Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Эти уравнения удобны для решения задач о движении Рис. 117 газа с образованием струй. Струей мы будем назынать такую линию тока, на которой давление постоянно, а касательные скорости терпят разрыв. Струя образуется, например, когда про исходит истечение газа из сосуда, находящегося под давлением 472 в атмосферу. Так же можно схематически заменить поток, обтекающий какое-либо тело, течением с присоединенными к нему струями и застойной зоной за телом, отделенной от остального потока струями (рис. 117). ф 2 Решение задачи о струйном обтекании пластины газом видоизмененным методом Чаплыгина Применим уравнения С. А.
Чаплыгина к решению конкретной задачи о струйном обтекании плоской пластины. На этом примере выявим сущность излагаемого здесь метода, после чего легко будет обобщить его для любой струйной задачи. Исключая из (1.4) потенциал скорости, получим одно уравнение для функции тока: ь+~ —,Я(1 — д) д ~+, „, (1 — д) 2 — О. (2.1) Так как (2.1) есть линейное уравнение, легко получить его решение в рядах методом разделения переменных. Итак, ищем частное решение (2.1) в виде: )„= 1'„(д) д" з!п(2 п 6 + а„).
(2.2) Здесь п — целое число, а„ вЂ” произвольное постоянное. Удобство выбора такого частного вида решения станет понятным в дальнейшем. После подстановки (2.2) в (2.1), получим следующее уравнение для функции )"„(д): д (1 — 7) — „," + [2п+ 1+ (Л вЂ” 2 и — 1) д[ — „" + Лп(2п+1) 1'„=О е~ и (2.3) где Л=— 1 ь — 1' Уравнение (2.3) является частным видом уравнения Гаусса. В самом деле, уравнение Гаусса имеет вид: д(1 — д) — „," + [7 — (а„+ Ь„+ 1) д] — „" — аЩ;, = О. (2.4) Если а„, ܄— вещественные числа и 7 не равно целому отрицательному числу, то (2.4) имеет регулярное в д =О действительное решение: ) !+ я ь + а„(з„+Оь„<ьь+И ~1 тл (1л + 1) 30 заказ ж ьзз 473 Покажем теперь, что в (2.3) а„, ܄— вещественные и 7 )О.
Приравнивая коэффициенты (2.3) и (2.4), получим: а„+ Ь„= 2п — )„а„Ь„= — 1л(2п + 1), =2п+1, откуда видно, что а„н Ь„являются корнями квадратного уравнения х' — (2п — Цх — 1л(2п+ 1) = О. Следовательно, х10= 2 + ф ( 2 ) +!л(2п+!) ~ т. е. х, = а„, х, = Ь„представляют собой действительные числа, Ряд (2.5) называется гипергеометрическим рядом. Так как постоянное число и линейная функция являются решением уравнения (2.1), то ниже написанный ряд также является его реше- нием (2.6) — з!п2~60(6 = ~~ Ви ) з!п2п6з1п206116, 0 Я О 474 ф =А+ В6+~В„~ 4 )" у " з!п(2п6+0„).
", Ь, !'. (Ь) г На рис. 118 через т обоз- начен угол наклона струи в 10 бесконечности. Прежде всего 2Ь Л э =11 определим постоянные А, В, а„. Так как в силу симметрии задачи ф =О при 6 =О и 6 = —" получим, что А = В 2, = а„= О. Таким образом, выбором А, В, а„мы удовлетворим граничному условию на пластине. Теперь покажем, что выбором коэффициентов В„ можно удовлетворить условию на М10' и ЕКЕ (см.
рис. 118). На струе М!у угол 6 изменяется от тдо —, а ф=О, д=д;, на струе же ЕКЕ угол 6 изменяется 2 ' от О до т, а 2= — =сопз1, д=д0. 2 Умножив обе части (2.6) на з!п 206, после интегрирования от О до — с учетом граничных условий для т получим: 2 откуда о !7 1 — ~ы 2~~ л л 1 = ~ ~ ~ — ') фе а(!7 о — л Так как — '=(1 — л), о=о )/ !7, получим: оа оа ~+1 ) — = 'т!' о/!7= 1 ааое о(!7' Г л 11-4)-" 1 Г о ) о,7 .— е о 1 2 372(1 )Л+! е Подставляя сюда значения а) из (2.7) и имея в виду, что 6 =О, получим: д, й+! Г 7 Ч !л )ал(О) лоо,,7 ого 11 )л+! ь' !! — 2 !1 — ) ла. о '7о 1 л(7о) л=! (2.9) 30* 47аа и, следовательно, окончательно имеем: л=! Из этого решения струйной задачи для сжимаемой жидкости можно получить, как частный случай, рещение для несжимаемой жидкости.
Так как в последнем случае о = р„мы должны по- 1 лагать ) = — 1 —— О при определении коэффициентов ал, Ь„. В этом случае из (2.5) получаем )"„= 1. Следовательно, для случая несжимаемой жидкости получим: (2.8) л !оо/ л ! Это решение совпадает с решением, полученным методом Жуковского. Выведем теперь формулы для определения сопротивления пластины Й и параметра 7п, входящего в формулу(2.7).
На пластине, где 6 = †, получаем: 2 ' оа ~ (У=~ —" й7, о о так как там !/у=,—. от Пользуясь (1.3), получим: )( = ()р0У0 (1 — соз1п) = 2Ьрз )70 (1 — созлз). (2.11) Коэффициент лобового сопротивления с„= = 2 — (1 — соз и). 17 Ь рз (2. 12) 2 м, задаваясь углом лз, мы легко можем вычиск по заданном гп с помощью (2.9 можно вы- Таким образо лить с„, так ка У ) числить длину пластины 1, соответствующую этому углу гп. Заметим, что при обтекании пластинки бесконечно широким потоком (Ь= ) выражение (2.12) дает для с конечное значение, ибо в этом случае гп — О.
