Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Тогда из второго выражения (10.5) для интенсивности источников получим: г (~) = ф (оэ), = 2 г (~) (~„)„ (10.6) Формула (10.5) выражает еще следующее важное свойство линеаризнрованного осесимметричного дозвукового движения. В соотношения (10.5) не входит число М, характеризующее сжимаемость газа, и эти соотношения совпадают с аналогичными соотношениями для несжимаемого течения. В этом можно убедиться, если дифференцировать потенциал оо(х', у') для несжимаемого газа (формула (10.3)) по х' и у', а затем перейти к их аснмптотическим значениям при у'- О.
Отсюда приходим к выводу, что распределение скоростей и давления на 'поверхности ~онкого тела, движущегося с дозвуковой скоростью в сжнмае- больше единицы, и уравнение (10.2) гиперболического типа. Непосредственной проверкой можно убедиться, что в этом случае решение уравнения (10.2) представится интегралом от распре деленных источников следующего вида: о ((1) о'6 т (х, у) = х+ои (10.7) При таком нижнем пределе знаменатель подынтегрального выражения не может принимать мнимых значений. Но определение нижнего предела интегрирования имеет физический смысл.
Именно, в некоторой точке М с координа- У тами х, у потенциал скорости определяется источниками рас- Ф пределен ными на участке осн х, находящемся внутри конуса Маха, проведенного из точки М у ,с вперед по направлению движения тела (рис. 106.) Источники Рис. 1Об же, находящиеся на оси х левее конуса, не влияют на условия течения в точке М.
Для вычисления производных от потенциала т, заданного формулой (10.7), удобно сделать замену переменной интегрирования: с = х+ Рус(1г д 3 = в у з)1 гс(г. Тогда ф (х — $) — (и у = Руиз, и формула (10.7) приводится к виду: агсь ( — — ) ( (л + р у сЬ е) сй. 'о (10. 8) 428 мом газе, такое же, как при его движении с той же скоростью в несжимаемом газе. В противоположность этому, как было вы яснено в главе 1Ч, в плоском движении, благодаря сжима 1 емости, давление увеличивается в отношении — . Прн сверхзвуковом движении тела величина агсЬ (- — ) ау о = — = ) Г (х+ (йус)йг))ас)йгй(г+ ~(0) а у)г хй — а ау' Мы будем рассматривать тела, для которых~(0) = 0(к ним относятся, например, остроносые тела), тогда после перехода к первоначальной переменной интегрирования компоненты скорости выразятся формулами: Г(Е)г(Е гг* — -й'=ка ' к йу 1 ( Р (Е) (х — Е) г(Е У )' (х — Е)й — у уй (10.9) Прямая задача определения )".(Е) при заданных граничных условиях в общем случае связана с решением интегрального уравнения и не всегда является простой.
Другой метод состоит в том, чтобы по заданному виду функции )'(Е) определить соответствующее ей течение. Пусть г'(Е) является линейной функцией: ((Е) =аЕ. Тогда формула (10.8) для потенциала скорости примет вид: агсЬ ( — — ) сс = а ) (х-1- рус)йг)с(г, а или после вычисления интеграла г- Г* а 4гЛ' — г'гй РУ Для компонент скорости в этом случае будем иметь: (10.10) ог =а)й 1/ 1 (10.11) уй уй — х ох = а агс)1 ну Последние формулы показывают, что составляющее скорости посто остоянны вдоль линий, на которых отношение — постоянно.
х Таким у кнм образом, поле течения является коническим. Формулы взяв производные по х и у по правилу Лейбница, получим для составляющих скоростей: агсЬ( — — ) ай о„= — =- ) ~' (х+(йус)йг)а(г — ((О) дт Р 1 х — дх =) )г хй — усу' а (10.10) и (10.11) можно использовать для определения течения газа вокруг тонкого круглого конуса с углом раствора 2 9 (рнс. 107). В самом деле, при обтекании конуса получим: Уз!п Вх = о з(п Вх+ о соз9,, Подставив сюда значения о и о и помня, что на конусе х — — = с1й6, будем иметь: У(аВ, =а~1ай,агсй " '+)Г с1а'9,— р'.
(10.12) Это соотношение определяет коэффициент а. Из него следует, что решение действительно, если с1й9,) р. На переднем конусе Маха ОЯ имеем (см. рис. 107) В д х= — ру. Рис. 107 В точках этого конуса формулы (10.11) дают нулевые значения компонент скорости: о„=а агсп1 = О, о, =ар)/1 — 1 =0.
Таким образом, на головной волне возмущенное движение равно нулю, и параметры течения при переходе через головную волну не претерпевают разрыва. В случае движения узкого клина, как известно, на головной волне параметры газа претерпевают разрыв. Давление на поверхности конуса определяется по линеаризированной формуле Лагранжа дт с1К во Р Ро=ро(7 — = ро(7и атеей дх в (10.13) Значение коэффициента а в этой формуле берется из (10.12). Полученные формулы дают хорошее приближение, если угол конуса 9, не очень велик, а значение числа Маха не очень близко к единице. Путем суперпозицни решений типа конического течения можно построить с достаточным приближением поле течения вокруг произвольного острого тела вращения. Сущность этого метода, предложенного Карманом и Муром, состоит в следующем.
