
Выведем интегральное соотношение импульсов несколько более формальным, но быстрее приводящим к цели путем. Воспользовавшись очевидными соотношениями: „его потока следует заменить приближенным выполнением этих условий на условной «границе пограничного слоя», т. е. ди и отребовать, чтобы и =и» = У, — = О при у = 8(х, 1). Тогда: ду Ь ~д и) ~ д(О«») др ( ди) о о д«о(У+) д ~(у+ (ро)х=» = о. 12 'й' (3.3) о о Подставляя значение (ро)„, из (3.3) в (3.2) и вынося дифференцирование из-под знаков интегралов, в соответствии с формулами дифференцирования интегралов с переменным верхним пределом, например, — „) (ри) «(у = ) д, (ри)Ф+(ри), д; = ) д, (ри)Ф+рФ вЂ”, дз(х,б Г д до о о о получим после сокращений: — ~ ри«(у+ — ~ риЧУ вЂ” У вЂ” ) ри«(у — У вЂ” ) рйу = — 8 —— д Г др дЕ,) дх ~ дх ) д«,) дх о о о о -( ' —;)у о (3.4) Это соотношение называется интегральным соотношением импульсов для сжимаемой жидкости.
Введем условные характеристики пограничного слоя, а именно, «толщину вытеснения»: '= 1('- —,'" ) ' о (3.5) н «толщину потери импульса»: 8 *= ~ —,", (( — —,")(у. о (3.6) 503 Так как в пограничном слое скорость и изменяется от нуля на обтекаемом контуре до скорости У внешнего потока, асим- птотически приближаясь к значению У (рис. 126), «толщина пограничного слово о есть условное понятие. В качестве о можно принять, например, расстояние от обтекаемого контура, на кокотором и отличается от 0 меньше чем на 1оо. В то же время величина о* (толщина вытеснения) определяется однозначно как отрезок ОА, при котором площади У ОАК и КВ1. на эпюре скоростей в пограничном слое (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
