Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 67
Текст из файла (страница 67)
На рис. 112 приве- Р з ден график отношений —, ~, — ' в функции —,при Й = 1,4. ч' г' Как видно из рисунка, происходит очень быстрое убывание плотности в направлении от ударной волны к центру взрыва. Почти вся масса газа сконцентрирована в узкой области, йу примыкающей к фронту волны. д!9~ Необходимо подчеркнуть, что полученные результаты носят качественный характер. При сильных взрывах движение со'/я провождается диссоциацией и ионизацией газа и, следовательд йх Ог/г' но, нет оснований считать газ Ряс.
!12 калорически совершенным. Кро- ме того, наличие начального давления р, приведет к тому, что с некоторого момента времени начнется обратное движение газа к центру взрыва. Сказанное не умаляет значения полученных результатов, поскольку получено точное решение поставленной задачи, дающее хорошее качественное описание явления и могущее служить основой для разработки численных методов решения задачи с более реальными условиями.
Решение задачи о сильном взрыве принадлежит Л. И. Седову (1946 г.) и Г. Тейлору, опубликовавшему решение этой задачи также в 1946 г. Задача о сильном точечном взрыве решена для сферического, цилиндрического и плоского случаев. Характерным в поставленной задаче является то, что введенные по формулам(2.13) величины о', р', р' являются функциями отношения —, где а = 2/5. Это позволяет свести 1а' уравнения движения газа к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие движения газа называются автомодельными. Еще раньше более трудная задача о распространении сферического и цилиндрического сильного скачка в направлении к центру сферы и, соответственно, оси цилиндра была исследована Г.
Гудерлеем*. Представим давление, плотность и скорость в виде: (2.21) 1 1 —— о = о (1) г где 1= — „, 1> Ои и — действительное число. Если подставить зти г сп ' выражения в систему (2.5), то придем к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений 1 — —" + — "+ 3 — —;=О, + — — +1 1 — — =О. (2.22) Р— А ~ ! — +2 1 — — =О, где а'=— — ар Р а. а.~.ыь, шавь.~. д в, ви. 45! Из четырех размерных величин р.
Р, о, $, входящих в полученную систему обыкновенных уравнений, можно образовать две независимые безразмерные комбинации, которые запишем в виде: ~А= — ',, Ч (2. 23) о ай" Рассматривая эти безразмерные величины в качестве новых пе ременных, путем преобразований уравнений (2.22) Гудерлей получает следующее дифференциальное уравнение первого порядка для случая сферической волны: 2зо ~й(ч — 1)+ (1 — — )] + 1 ! / 1 ~ Ро а й»+ 2(! — ) — йч(ч — 1) (ч— Л /3 — й 21 + й (ч — 1) ~ — 2 й чч + ~ — + й + 1 + 2 (й — 1)) ч— л чч дч 2(ч — !) 1 1 ! 1! Розйч+2 (1 — — ) — йч (ч — 1) ~» — — ) чч ! л! Далее в работе Гудерлея дается подробный качественный анализ этого уравнения и на основе этого определяется решение, которое реализуется в действительности.
В случае сферической волны для показателя и получено значение и = 0,717, ф 3. Сферическая волна малой амплитуды Если возмущения, создаваемые в газе некоторым источником, достаточно малы, то уравнения движения можно линеаризировать, а скорость волны считать равной скорости звука в невозмущенном газе. В случае сферической симметрии, гиосле лннеаризации уравнений движения, получим (г — радиус сферических координат): до 1 др д! Ро дг' (3.1) — о — = — Ро — — (г о).
1др 1 д а~ ~д! г' дг Эта система легко приводится к одному уравнению второго по- рядка, которому удовлетворяет давление: ао (3 452 Общее решение этого уравнения хорошо известно: Для расходящейся от центра волны, которую мы здесь рассмат риваем, достаточно ограничиться первым членом общего реше ния. Следовательно, (3.4) г ! форма волны, определяемая функцией !".
(х — — ), не меняется, сю 1 но амплитуда падает по закону — „ . Пусть источник возмущения есть некоторая сфера с радиусом с, расширяющаяся под действием внутреннего давления. Из решения (3.4) на этой сфере получим следующее соотношение для давления: ! ! с Р(с г) Ро= 1(! с ~ ас)' (3.6) Эта формула верна для любого момента времени.
Вычтем от величины времени 1, входящего в обе части равенства (3.6), одну г — с и ту же величину †. В результате будем иметь: ас откуда )(! — — ) = ср(с, ! — — ) — Р,1. (3.7) Таким образом, общее решение (3.4) представляется в виде: (3.8) Из этой формулы следует, что давление в любой точке г в любое время г определяется по давлению на поверхности внутренней сферы в момент г'=! —, где с — радиус внутренней сс сферы в момент !'. Время !' называется временем запаздывания, 453 Из этого решении следует, что для г н 1, удовлетворяющих условию — — = сонь(, (3.5) аа Величину скорости 'частиц газа определим следующим образом. Подставим значение давления из формулы (3.4) в правую часть первого уравнения системы (3.1).