Значения с„для случая Ь = вычислены Чаплыгиным в зависимости от числа Маха. Ниже приводится таблица, составленная нами по данным расчета С. А. Чаплыгина. 0,597 0,705 м-— гв Ф~ 0,900 0ЛЗЗ 1,169 1,126 О, 974 О, 1038 О, 968 О, 888 Как видно из этой таблицы, с ростом числа Маха набегающего потока коэффициент сопротивления пластины заметно растет. Максимальное значение прироста с, составляет 31,5% от коэффициента сопротивления пластины при обтекании ее несжимаемой жидкостью.
1р 3. Задача об обтекании профиля, с болвгиими дозвуновыми скоростями Ниже покажем, что обтекание некоторого профиля, фо которого зависит от скорости набегающего потока, сводитс интегрированию линейного уравнения. С этой целью преобраз уравнения (1.3) к симметричной форме, предложенной впер Уравнение (2.9) является уравнением для опредеЛения угла лз. Нам необходимо написать еще одно уравнение, ибо задано не 4(, которое равно — а †, иначе говоря, надо написать 2ЬР1170 ЬРо" 0 Ф 2 уравнение, связывающее р, и р,.
Очевидно, рз = Ро(1 Чо) ° (2.10) Зная величину угла и, легко можно вычислить силу сопротив- ления Я. Применяя теорему количества движения для всего по- тока, обтекающего пластину, получим Л. С. Лейбензоном. Потребуем, чтобы коэффициенты в (1,3) отличались только знаком, а по абсолютному значению были равными, т. 'е. о Л о )/'К 7 Ро 1 "Ро (3.1) с!4 'Лрс ) р о!с рто есть уравнение для определения функции д = д(о). Отсюда Ро!Р со ПодставлЯЯ сюда Ро/Р = (1 — — ), полУчаем: Соо а — ио — 2Лсо з ( и„, — со) о' или (3.2) Если положить о/и = о, получим: Г' — ', о ~.с, (3.3) где по= + а — Г. Подставляя выражение — в (3.1), получим: Ыд ас (3.4) Ункция К=К(о) впервые введена С.
А. Чаплыгиным, поэтому бУдем называть ее функцией Чаплыгина. До о = 0,5 функция почти не изменяется. Поэтому для достаточно больших скоростей полета она может быть положена постоянной. 477 Это обстоятельство позволяет развить приближенные методы решения задачи. Если ввести функцию ш = ее, то, полагая в (3 3) = й, получим: ,а а С, А. Христианович, которому принадлежит излагаемый здесь метод!решения задачи об обтекании профиля с большими дозвуковыми скоростями, выбирает по- Рес.
1!9 стоянную С из условия 1пп — = 1. с 0 е Легко установить, что 1 — 62 (3.7) Из (3.5) н (3.7) имеем: Переходя к пределу в этом равенстве и имея в виду, что при о-+0 и-+ 1, получаем С = 2 й 1 =. 0,7579. 1) М-ь (3.8) Докажем, что симметризованные уравнения газовой динамики р,= — УКФе, ре =УК), (3.9) (3. Р+ ' =7(!7 — 'с1) 47В инвариантны по отношению к конформному преобразованию, т. е. если положить: то (3.9) сохраняет свой вид; иначе говоря, будем иметь: (3.1 1) Для доказательства этого положения выразим производные ~>,, <ре, тд, (~е через р„, 4»,, фд, Ф, и подставим их в (3.9): »»' дд+»" д ' 1е»~' де+9" д6' (3.12) (" д +~)" д ' »е '»а дв+ )" дв' дд " дд' Из (3.10) имеем: — + ' — — ПЧ вЂ” 1Е), дв . д» дд дд ди .
д» .', да д» дГ» дд + ' = — Ч'(ч — дд) = — 1 — +— дд дд' или д. д, дд де' (3.13) д» де дв дд' Подставив теперь рд, 4»в, фд, фе из (3.12) в (3.9), получим, аде "дд— р~Ж+р" де=)'К ~Фед +Ф д! Имея в виду (3.13), получим: Ь~ МКр] +19 +РК Ь] <~ (3.14) [<ра — Р'К Ф» ] д — (р + У К % ] д Если в этом уравнении квадратные скобки рассматривать как неизвестные величины, детерминант системы Ь окажется равным': ,~дд, ав~ , р,. ав~ В силу того, что )'+О, получаем: дд .
дв !. дд дв) — — 1 — = — 1 — +— дн дн ! дч д» Р или ад ав дн дч' (3.15) ач ав дч дн' Таким образом, в переменных р, ч уравнения газовой динамики свелись к линейным уравнениям. В самом деле, если мы найдем с, 6 из (3.15) как функции ч, р и подставим в (3.11), то последняя система также будет линейной. Определяя ф и р из (3.11) как функцию р, ч, мы можем также найти х, у как функции р, ч. В самом деле, в (1.2) правые части будут полными дифференциалами, содержащими переменные ч, р.
Следовательно, интегрируя их, получим: х = с, + Ф, (р, ч), у = с,+ Ф, (р, «). (3.16) Выше мы описали только схему сведения задачи газодинамики к линейной системе. В самом деле„при интегрировании систем дифференциальных уравнений (1.2), (3.11), (3.15) необходимо ставить определенные 'граничные условия. В зависимости от удачной их формулировки будет определяться успех в решении той или иной газодинамической задачи. Проиллюстрируем вышеуказанную схему решения на примере решения задачи об обтекании профиля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