Общее решение уравнения потенциала скорости дается формулой (10,7). Представим функцию 1($), стоящую под интегралом в формуле (10.7), в следующем виде: 1 (1) = а, с + а, ($ — $,) + а, (1 — Ц) +..., (10. 14) где коэффициенты ае ип а„... — постоянные величины и $,=х,+РУ,, ~,=х,+РУ„... Постоянные коэффициенты определяются следующим образом: и, соответствует решению для конуса, имеющего при вершине такой же угол, как данное тело, и характеризует течение в окрестности носка. Следовательно, эта величина определяется по формуле (10.12).
В точкехп у„это решение дает значение, ~~~~)(~Юга;я ие удовлетворяющее граничному условию, на величину боль- г х ше предела принятого допущения. Поэтому это решение виас а донзменяется путем наложения другого конического течения п,($ — $,) при соответствующем вйборе постоянной а, так, что- а,4-ь ) бы в точке х„у, было выполнено граничйое условие. Последнее течение берет свое на- е (г-4 ) чало в точке $, = х, + Р у, и, ~Й) таким образом, не влияет на течение у вершины тела в об- .
Рис. !08 ласти перед точкой х„у,. Подобным образом при движении от точки к точке определяются все постоянные в формуле (10.14), причем новое коническое течение, появляющееся по мере такого движения, не влияет на поток правее места его возникновения (рис. 108). Такой характер течения обусловлен волновым процессом явления.
Приведенный выше метод наложения конических течений применим для гладких контуров. Если на контуре имеются угловые точки, то к полученному выше решению надо добавить величины скачков параметров газа в этих угловых точках. ф 11. Тонкие тели вращения, движущиеся со сверхзвуковой скоростью под малыми углами атака Пусть тонкое тело вращения движется в невозмущенном газе с постоянной скоростью У, большей скорости звука, направленной под углом атаки а к оси симметрии х, неподвижной системы цилиндрических координат х„у,,й,. 43! Пусть плоскость Во= О есть меридианная плоскость х„г, где ось г, перпендикулярна координате х,. Изменения парапет' ров газа, возникшие вследствие движения тела, будем считать малыми и при решении задачи воспользуемся теорией малых воз мущений. После линеаризации уравнения неразрывности (1.11) во введенных выше координатах получим: 1 др ( до дог д ор ор — +р ~ —.+ + — — + — ~=О, оо д( о ~ дхо дуо дэ уо уо где а — скорость звука в невозмущенном газе.
С другой стороны, нз линеаризированного интеграла Лагранжа имеем: дот 1 ду —,+ — — =О. д(о ' р, д(, Оба эти соотношения дают следующее уравнение для потенциа- ла скорости газа: 1 дог дот дог 1 дог 1 дт — — = — + — + — — + — — . (11.1) д'о д4 дуо уо дно уо дуо Возьмем начало подвижной системы координат х, у, 6 у носка тела, ось х направим по оси симметрии тела х, вперед, при этом плоскость у 6 перпендикулярна оси х. Пусть плоскость 6 =- О есть плоскость х, г и меридианные плоскости у„ г, и у,г совпадают. В предположении, что при го = О начала подвижной и неподвижной систем координат совпадают, между координатами обеих систем будет существовать связь: го = о хо = (((о + х * уо = у го = г ° Переходя в уравнении (11.1) к подвижным координатам с помощью этих формул и учитывая, что в этой системе координат движение установившееся, получим: Это уравнение линейное и его решение можно искать в виде: т (х, у„6) = р, (х, у) + ~ро (х, у, 6), (11.З) где т,(х, у) соответствует осесимметричному движению, не зависящему от угла 6, а ро(х, у,6) — поперечному течению.
Осесимметричное движение определяется скоростью тела ((, в направлении его оси симметрии. (11.4) (), = У соз а . 432 Поперечное течение определяется скоростью тела У„направленной перпендикулярно оси тела и равной по величине (рис. 109): (11.5) и,= из1 ° — + — — =р —. Р =М вЂ” 1>1 дзт, 1 дтз адата дуз у ду дха ' Дифференцируя это уравнение по у, получим: Последнее соотношение остается в силе, если вместо — взять дта ду величину соз сз —.. Однако после введения множителя соз сз дт, ду третий член в левой части уравнения (11.6) можно представить в таком виде: соз8 дт, ! дз / дт,! — — (соз сз — ')!; уз ду уа д 8з ( ду ) ' после подстановки зтого выражения уравнение (11.6) для функции ссзсз — т' переходит в уравнение (10.2).
Таким образом, реду шение поперечного течения можно искать через решение осесимметричного течения в виде: ра(х, у,8) = созсз ду (11.7) к9 Заказ Ма 688 ! ! 1 433 Задача об определении потенциала скорости газа в случае движения тела в осевом направлении решена в предыдущем параграфе. Разница лишь в том, что скорость тела теперь не равна К а определяется по формуле (11.4). Задача об определении течения в поперечном направлении прежде у а всего сводится к нахожде- и, нню потенциала уз (х, у, сз) из уравнения (10.2). То обстоятельство, что составляющая скорости тела У„опре- Рис.
!09 деленная формулой (! 1.5), может оказаться «дозвуковой», не имеет значения, так как искомое поперечное течение есть часть полного решения и является следствием лишь математического представления. Пусть у,(х, у) является решением уравнения: Остается еще определить граничные условия для функций г, и у,. х1ля общего потенциала ч граничное условие в произ вольной меридианной плоскости запишется в виде: +!й(, )+ — ,'„'~ =' и,!я(хх) — и,со Е, (П.8) Подставив значение потенциала из (10.3) в (10.8), получим: — т+ — т' = — У соей — Е (х) — ~' — Е (х) ~(у,— — ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
