Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Поэтому о, уравнение поверхности волны в подвижной системе координат запишется в виде: (8.19) ~(х,у,г,о,М) = О. Теперь, в соответствии с приведенными выше оценками порядка величин для гиперзвуковых скоростей полета тонких тел, введем безразмерные переменные по формулам: о,=и о,, о,=и о„; о,=и.;, Р = Р () ~ Р = ~'о(~~ Р Р ' Р = Р Р ° (8.20) х = х', у = о у', г = о г'. В этих формулах безразмерные параметры так же, как безразмерные координаты, обозначены штрихами. Перейдем в уравнениях движения (8.1) н условиях (8.8), (817) и (8.18) к новым безразмерным переменным по формулам (8.20) н в полученных таким образом выражениях отбросим члены порядка то по сравнению с единицей. далее, прн выписывании соответствующих уравнений для безразмерных величин условимся штрихи у этих величин опускать и помнить, что при обратном переходе к размерным переменным по формулам (8.20) этот индекс надо восстановить.
При таком условии система (8.1) после перехода к безразмерным переменным с указанной выше точностью записывается в виде: но различные значения параметра ч (афино-подобные тела), то картина обтекания этих тел с различными числами М будут подобные, если в обоих потоках произведение М т имеет одно и то же значение. Если одно из этих тел с параметром ~, обтекается потоком с числом М„ а другое тело с параметром т, обтекается потоком с М„ то йа основании установленного закона подобия М,,=М,, При этом условии все безразмерные параметры в соответственных точках двух потоков имеют одинаковые значения. Поверх. ности ударных волн, образующихся при обтекании обоих тел, находятся в том же подобии, что и сами тела. Это является следствием решения приведенной выше системы безразмерных уравнений и непосредственно видно из (8.16).
Формулы (8.20) показывают, что при соблюдении условия подобия давление и плотность в сходственных точках обоих потоков одинаковы. Величина Мт называется параметром подобия и обозначается буквой К. Пусть тонкое тело движется в газе с гиперзвуковой ско-' ростью под малым углом атаки а, имеющем порядок параметра т — относительной толщины тела, Рассматривая движение двух тел с параметрами М,, х„ а, и М„ т„ я и требуя соблюдения условий подобия течений газа вокруг этих тел, приходим к необходимости, чтобы тела были афино-подобными. При соблюдении последнего условия угол а и параметр т находятся в одинаковом отношении: 'Г~ Я~ а Таким образом, условия подобия в этом случае запишутся так: а~ а~ К =-К, 1= $ или после замены параметра т числом М: Кг К а1М1 йзм (8.31) 410 Важным обстоятельством является то, что полученная сист ема безразмерных уравнений распадается на две независимые группы.
В самом деле, четыре последних уравнения (8.21) н е содержат безразмерную компоненту скорости о . Не содержат этой составляющей скорости граничные условия (8.22), (8.23), а также безразмерные соотношения (8.29) и два последних в (8.30) на ударной волне. Эта уменьшенная система вполне достаточна для определения всех безразмерных параметров, кроме о . После определения этих параметров величина о надется из первого уравнения (8.21) с помощью условий на бес- конечности и условий на скачке, в которых содержится эта составляющая скорости.
Но гораздо проще определить о„из интеграла Бернулли (У+ и„)'+ о„+ о Ь !!у 2 '+ — р х о — ! Ро — +— иу +ох й р ! "+ з +ь ! р (ь — !)м ° Зто соотношение и определяет безразмерную компоненту о„. Вернемся теперь в четырех последних уравнениях (8.21) к размерным переменным по формулам (8.20) и введем обозначение: х и (8.32) тогда в размерных координатах получим: до ди до ! др — +о — +о — +- =О, д! У ду х дх р ду до до до, ! др — '+о — '+о — '+ — = О, д! ' у ду х дх р дх др дриу дрох — + — + — =О, д! ду дх д р д р д р — — + о — — + и — — = О.
д! рх У ду рх х дх р" (8.33) Рассматривая ! как время, мы видим, что эти уравнения в точности совпадают с уравнениями неустановившегося движения газа в неподвижной плоскости у, г, перпендикулярной направлению движения тела; при этом приближенное условие (8.22) на поверхности тела в размерных переменных принимает вид: дл дд дР +о +и — =О, д! ' У ду х дг и его можно трактовать как условие движения непроницаемой границы в неподвижной плоскости у, г. Закон движения этой границы (поршня) определяется уравнением поверхности тела, к~торос во введенных переменных определяется формулой: 26* Переходя в этом уравнении к безразмерным величинам по формулам (8.20) и отбрасывая члены порядка х', малые по сравнению с единицей, получим (штрихи у безразмерных параметров не пишем): Момент 1= 0 соответствует нахождению острого носка тела в рассматриваемой неподвижной плоскости у, г.
Поэтому в мо мент г тело будет находиться в таком положении, что его поперечное сечение, отстоящее от вершины на расстоянии И, будет совпадать с плоскостью у, г. Отсюда следует, что условия на бесконечности (8.18) теперь переходят в начальные условия: о„= и, = О, р = р,, р = Р, при 1 = О. Условия (8.29) и последние два в (8.30) на головной ударной волне при такой интерпретации также совпадут с соответствующими соотношениями на фронте волны в плоском движении. Итак, мы пришли к следующему важному выводу. Задача об установившемся обтекании тонких тел в трехмерном пространстве потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью эк- Иаршге е' йршен Ряс. 100 вивалентна задаче о плоском неустановившемся движении газа. В этом состоит содержание закона плоских сечений.