В результате получим: Пусть 1, — время прихода сферической волны в точку с координатой г. Тогда, согласно (3.9), в любое другое время 1) 1, скорость в этой точке будет определяться формулой: Вычислив первую квадратуру и перейдя в полученном выраже- нии к давлению по формуле (3.4), будем иметь: (3.10) В формуле (3.10) о, есть скорость частицы газа в момент прохождения фронта волны.
Она равна нулю, если давление во внУтРенней сфеРе в начальный момент РавнЯлось Давлению Рр в газе и затем начало изменяться непрерывным образом. Очевидно, что в этом случае Р(г, 1,) — Р,=О. Если же в начальный момент давление во внутренней сфере больше рм то фронт волны будет фронтом разрыва давления и скорости. В этом случае ир отлично от нуля и определяется по формуле: (3.11) Р(г (о) — Рр = Роаооо.
ф 4. Уравнения двумерного автомоделъного неустановявшегося дваженая газа Из задач с двумя пространственными координатами мы рассмотрим отражение акустической и ударной волны от жестких стенок, образующих угол. В этих задачах параметры газа оказываются однородными функциями нулевого порядка относительно времени. Рассмотрим вначале уравнения движения газа, обладающего этим свойством. Будем исходить из уравнений осесимметричного движения. Пусть рассматривается адиабатическое движение невязкого газа с постоянной энтропией при отсутствии внешних сил. Направим ось х неподвижных координат по осн доу доу доу аУ др — — о — +о ду ' х дх У ду р ду — + р(,— + — ~+о — + о — + — = О.
(4.)) др ! дох доу 1 др др роу д1 (, дк ду ) « дх у ду В дальнейшем предполагается, что давление, скорость н все другие параметры газа являются однородными функциями времени 1 нулевого порядка. Это значит, что указанные параметры будут функциями отношений к у (4.2) Течения, обладающие этим свойством, будем называть автомодельными, Обычно под автомодельным понимают движение газа, безразмерные параметры которого являются функциями отношений (см. задачу з 2): к у где а — некоторое постоянное число. Используя очевидные соотношения: д х д у д д 1 д д 1 д (4.3) дг уу д1 Р дз ' дх 1 д$ ' ду 1 дз ' нетрудно найти вид уравнений (4.1) в новых переменных: до до ао др (о — к) =х+(о - )) — = — — —, д1 У дк р д$ ' до, доу ау др (о — о) — + (о — у)) —.
д$ У дк р до ' др др 1 до» доу 1 роу (о — У) — + (о — ) — + 1 — + — ) Р + — = О. д$ У дя ~ д$ до / (4.4) 1 др 1 др Если исключить нз этих уравнений величины — — и — †, то р д$ р дч' получим: д$ (х )(У ~)'1д + д / до„ 1 дох доу 1 доу аУо +(а' — (о,— ))Ч д + — =О.
дч (4.5) снмметрнн, ось у перпендикулярна оси х и лежит в меридианной плоскости. В этих координатах уравнения движения и неразрывности имеют вид: дох дох ох ау др ,х+О х+ х дг х дк У дУ р дх Заметим, что уравнение плоского автомодельного движения отличается от уравнения для осесимметричного тем„что в (4.5) отсутствует последний член. Пусть течение потенциальное. Из самого определения следует, что для автомодельных течений потенциал скорости 7(х, у,() можно представить в виде: (4.6) Введя потенциал скорости в уравнение (4.5), получим: (и» ~) ] дР 2 (о» ~) (~Ъ 4) д(д + д~т дз т а'и + [а' — (о, — 4)'] —, + — = О. (4.7) Характеристики этого уравнения получаются обычным способом из рассмотрения задачи Коши.
Если вдоль некоторой кривой С в плоскости 1, 4 задана функция ч(1, 4) и одна из ее производных, например т = —, то другая производная т = — также дт дт з дЕ дч известна вдоль Ь. Тогда для определения вторых производных: дйт д~т д~т — — — вдоль 7. имеем уравнение (4.7) и следующие дР ' д(дч ' дч» два выражения: дт = — й + — сь), д~т дзч дР д$дч д~т д~т а(ч = — й+ — Щ дЕ дч д~' (4.8) "т + х Пт = '[ — + 1 — ) Л + [ — + 1 — ) д4, (4.9) ( д'т д~т'1 /д' т д~т 1 [,д1дл дР) [, дхз д1дх) то при этом условии между коэффициентами при старших про- изводных и свободными частями в уравнениях (4.7) и (4.9) должна существовать линейная зависимость.
Эта зависимость запишется в виде: (д(+лач1а ~тэ+ ~т( а~~ д~ а' — (о» вЂ” ()' а' — (о» вЂ” ч)' — 2 (໠— () (~~ — ч) (4. 10) Характеристики уравнения получаются из условия невозможности однозначного определения вторых производных из системы (4.7) и (4.8). Если составить линейную комбинацию с множителем 1.: При автомодельном движении скорость Р есть однородная функ ция нулевого порядка и, следовательно, уравнение поверхности разрыва будет однородной функцией первого порядка: Р о (х, У', !) = ! Р (1, '4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