Если перед летящим телом выделить слой газа, перпендикулярный направлению скорости тела, то, согласно закону плоских сечений, при движении тела через этот слой в нем образуется ударная волна, за которой частицы газа будутдвигаться, не смещаясь в продольном направлении. Действие летящего тела на этот слой эквивалентно действию цилиндрического поршня с заданным законом изменения его контура (рис. 100). До сих пор мы рассматривали тонкие тела с соизмеримыми поперечными размерами в плоскости уг.
Пусть теперь в направлении оси у поперечные размеры намного больше, чем внаправлении оси г (тела типа крыла). В этом случае соз (и, у), за исключением малой окрестности боковых концов, будет величиной малой (см. (8.16)). Произведя оценку величин в безразмерных уравнениях так, как это делалось выше, найдем, что и, так же, как о„имеет более высокий порядок малости, чем о,. Пренебрегая в уравнениях движения малыми второго порядка для рассматриваемого случая, в размерных переменных получим: дох , дох 1 др — "+о — "+ — — = О, дх г дг р дх дог дог 1 др У вЂ” +о — + — — =О, дх г дг р ду дог до, 1 др У вЂ” *+о — '+ — — = О, дх г дг р дг и — х+ —,=О, др дро, дх дг д р д р У вЂ” — +о — — =О.
дх рг г дг рг Три последних уравнения этой системы не содержат составляющих скорости ох и о„. Эти составлющие не входят и в соответствующие грайичные условия и в часть условий на волне. Но как раз этих условий достаточно, чтобы сначала определить параметры о„ р, р из последних трех уравнений, а затем с помощью первых двух уравнений — компоненты о„ и и . Впрочем, достаточно определить о,, а о„ можно найти из интеграла Бернулли. Используя переменную (8.32), последние три уравнения приведенной выше системы запишем в виде: Это есть система уравнений, описывающих одномерное неустановившееся движение газа, при этом с указанной выше точностью граничное условие теперь принимает вид: до дР— +о — =О.
дг г дг Таким образом, задача обтекания тонкого тела крылового типа Установившимся потоком с большой сверхзвуковой скоростью свелась к приближенной задаче об одномерном неустановлвшемся движении поршня в газе с образованием ударной волны, прн этом закон движения поршня задан. Как указывалось, на боковых краях тела не выполняется условие о том, что соз (и, у) малая величина. Однако, при очень больших скоростях тела область влияния его боковых концов сильно ограничена и при Расчетах ею можно пренебречь. 413 до» дог — +о— дЕ гдг — + др д1 д р — — + дг рг + — — =О, др р дг — =О, дрог дг д р о — — = О.
г дг ~ У. Сверхзвуковое осесимметричное обтекание тупоносъьх тел До сих пор мы рассматривали обтекание тел с достаточно острым носком для того, чтобы угол отклонения скачка не превышал критического значения, определяемого ударной полярой, и чтобы ударная волна начиналась от передней точки острия тела. В действительности течение газа вокруг остроносых тел начинается с обтекания некоторого затуплення, имеющегося у вершины носка. При умеренных сверхзвуковых скоростях влияние этого затупления незначительно, и расчет параметров газа можно провести по теории обтекания остроносых тел сверхзвуковым потоком. При необходимости влияние малого затупления можно учесть отдельно (например, продувкой в аэродинамической трубе).
Если острое тело обтекается с очень большими сверхзвуковыми скоростями, то наличие малого затупления у носка может существенно изменить картину течения. Наличие малых затуплений у верн>ь шины остроносых тел может быть вызвано технологическими труд~м Ф ностями изготовления острого носка или аэродинамическим наьь~ь гревом и сгоранием носка при движении тела в воздухе. Для тонких тел с малым передРис. 101 ним затуплен нем в настоящее время имеются хорошо разработанные приближенные методы расчета гнперзвукового обтекания. С другой стороны, практический интерес для полета с гиперзвуковыми скоростями представляют тела, имеющие тупую переднюю часть, так как такая форма тела уменьшает тепло- передачу в области торможения. При обтекании затупленного тела сверхзвуковым потоком газа перед его тупой передней частью возникает отошедшая ударная волна, и между фронтом волны и поверхностью тела образуется область дозвукового течения (рис.
Г01 и фото 3). Граница между дозвуковой и сверхзвуковой областями потока за ударной волной обозначена пунктирными линиями. Эти линии, на которых скорость частиц газа равна местной скорости звука в газе, называются звуковыми линиями. Теоретическое исследование обтекания тел с отошедшей ударной волной является чрезвычайно трудной проблемой. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые приближенные методы определения течения в окрестности критической точки области торможения потока тупым телом. Прежде всего отметим, что давление в критической точке В <см. рис. 101), где скорость газа 414 равна нулю, вычисляется просто.
В самом деле, пусть ро, р„ и давление, плотность и скорость невозмущенного потока, причем скорость У больше скорости звука в газе и направлена по оси симметрии тела. Пусть р,— давление за скачком в точке А (см. рис. 101) и Р— искомое давление в точке В. Приращение давления в точке В можно представить в виде: р,и Р— Ро = (Ръ — Ро) + (Р— Ро) = — ', (по+ ~~я) где и, и л — безразмерные величины, подлежащие определению. С помощью условий на ударной волне нетрудно показать, что Ръ — Ро 4 1 оРо п = — = — (1 — — ~, М= — )1, а= р,ио а+1( М !' ао 2 Точки'А и В лежат на одной линии тока, поэтому параметры газа в этих точках связаны между собой интегралом Бернулли. Если параметры газа за скачком в точке А выразить через параметры невозмущенного потока и подставить их в интеграл Бернулли, то из условия нулевой скорости в точке В найдем: 1 — а+11 (а+1)омо 1,—, 4ьмо — 2(а — 1) р,и а 1 2амо — 2(а — 1)1 а(а+1) и 2 Таким образом, коэффициент давления в точке В равен: с = — „, =и,+и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
